整式的运算小结与复习

第一章整式小结与复习顾跃进考点呈现考点1整式有关概念例1（2022年佛山市）多项式1+xy-xy2的次数及最高次项的系数分别是（）A．2，1B．2，-1C．3，-1D．5，-1分析：此多项式中次数最高的项是-xy2，它的系数是-1，次数是3，所以此多项式次数也是3.解：选C.点评:要理清多项式的次数的含义，且注意每一项的系数包括前面的符号.考点2同类项例2（2022年株洲市）在2x2y，-2xy2，3x2y，-xy四个代数式中，找出两个同类项，并合并这两个同类项．分析：同类项的识别关键是抓好两相同：一是字母相同，二是相同字母的指数相同.合并同类项的方法是：相同的字母及相同字母上的指数不变，只把同类项的系数相加减.解析：同类项是：2x2y，3x2y，合并同类项得：5x2y.考点3去括号法则例3（2022年广州市）下列运算正确的是（）A．－3(x－1)＝－3x－1 B．－3(x－1)＝－3x＋1C．－3(x－1)＝－3x－3 D．－3(x－1)＝－3x＋3分析：去括号时，要按照去括号法则，将括号前的－3与括号内每一项分别相乘.尤其需要注意，－3与－1相乘时，应该是＋3而不是-3．解：选D.考点4幂的运算例4（2022年滨州市)下列各式运算正确的是( )+3a2=5a4 B.(2ab2)2=4a2b4 ÷a3=2a2 D.(a2)3=a5分析:A为合并同类项，合并同类项时字母及其指数不变，系数相加，结果应为5a2；B为积的乘方，结果为各因式乘方的积，B正确；C为同底数幂相除，底数不变，指数相减，结果应当是2a3；D为幂的乘方，底数不变，指数相乘，结果应为a6.故只有B正确.解：选B.考点5整式的加减例5（2022年鄂尔多斯市）把3+[3a－2(a－1)]化简得．分析：本题中有多重括号，处理这类问题的一般思路是先去小括号，再去中括号.去括号时要注意，括号前面如果是“－”，去括号后的各项与原括号内各项的符号相反．解：3+[3a－2(a－1)]=3＋(3a－2a＋2)=a+5.考点6整式的乘法例6（2022年宁德市）化简：（a+2）（a-2）-a（a-1）.分析:（a+2）（a-2）满足平方差公式的结构特点，可按照平方差公式进行计算，-a（a＋1）可按照单项式乘以多项式法则进行计算．解：（a+2）（a-2）-a（a-1）=a2-4-a2+a=a-4．点评:整式的运算要按照先乘除，再加减的运算顺序进行．两个多项式相乘，先考虑是否能用乘法公式，再考虑利用多项式乘以多项式的法则进行．考点7整式的乘除混合运算例7（2022年南宁市）先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(4ab3－8a2b2)÷4ab，其中a=2，b＝1．分析：（a＋b）（a－b）满足平方差公式，可按照平方差公式进行计算，(4ab3－8a2b2)÷4ab可按照多项式除以单项式的法则进行计算．解：(a＋b)(a－b)＋(4ab3－8a2b2)÷4ab＝a2－b2＋b2－2ab＝a2－2ab.当a＝2，b＝1时，原式＝22－2×2×1＝4－4＝0．考点8阅读理解例8（2022年佛山市）新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”、“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些旧知识的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识.（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？（2）在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出三条即可）（3）请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则是如何获得的.(用（a+b）（c+d）来说明)解析：（1）因为多项式乘以多项式是在字母表示数和数的基础上进行联系、拓广等方式产生的，所以是第二类知识.（2）单项式乘以多项式（分配律），字母表示数，数可以表示线段的长或图形的面积，等.（3）用数来说明：（a+b）（c+d）=（a+b）c+（a+b）d=ac+bc+ad+bd.用图形来说明：如右图，边长为a+b和c+d的矩形，分割前后的面积相等，即（a+b）（c+d）=ac+bc+ad+bd.误区点拨一、概念不清致错例1分别指出单项式，-x2，b，-ab2c3的系数和次数．错解：的系数是1，次数是1；的系数是，次数是2；b的系数是0，次数是0；的系数是“”号，次数是3．剖析：解答错误的原因是不理解什么是单项式的系数和次数.单项式的系数是字母前面的数字因数，次数是字母的指数之和.当系数和字母指数为1时，在代数式中常省略不写，因而误认为这时的系数和指数为0，同时要注意单项式的系数包括它前面的性质符号．正解：的系数是，次数是2；的系数是，次数是2；b的系数是1，次数是1；-ab2c3的系数是-1，次数是6．二、逆用幂的运算法则致错例2已知am=3，an=4，则a3m-2n的值为（）A．B．C．或D．不能确定错解：选D．剖析：错选D的实质是不会灵活运用幂的运算性质．本题可逆用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则求解．