2022年黑龙江省哈尔滨市香坊区初三中考二模数学试题（含详解）

2022年香坊区初中毕业学年调研测试（二）

数学试卷

第I卷选择题（共30分）（涂卡）

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.某日的最高气温为32℃,最低气温为24C,则这天的最高气温比最低气温高（）

A.—8℃B.-6℃C.8℃D.10℃

2.下列运算正确的是（）

A.a'°4-a5=a2B.（x-y）2=x2-y2C.4a3-（-3a3）=-124z6D.（。3）4=/

3.如图所示儿何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）

AB

4.如图，滑雪场有一坡角a为20。的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度

AB的长为（）

瞑X„200廿

A.200lan20°米B.--------米C.200sin20°米D.

sin20

CR

200cos200米

5.抛物线丁=—2（%—1）2+8的顶点坐标是（）

A.(1,8)B.(—1,8)C.(-1,-8)D.(1,-8)

6.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母,1个螺钉需要配2个螺母，为使每

天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排x名工人生产螺母，则下列方程正确的是（）

A.2xl(XX)(26-x)=80()xB.2x800(26-%)=1000xC.

1000(26-%)=2x800xD.800(26-%)=2xl000x

7.如图，AABC中，ZR4C=90°,将AABC绕着点A旋转至A4DE，点8的对应点点。恰好落在6C

边上.若AC=26,/B=60°,则CO的长为（）

2B.3C.26D.4

的图象，当x>0时，y随x的值增大而增大，则/的取值范围是（）

X

A.k<2B.Z2C.k>2D.心2

9.如图，点尸是口A6CD边上一点，直线即交的延长线于点心则下列结论错误的是

DFEDEFBC_BF

-----B.——C'~DE~~BED.

ABBCFB

BFBC

~BE~~AE

10.甲、乙两车同时从A地出发,沿同一路线各自匀速向8地行驶，甲到达B地停留1小时后按原路以另

一速度匀速返回，直到与乙车相遇.乙车的速度为每小时60千米.两车之间的距离）（千米）与乙车行驶时

间x（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论错误的是（）

行驶3小时后，两车相距120千米B.甲车从A到8的速

度为100千米〃卜时C.甲车返回是行驶的速度为95千米〃卜时D.A、8两地之间的距离为300千米

第n卷非选择题（共90分）

二、填空题（每小题3分，共计30分）

11.某企业利用太阳能发电，年发电量可达2840000度.2840000用科学记数法可表示为

12.函数y=-2一的自变量x的取值范围是.

x-3

13.把多项式/一2/丁+孙2分解因式的结果是

14.计算届一回的结果是

2

15.如果弧长为4%cm的扇形面积为16万cn?，那么该扇形的半径为cm.

3x+2>2x

16.不等式组｛/小、，的解集为.

17.如图，84为O。的切线，切点为点A,8。交。。于点C,点。在OO上，连接C。,

ZABO=36°,则ZADC=.

18.一个布袋里装有2个红球，1个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意模出一个

球，记下颜色并放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是.

19.已知等腰AABC中，AB=AC，BDLAC，交射线C4于点。，AC=5,5AA8C=10,则

tanNCBO的值为______.

20.如图，口ABCD中，AErBC,垂足为点E，点/为CE的中点，点G为AB的中点，分别连接

BD、FG,△AB。的面积为12,BC=8,则线段FG的长为

三、解答题(其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27

题各10分，共计60分)

3Y—6x—2I

21.先化简，再求值：------+------------,其中x=2tan6(r—4sin30。.

।/I-V-tA-v.।O।O

x+4x+4x+2xv+2

22.如图，在每个小正方形边长均为1的方格纸中，有线段A3和线段CO,点A、B、C、。均在小

正方形的顶点上.

(1)在方格纸中画出以为一边的ZXABE，且△ABE的面积为3,

tanNA8E*=一，点£1在小正方形的顶点上；

2

(2)在方格纸中画出以CO为对角线的YFCG。，丫/。6。的周长为6+2W，点尸、G均在小正

方形的顶点上，请你直接写出四边形FTGD的面积.

23.某中学为评估九年级学生的学习状况，抽取了部分参加考试的学生的成绩进行样本分析，并绘制成了

如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

的学生的人数；

(2)通过计算将条形统计图补充完整；

(3)若该中学九年级共有450人参加了这次考试，请估计该中学九年级共有多少名学生的成绩达到成绩

类别为优.

