2022-2023学年北师大版必修第二册 2.3.1向量的数乘运算 课件（20张）

向量的数乘运算新知探究问题1

阅读教材第87页实例分析，若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则v1与v2的有何关系？有｜v1｜＝880000｜v2｜．新知探究3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．问题2

一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量为3a，在相反方向上3秒钟的位移对应的向量为－3a，那么向量3a，－3a与a从长度和方向上分别具有怎样的关系？

新知探究问题3

实数λ与向量a的积是一个向量λa，它的长度和方向如何确定？它的长度和方向规定如下：（1）当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反；（2）｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；这种运算称为向量的数乘．当λ＝0时，0a＝0．新知探究追问：λa的几何意义是什么？λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．

新知探究问题4

如何求非零向量a的单位向量？根据向量数乘的定义，非零向量a的单位向量是

．

新知探究问题5

已知向量a，请通过作图判断下述结论是否成立？（1）3（2a）＝6a；（2）（2＋3）a＝2a＋3a；（3）2（a＋b）＝2a＋2b．

各式均是成立的（如图）．（1）3（2a）＝6a；

（2）（2＋3）a＝2a＋3a；

（3）2（a＋b）＝2a＋2b．

新知探究问题6

类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？结合律，分配律．设λ，μ为实数，a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量的运算律：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb．新知探究问题7

什么是向量的线性运算？向量的加法、减法和数乘的综合运算，统称为向量的线性运算（或线性组合）．新知探究问题8

下列各式计算正确的有几个？①③④正确．①（－7）6a＝－42a；

②7（a＋b）－8b＝7a＋15b；

③a－2b＋a＋2b＝2a；

④4（2a＋b）＝8a＋4b．

例1

设a，b为向量，计算下列各式．（1）－12a；（3）λa－μb．（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－

（a－b）－a；（3）2（λ－μ）a－λb－（λ－μ）（a－b）（λ，μ为实数）

（2）

；

初步应用例2

设x是未知向量，解方程x＋a－3（x－b）＝0．解：原式可变形为

x＋a－3x

＋3b＝0，2x＝

a＋3b，初步应用

课堂练习练习：教科书第85页练习1，2，3．归纳小结（1）本节课学习了哪些内容？（2）回顾知识的形成过程，其中蕴含着哪些数学思想方法？问题9

本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）平面向量的数乘运算、几何意义以及向量数乘运算的运算律；（2）类比推理、逻辑推理的思想方法．作业布置作业：教科书第89页练习4，5，8，P92A组1，2，3；B组1．

1目标检测B等于（）A．2a－b

解析：原式＝（a＋4b－4a＋2b）

＝（－3a＋6b）

＝－a＋2b＝2b－a．

B．2b－aC．b－aD．a－b2目标检测CB．｜－λa｜≥｜a｜D．｜－λa｜≥｜λ｜a设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是（）A．a与－λa的方向相反C．a与λ2a的方向相同解析：当λ＜0时，a与－λa的方向相同，所以A错误；当｜λ｜＜1时，不等式不成立，所以B错误；因为λ2＞0，所以C正确；不等式左边为长