正解：a3m-2n=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2=33÷42=，故选A．三、错用多项式乘法法则例3计算：(1)(3a＋5b)(2a－4b)；(2)(x+3)(x－错解：(1)原式=6a2－20b2.(2)原式=x2－(3+6)x－18=x2－9x－18.剖析：(1)由于没有掌握多项式乘以多项式的法则，所以在两个一次二项式相乘时，仅将第一个多项式的第一项与第二个多项式的第一项相乘，第二项与第二个多项式的第二项相乘，这样就漏掉了一些项．(2)含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，如果因式中一次项的系数都是1，则积的一次项系数等于两因式中常数项的代数和．正解：(1)原式=6a2－12ab+10ab－20b2＝6a2－2ab－20b2.(2)原式=x2+（3-6）x－18=x2－3x－18.四、错用平方差公式例4运用公式计算（-x-3y）（x-3y）．错解：原式=（-x）2-（3y）2=x2-9y2．剖析：利用公式（a+b）（a-b）=a2-b2计算一定要“对号入座”，即找准公式中的a、b，这里的-3y相当于公式中的a，而x则相当于公式中的b．错解把a、b的位置颠倒了．正解：原式=（-3y-x）（-3y+x）=（-3y）2-x2=9y2-x2．五、错用完全平方公式例5利用乘法公式计算.错解：=2=102-2×10×+2=100++=.剖析：错误原因是混淆了性质符号和运算符号.要知道乘法公式中的“+”与“－”号都是运算符号，运用公式(a-b)2=a2-2ab+b2计算时，b等于而不是－.正解：=2=102-2×10×+=+=.六、整式的除法常见错误例6计算：(2a5－3a4－5a3)÷(－5a3)．错解：原式=．剖析：错解漏掉了被除式中的(－5a3)这一项．正解：原式=+1.同步复习方案基础盘点1.下列说法中正确的是（）A．不是整式的次数是4C．4ab与4xy是同类项D.是单项式2.若0.5a2by与axb的和仍是单项式，则正确的是()=2，y=0 =－2，y=0=－2，y=1 =2，y=13.(3x+5y)·（）=9x2－25y2.4.若(2x－5)2=4x2＋kx＋25，那么k的值是.5.若a2＋b2＝5，ab＝2，则(a＋b)2＝．6.已知6am+5bm÷(-2abn)=-3a7b，求m、n的值.课堂检测1.计算(-a)2·(a2)3·(-a)3，结果正确的是（）2.利用乘法公式计算正确的是（）A.(2x-3)2=4x2+12x-9B.(4x+1)2=16x2+8x+1C.(a+b)(a+b)=a2+b2D.(2m+3)(2m-3)=4m2-33.若(x-a)(x+b)=x2+Mx+N，则M、N分别为（）=b-a，N=-ab=b-a，N=ab=a-b，N=-ab=a+b，N=-ab4.观察下列顺序排列的等式（其中x≠0）：（1）计算：2x3÷x=______，4x4÷x2=______，6x5÷x3=________，8x6÷x4=_____；（2）试猜想第n个等式（n为正整数）应为________.5.若a2＋a＝1，则-4a2-4a-5＝________．6.对于任意有理数a、b、c、d，我们规定a△b=（a+1）（1-b），计算（x-y）△（x+y）的值.7.数学老师给同学们出了一道题：当x=－时，求[（x+2）2+2（x+2）（x－2）－3（x+2）（x－3）]÷（x+2）的值.题目出完后，小敏说老师给的条件x=－是多余的，你认为小敏说得正确吗？为什么？8.已知x≠1，计算（1－x）（1+x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4.（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+xn）=______.（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）.②2+22+23+…+2n（n为正整数）.③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）.（3）通过以上规律请你进行计算下面的式子：①（a－b）（a+b）=_______.②（a－b）（a2+ab+b2）=______.③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______.跟踪训练1.x是任意实数，则2|x|+x的值()A．大于零B．不大于零C．小于零D．不小于零2.如图1，在天平的左盘里放着一个整式，请你在天平的右盘上放上一个整式，使天平保持平衡，右盘应放（）D.4m+4n[（[（2m-n）2-（2m+n）2]÷2mn图13.已知20222022－20222022＝2022x×2022×2022，那么x的值是()A．2022 B．2009 C．2022 D．20224.某同学到集贸市场买苹果，买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每公斤2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤_____元．5.已知(a＋b)2＝8，(a－b)2＝12，则ab的值为