24.已知四边形A8CD的对角线AC,BD交于点0,AB//CD,且A8=5，4c=8,

BO=3.

点尸为边8上一点，点E为CB延长线上一点，连接EF交。8于点G,连接OF,OG=BG，

EG=FG,在不添加任何辅助线的情况下，请你直接写出图中长度为&的四条线段.

2

25.“六.一”儿童节将至，某玩具店准备购进甲、乙两种玩具，每个甲种玩具进价比每个乙种玩具进价

少5元，已知用300元购进甲种玩具的数量等于用600元购进乙种玩具的数量.

(1)求玩具店购进甲种玩具每个进价是多少元；

(2)该玩具店准备用100()元全部用来购进甲、乙两种玩具，计划销售每个甲种玩具获得利润4元，销售

每个乙种玩具获得利润5元，且销售两种玩具的总利润不低于600元，则该玩具店最多购进乙种玩具多少

个？

26.已知A8为。。的直径，弦CO交AB于点£，弧BC=弧BD.

(1)如图1,求证：CE=DE；

(2)如图2,连接。。并延长至点尸，连接所、BF，ZBOF+2ZCEF=180°,求证：

CD=2BF；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长BF交。。于点、N,连接DN交EF于点、M,点G为DM上一

点，连接BG,BG=BN,若DF=2DE，DG=2,求弦£>N的长.

27.平面直角坐标系中，抛物线y=+法+4与x轴交于点A、B,与>轴交于点C,OB=OC，

4

连接AC,tan/C4O=-.

3

值；

(2)如图2,点。为第一象限的抛物线上一点，连接AZ)交y轴于点E，设点。的横坐标为，，AACE的

面积为s,求5与/的函数解析式(不要求写出自变量，的取值范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，点。的横坐标是3,点。在Q4上，连接CQ,点T在CQ上，点R为

第二象限内直线CQ左侧一点，连接AT、RC,CR=TR，连接QR并延长至点F,连接CF,

/CFR=/CRT，CF=2FR,TP^CQ,交AO于点尸，若PC：CQ=5:8,求点尸的坐标.

2022年香坊区初中毕业学年调研测试（二）

数学试卷

第I卷选择题（共30分）（涂卡）

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.某日的最高气温为32℃,最低气温为24C,则这天的最高气温比最低气温高（）

A.—8℃B.-6℃C.8℃D.10℃

【答案】C

【解析】

【分析】用最高温度-最低温度=温差，列式32-24,计算即可.

【详解】解：32-24=8℃,

故选：C.

【点睛】本题主要考查有理数的减法的应用，熟知相关计算法则是解题的关键.

2.下列运算正确的是（）

A.a10-i-a5=a2B.（x—y）2=x2—y2C.4a'-（-3a3）=—12/D.（苏『=/

【答案】C

【解析】

【分析】4用同底数幕除法的运算法则来求解；B用完全平方公式来求解；C用同底数幕的乘法运算法则

来求解；。用某的乘方的运算法则来求解.

【详解】解：A.a'°^a5=a'°-5=a5,原选项计算错误，此项不符合题意；

B.（x—y）2=》2一2肛+9,原选项计算错误，此项不符合题意；

C.4a3.（_343）=4*（—3）/+3=_1为6,原选项计算正确，此项符合题；

D.（«3）="*4="2,原选项计算错误，此项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了同底数幕乘法和除法的运算法则、完全平方公式、塞的乘方的运算法则，理解相

关知识是解答关键.

3.如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）

A

RTHB.

C.毋

【答案】D

【解析】

【分析】根据俯视图定义即可判断.

【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是D.

故选：D.

【点睛】此题考查几何体的三视图，理解三视图的定义是正确解题的关键.

4.如图，滑雪场有一坡角a为20。的滑雪道，滑雪道AC的长为200米,则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度

民^米

200tan200米C.200sin200米D.

200cos20°米

【答案】C

【解析】

【详解】解：VsinZC=——，Z.AB=AC«sinZC=200sin20°.故选C.

AC

5.抛物线丁=—2（%—1）2+8的顶点坐标是（)

A.(1,8)B.(-1,8)C.(-1,-8)D.(1,—8)

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线的顶点式y=+人（。0°）所对应的顶点坐标是（一加次），可作出选择.【详

解】解：对照抛物线的顶点式y=a（x+〃?）2+&（aw0）可得加=-1,%=8,

把，〃=-1,攵=8代入顶点坐标公式（一加,左）中，得此抛物线的顶点坐标为（1,8）,

故选：A.

