浅谈恒成立问题（适合高一高三使用）

浅谈恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。核心思想：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）.知识点梳理1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.4、设函数、，对任意的，存在，使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、，存在，存在，使得，则7、设函数、，存在，存在，使得，则8、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；9、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；例题分析一、函数性质法二次函数：=1\*GB3①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；=2\*GB3②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例1．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（)A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)针对练习1、已知函数，在恒有，求实数的取值范围。二、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例2、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。针对训练2、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围；三、分离参数法利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例3当时，不等式恒成立，则的取值范围是.针对训练3、当时，不等式恒成立，则的取值范围是.四、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例4若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是(A)(B)(C)（D）课后作业1、已知函数，，其中，．1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围．3、已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为4、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（）（A）（B） （C） （D）5、已知两函数，。（1）对任意，都有成立，求实数的取值范围；（2）存在，使成立，求实数的取值范围；（3）对任意，都有，求实数的取值范围；（4）存在，都有，求实数的取值范围；不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。答案：例1图31oxy图11x图31oxy图11xy01xy0图2数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。解析：当时，在上恒成立，而在上恒成立，显然不满足题意；(如图1)当时，在上递减且只在上恒成立，而是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，显然不满足题意。当时，在上递增且在上恒成立，而是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数，与的值至少有一个为正数则只需在上恒成立。(如图3)则有或解得或，综上可得即。故选B。针对训练1分析：为了使在恒成立，构造一个新函数，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解析：令，则对恒成立，而是开口向上的抛物线。①当图象与x轴无交点满足，即，解得。②当图象与x轴有交点，且在时，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：解得，故由①②知。例2解：不等式即,设，则在[-2,2]上恒大于0，故有：或针对训练2(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知：，，在上单调递减，在上恒成立，，只需，（其中）恒成立，由上述②结论：可令,则，，而恒成立，。例3解析:当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则∴.针对训练3解析:当时，由得.∴.O例4解析：对,不等式恒成立O则由一次函数性质及图像知，即。课后作业1.【分析：】1）思路、等价转化为函数恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可．简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是．2、分析方法1：化归最值，；方法2：变量分离，或；方法3：变更主元，，简解：方法1:对求导，，由此可知，在上的最大值为与中的较大者．，对于任意，得的取值范围是．解析：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴4、答案：B。解析：由方程可得，对于任意的，可得，依题意得。5、解析：（1）设，问题转化为时，恒成立，故。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，，，，∴，由，得。（2）据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，由（1）知，于是得。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，，的取值在上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：。∵∴，∵，∴在