【点睛】本题考查的是二次函数的基础知识：会根据顶点式写出顶点坐标.需要强调的是：公式要记清

楚.顶点式y=a（x+〃z）~+人（。力0）中的，〃与顶点坐标（-以攵）中的一根是互为相反数的关系.

6.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每

天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排x名工人生产螺母，则下列方程正确的是（）

A.2x1000（26-%）=800xB.2x800（26—x）=1000x

C.1000（26-x）=2x800xD.800（26-x）=2xl000x

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列出一元一次方程即可.

详解】解：,••安排x名工人生产螺母，车间有26名工人，

安排（26-x）名工人生产螺钉.

•.•每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，

.••螺母的数量是1000X,螺钉的数量是800（26-%）.

•••1个螺钉需要配2个螺母，

2x800（26-x）=1000%.

故选：B.

【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键.

7.如图，AABC中，N84C=90°，将AABC绕着点A旋转至A4DE，点8的对应点点。恰好落在3c

边上.若AC=26，/8=60°，则C£＞的长为（）

B.3C.2百D.4【答案】A

【分析】先在直角三角形ABC中，求出AB,BC,然后证明4ABD为等边三角形，得出BD=AB=2,再根

据CD=BC-BD即可得出结果.

【详解】解：在Rt^ABC中，AC=2g,ZB=60°,

，BC=2AB,BC2=AC2+AB2,.,.4AB2=AC2+AB2,

・・・AB=2,BCM,

由旋转得，AD=AB,

VZB=60°,;•△ABD为等边三角形，

.*.BD=AB=2,

/.CD=BC-BD=4-2=2,

故选：A.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定与

性质，解本题的关键是综合运用基本性质.

8.反比例函数y=——的图象，当x>0时，y随X的值增大而增大，则k的取值范围是（）

x

A.k<2B.C.k>2D.心2

【答案】A

【解析】

【分析】根据反比例函数的性质得出Z-2V0,求出即可.

【详解】・・•当x>0时，y随x的增大而增大，

・・・攵-2<0,

：.k<2.

故选：A.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.

9.如图，点尸是的边CD上一点，直线所交A3的延长线于点£则下列结论错误的是

9J—E

//DEDDFEDEFBCBF

//A.=B.=C.----------D.

/EAABBCFBDEBE

BA

BFBC

~BE~~AE

【答案】c

【解析】

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD〃AB,AD〃BC,CD=AB,AD=BC,然后平行线分线

段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案.

【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，

・・・CD〃AB,AD/7BC,CD=AB,AD=BC,

EDDF„一立

---=----,故A正确；

EAAB

EDEF

~AD~~FB'

空二空，故B正确；

BCFB

型二”故C错误；

DEEF

BFAD

~BE~~AE'

BFADBC“…

---=----=----，故D正确.

BEAEAE

故选：c.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错

选其他答案.

10.甲、乙两车同时从A地出发，沿同一路线各自匀速向8地行驶，甲到达B地停留1小时后按原路以另

一速度匀速返回，直到与乙车相遇.乙车的速度为每小时60千米.两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时

间x（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论错误的是（）

行驶3小时后，两车相距120千米B.甲车从A到8的速

度为100千米/小时C.甲车返回是行驶的速度为95千米/小时D.A、8两地之间的距离为300千米

【答案】C

【解析】

【分析】由图象可得行驶3小时后，两车相距120千米，由甲的路程-乙的路程=120千米，可求甲的速

度，即可求AB距离，由返回经过0.4小时，两车相遇可求甲车返回的速度.

【详解】由图象可得：行驶3小时后，两车相距120千米,

120+3x60

，甲车从A到B的速度==100（千米/小时）,

3

.1AB两点距离=3X100=300（千米）,

一小时后，两车相距120-60x1=60（千米），

.•.甲车返回的速度=——=90（千米/小时），

0.4

故错误的是C,

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，考查了学生分析问题的能力.

第II卷非选择题（共90分）

二、填空题（每小题3分，共计30分）

II.某企业利用太阳能发电，年发电量可达2840000度.2840000用科学记数法可表示为—.

【答案】2.84x106

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为4X10”的形式，其中号同＜10,〃为整数.确定”的值时，要看把原数变

成4时，小数点移动了多少位.按照科学记数法的形式表示即可.

【详解】2840000=2.84x1（）6

故答案为：2.84x106

【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，其形式为axlO"，其中14时＜10,〃为正整

数，它由绝对值大于1的数的整数数位与1的差确定，掌握科学记数法的表示形式是关键.

2

12.函数y=——的自变量x的取值范围是.

x-3

【答案】对3的一切实数

【解析】

【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0,可知：x-3川，解得x的范围.【详解】解：根据题意，

则

x-3/0

解得：x#3

自变量x的取值范围是x/3的一切实数；

故答案为：x，3的一切实数.

【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义.函数自变量的范围一般从三个方面考

虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

13.把多项式V-2x?y+孙?分解因式结果是.

【答案】x(x-y)2

【解析】

【分析】先提取公因式，然后根据完全平方公式即可得出答案.

【详解】原式=忒尤2-2盯+/)=尤(丁-丁)2,

故答案为：x(x-y)2.

【点睛】本题考查分解因式，解题的关键是熟练掌握提取公因式及完全平方公式，属于基础题.

14.计算J石一也。的结果是

2

【答案】2#)

【解析】

【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【详解】解：V45--=3^5--

22

=3亚-亚=2亚，

故答案为：2亚.

【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，熟悉二次根式的加减运算的运算法则是解本题的关键.

15.如果弧长为4乃cm的扇形面积为16加：0?，那么该扇形的半径为cm.【答案】8

【解析】

【分析】根据扇形面积公式求解即可.

Ov1A-rr

【详解】解：上■旦=8cm,

47

故答案为：8.

【点睛】本题考查扇形面积公式，熟练掌握该知识点是解题关键.

3x+2>2x

16.不等式组｛,八、।的解集为.

【答案】-2<x<3.

【解析】

3x+2>2x@

【详解】解:

-(x-4)21②

.由①式得x>-2；由②式得烂3,

不等式组的解为-2<xW3.

故答案为：-2<xW3.

【点睛】本题考查解一元一次不等式组.

17.如图，84为0。的切线，切点为点A,BO交。。于点。，点。在上，连接8,

ZABO=36°,则NA£)C=

【答案】27°##27度

【解析】

【分析】根据8A为OO的切线，可得OAL8A,根据圆周角定理即可求出结果.

【详解】解：为。。的切线，

J.OA1BA,

：.ZBAO=90°,

,/ZABO=36Q,

AZBOA=90°-36°=54°,

，NAOC=gNCOA=/X54°=27°.故答案为：27。.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的性质和圆周角定理.

18.一个布袋里装有2个红球，1个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意模出一个球，记下颜色并放

回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是______.

4

【答案】-

9

【解析】

【分析】先画树状图展示所有9种等可能结果，再两次摸出的球都是红颜色的概率结果数，然后根据概率

公式计算.

【详解】解：画树状图如下，

共有9种等可能结果，其中两次摸出的球都

是红颜色的为4种，

4

所以两次摸出的球都是红颜色的概率=—,

9

4

故答案为：

9

【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出〃，再从中选

出符合事件A或8的结果数目相，然后根据概率公式求出事件A或8的概率.

19.已知等腰AABC中，AB=AC，BDLAC，交射线C4于点短，AC=5,S^ABC=10,则

tanNCBO的值为.

【答案】g或2##2或g

【解析】

【分析】根据题意分aABC的边AC上的高在△ABC的内部和外部两种情况，根据三角形面积公式求出

8。的长度，根据勾股定理求出的长度，根据线段的和差关系求出的长度，最后根据正切的定义求

解即可.

A

【详解】解：当△ABC的边AC上的高在△ABC内部时，如下图所示,

：AC=5,BDLAC,=10,

：.BD=^^=4,

AC

'：AB=ACf

：.AB=5f

•*-AD=yjAB2-BD2=3，

/.CD=AC-AD=2,

CD1

••tnn/CBD==—,

BD2

当△ABC的边AC上的高在△ABC外部时，如下图所示,

・.・AC=5,BDLAC,S/kA5C=1°，

:.BD=2SAABC=4

AC

'：AB=AC,

AB=5,

；•AD=yjAB2-BD2=3>

CO=AC+AD=8，

CD

：.tanZCBD=—=2,

BD

：.tanNCB。的值是g或2,

故答案为：g或2.【点睛】本题考查三角形面积公式、勾股定理、线段的和差关系、正切的定义，正确应

用分类讨论思想是解题关键.

20.如图，口A8CD中，AEYBC,垂足为点E，点F为CE的中点，点G为的中点，分别连接

BD、FG,△AB。的面积为12,BC=8,则线段FG的长为.

【解析】

【分析】过点G作G，J_BE于点H,根据平行四边形的性质可得0ABeD的面积为24,从而得到AE=3,

13

再证得可彳导GH=—AE=—,BE=2BH,设贝!J8E=2x,HE-x,CE-Z-2x,可

22

得HF=HE+EF=4,再由勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，过点G作GHL8E于点儿

；8。是口ABC。的对角线，△ABD的面积为12,

口/LBC。的面积为12X2=24,

BC=8,AE±BC,

•.8AE=24,即AE=3,

•,点G是AB的中点，

\AB=2BG,

GHLBE,

GH//AE,

△BGHS/\BAE,

.BGBHGH1

AB--AE-2)

13

：.GH=-AE=-,BE=2BH,

22

设BH=x,则BE=2x,HE=x,CE=BC-BE=8-2x,

..点尸是CE的中点，EE=gcE=g(8—2x)=4—x,

••HF=HE+EF=4,

,•FG7GH、HF?

故答案为：叵

2

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形

的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键.

三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分）

3r—6x—21

21.先化简，再求值：V-------+------------,其中x=2tan60。一4sin30。.

x+4x+4x+2x+2

【答案】立

x+23

【解析】

【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后根据特殊角三角形函数值求出X,再将X的值

代入化简后的式子即可解答本题.

3(x-2)x+21_31_2

【详解】解：原式

(x+2)2x-2x+2x+2x+2x+2

Vx=2tan60°—4sin30°=2?y/34?—2^3-2,

2

原式=:一=—7=2——=—.

x+22V3-2+23

【点睛】本题考查分式的化简求值及特殊角三角函数值的运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的计

算方法.

22.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段A3和线段CO,点A、B、C＞。均在小

正方形的顶点上.

（1）在方格纸中画出以A8为一边的八钻石，且AABE的面积为3,

tan/ABE=，，点£在小正方形的顶点上;

2

（2）在方格纸中画出以C£＞为对角线的YFCGQ，YR7G。的周长为6+2加，点尸、G均在小正

方形的顶点上，请你直接写出四边形FUG。的面积.

【答案】（1）见解析；（2）9

【解析】

【分析】（1）根据aABE的面积和tanNA8E=，，画出8E,满足条件即可；（2）根据周长让其中两对边

2

在格子上，另外两对边在格子的对角线上即可.

【小问1详解】

根据△ABE的面积和tanNABE=—,

2

如图所示，令BE为底,A到BE的长为高，此时BE=3,正好满足题意，aABE即为所求;

【小问2详解】

如图所示，令尸。=CG=3,则尸C=OG=W，恰好满足周长为6+2J16,

此时S"CGO=3x3=9•

【点睛】本题考查了应用设计与做图，正确掌握三角形和平行四边形的性质是解题的关键.

23.某中学为评估九年级学生的学习状况，抽取了部分参加考试的学生的成绩进行样本分析，并绘制成了

如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）求该中学抽取参加考试的学生的人数；

（2）通过计算将条形统计图补充完整；

（3）若该中学九年级共有450人参加了这次考试，请估计该中学九年级共有多少名学生的成绩达到成绩

类别为优.

【答案】（1）该中学抽取参加考试的学生的人数为50人；

（2）见解析；（3）该中学九年级450人参加了这次考试的学生中，数学成绩类别为“优”的大约有90

人

【解析】

【分析】（1）从两个统计图中可知，“良”的人数为22人，占调查人数的44%,可求出调查人数;

(2)求出“中”的人数，即可补全条形统计图；

(3)求出样本中“优”的所占的百分比，估计总体450人中“优”的人数即可.

【小问1详解】

解：22^44%=5()(人)，

答：该中学抽取参加考试的学生的人数为50人；

小问2详解】

解：由题意得成绩为“中”的人数为50x20%=10(人)，

补全条形统计图如图所示：

【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键，样本

估计总体是统计中常用的方法.

24.已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点、0,AD//BC,AB//CD,且AB=5，AC=8,

BO=3.

(1)如图1,求证：四边形ABC。是菱形;

(2)如图2,点F为边上一点，点E为CB延长线上一点，连接所交OB于点G,连接。F,

OG=BG,EG=FG,在不添加任何辅助线的情况下，请你直接写出图中长度为？的四条线段.

2

【答案】(1)证明见解析；

(2)OF、DF、CF、BE.

【解析】

【分析】(1)先证明他是平行四边形，再利用勾股定理逆定理证明对角线互相垂直即可求证它是菱形;

(2)先证明即可证明。尸〃8C,利用三角形中位线的判定和定理即可得到

OF=~BC=-,最后可以得到图中的四条符合题意的线段.

22

【小问1详解】

解：•••?!£)〃BC,AB//CD,

?.四边形ABCD是平行四边形，

/./1C)=-AC=-X8=4,

22

VAB=5,BO=3,

；•AO2+BO2=42+32=25,AB2=25，

AO2+BO2=AB°，

；•ZAOB=90,

：.ACLBD,nABCO是菱形；

【小问2详解】

OF、DF、CF、BE,

理由：由(l)知四边形ABC。是菱形，

：.BC^AB=CD=5,

,：OG=BG,EG=FG,/OGF=/BGE,

:.QGFABGE,

ZOFG^ZBEG.OF=BE,

：.OF//BC，

•.•O是BO中点，

；.O/是△£>8C中位线，尸是OC的中点，

AOF^-BC=-,DF=CF=-DC=-,

2222

/.OF=DF=CF=BE=-.

2

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定、三角形中位线

定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半等，解题关键是能理解题意，牢记相关概念并灵活应用.

25.“六・一”儿童节将至，某玩具店准备购进甲、乙两种玩具，每个甲种玩具进价比每个乙种玩具进价

少5元，已知用300元购进甲种玩具的数量等于用600元购进乙种玩具的数量.

(1)求玩具店购进甲种玩具每个进价是多少元；

(2)该玩具店准备用1000元全部用来购进甲、乙两种玩具，计划销售每个甲种玩具获得利润4元，销售

每个乙种玩具获得利润5元，且销售两种玩具的总利润不低于600元，则该玩具店最多购进乙种玩具多少

个？

【答案】(1)玩具店购进甲种玩具每个进价是5元；

(2)该玩具店最多购进乙种玩具66个.

【解析】

【分析】(1)设玩具店购进甲种玩具每个进价是X元，则每个乙种玩具进价每个为(x+5)元，根据用300

元购进甲种玩具的数量等于用600元购进乙种玩具的数量列方程，再解方程即可；

(2)设该玩具店最多购进乙种玩具〃?个，则甲种玩具购进IO001］。“件,再利用利润之和不低于600

元，列不等式，从而可得答案.

【小问1详解】解：设玩具店购进甲种玩具每个进价是x元，则每个乙种玩具进价每个为(X+5)元，则

、300600地办<

\---=-----,解得：x=5,

Xx+5

经检验：x=5是原方程的解且符合题意,

答：玩具店购进甲种玩具每个进价是5元.

【小问2详解】

解：设该玩具店最多购进乙种玩具，〃个，则甲种玩具购进100°;°.件,则

1000-10m__me

4?----------5m?600,

5

,200

解得：m<---,

3

正整数,

，加的最大值为：66,

答：该玩具店最多购进乙种玩具66个.

【点睛】本题考查的是分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是

解本题的关键.

26.已知为。。的直径，弦。。交AB于点E，弧BC=弧BD.

N

(1)如图1,求证：CE=DE；

图1图2图3

(2)如图2,连接OO并延长至点尸，连接所、BF，ZBOF+2ZCEF=180°,求证：

CD=2BF；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长班'交于点N,连接DN交所于点“，点G为DM上一

点，连接8G,BG=BN,若DF=2DE，7X7=2,求弦。N的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析(3)DV=10

【解析】【分析】(1)利用垂径定理的推论证明即可；

(2)连接FC,先证明=再证明△BOE丝AOOE,从而可得结论;

(3)如图，连接8。，由(2)得：^BOF^DOE,AB±CD,先证明

BF=FN=DE-CE,DF_LBN,可得DF=1BF,设BF=x,则DF=2x,再表示

FM=NM=DM=—x,过F作尸于尸，设。口=机，则==可得

2

3534

OF=±x=OE,OB=OD=±x,可得尸尸=二羽尸3=—羽再证明ABOG名ADVC,可得

4455

CN=DG=2,可得FE="x+l,再利用sinNEE0=sinN0D8=^,再列方程求解即可.

25

【小问1详解】

证明：•••A3为0。的直径，弦CD交A3于点E，弧87=弧区0，

AB±CD,,.CE=DE.【小问2详解】

证明：连接FC,

AB1CD,CE=DE,：.ZOEC=ZOEF+NCEF=90°,NBOF=ZOFE+ZOEF,

ZBOF+2ZCEF=180°ZOFE+ZOEF+2ZCEF=180°,/.ZOFE+ZCEF=90°,

ZOFE=ZOEF.OF=OE,

：,^BOF=^DOE,：.BF=DE,CD-23R【小问3详解】

解：如图，连接B。，

由(2)得：^BOF^DOE,AB1CD,

NDEO=90°,BF=FN,BD=DN,BD=DN：CD=IDE=2BF.

/.BF=FN=DE=CE,•：DF=2DE、：.DF-2BF,设BF—x,则DF-2x,

BD=yjx?+(2x)-=亚x—D

・・・OF=OE,OB=OD,ZEOF二=ZBOD,：.ZOEF=NOFE,ZOBD=NODB,：.ZFEB=NDBE,

FE||BD,----=------=1,而Z.DFN=90°,

BFDM

FM=NM=DM=—x,过/作FPLAB于P,

2

设。产二/%则OD=03=2x—

23

=m2解得：m-

34

二0/==OE,OB=OD=，,tanZFBO=-=—，:.PF=qx,PB=《x,

444PB

46

：.EP=2x-±x=?x,;BG=BN,ZBGN=ZBNGj;■DN=DB,NDNB=NDBN,

55

ZDBN=ZBGN,­.•NBGN+NBGD=180°,民。,C,N共圆,

:"DBN+ZDCN=180°,NBGD=4DCN」；BN=DC,BN=DC,ZDNC=ZBDG,

:ABDG^DNC,而OG=2,

：.CN=DG=2,DM=MN,CE=DE,:.ME=-CN=1,•=—x+1

22

3

x非f旧「

,/sinZ.FEO=sinZODB=-j=-=——,------=一，解得：x=2非,经检验符合题意；

05必尤+15

2

二Z)N=。8=退犬=6x2君=10.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，全等三角形的判定与性

质，三角形的中位线的性质，圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题

难度较大，综合程度较高，熟练的掌握圆与相似三角形，三角函数的应用是解本题的关键.

27.在平面直角坐标系中，抛物线丁=办2+灰+4与x轴交于点A、B,与丁轴交于点C，OB=OC,

连接AC,tanZCAO

(1)如图1,分别求“、。的值；

(2)如图2,点力为第一象限的抛物线上一点，连接AO交)'轴于点E，设点。的横坐标为入AAC£的

面积为s,求s与，的函数解析式(不要求写出自变量，的取值范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，点。的横坐标是3,点。在。4上，连接CQ,点T在CQ上，点R为

第二象限内直线C。左侧一点，连接火T、RC,CR=TR,连接QR并延长至点尸，连接。尸,

ZCFR=ZCRT,CF=2FR,TPA.CQ,交AD于点P,若PC:CQ=5:8,求点P的坐标.

【答案】(1)a的值是一1；人的值是，

33

、3

(2)s=—t

2

(3)P

【解析】

【分析】（I）根据抛物线解析式求出点C坐标，进而求出0C的长度，根据直角三角形的边角关系和等价

代换思想求出04和0C的长度，进而求出点A和点B坐标，最后把点A和点B坐标代入抛物线解析式得

到二元一次方程组并求解即可.

（2）根据。和人的值求出抛物线解析式，进而用f表示出点。坐标，使用待定系数法求出直线AO解析

式，进而求出点E坐标，根据线段的和差关系求出CE的长度，再根据三角形面积公式求解即可.

（3）取CF中点为G,取。。中点为4,连接RG,TH,过点P作P/_Lx轴于/,过点P作/V_LT”于J,

设CQ=8机，Q（〃,0）,直线A。的解析式为产px+q.根据角的和差关系，相似三角形的判定定理和性质，

等价代换思想确定点T是CQ中点，根据PC与C。的比例关系，勾股定理用加表示出TP和QT,根据三

角形中位线定理求出”7的长度，根据相似三角形的判定定理和性质求出JP和。的长度，根据线段的和

差关系，矩形的判定定理和性质求出。/和P/的长度，进而得到点P坐标，根据点。的横坐标和抛物线解

析式求出点。的