新教材人教b版选择性必修第三册6.1.3基本初等函数的导数6.1.4求导法则及其应用课件

6.1.3基本初等函数的导数6.1.4求导法则及其应用第六章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.熟记基本初等函数的导数公式,并能运用这些公式求基本初等函数的导数.(数学运算)2.掌握导数的运算法则,并能运用法则求复杂函数的导数.(数学运算)3.掌握复合函数的求导法则,会求复合函数的导数.(逻辑推理)课前篇自主预习【情境导入】高铁是一种非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数s=f(t)=2t2,求它的瞬时速度,即求f(t)的导数.根据导数的定义,就是求当Δt→0时,所趋近的那个定值,运算比较复杂,而且,有的函数如y=sinx,y=lnx等很难运用定义求导数.是否有更简便的求导数的方法呢?【知识梳理】

一、基本初等函数的求导公式C'=0,(xα)'=αxα-1,(ax)'=axlna,(logax)'=,(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx.要点笔记

特殊函数的导数:(1)(ex)'=ex.(2)(ln

x)'=.微练习1答案

C微练习2已知f(x)=x2,则f'(3)=(

)x答案

C解析

f'(x)=2x,∴f'(3)=6.二、求导法则1.函数和(或差)的求导法则:设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).即两个函数之和(或差)的导数,等于这两个函数的导数之和(或差).2.函数积的求导法则设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数.由上述法则立即可以得出[Cf(x)]'=Cf'(x).即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数.3.函数的商的求导法则

名师点析

正确理解函数的求导法则应注意以下几点:(1)两个函数和(差)的求导法则可以推广到若干个函数和(差)的情形:即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).(2)准确记忆公式形式,应注意:微练习1函数y=sin2x的导数为(

)A.y'=cos2xB.y'=2cos2xC.y'=2(sin2x-cos2x)D.y'=-sin2x答案

B解析

∵sin

2x=2sin

xcos

x,y'=2[cos2x+sin

x(-sin

x)]=2cos

2x.微练习2求曲线f(x)=xlog2x-x+1在点(2,1)处的切线方程.三、简单复合函数的求导法则一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x).这一结论也可以表示为y'x=y'uu'x.要点笔记

复合函数求导的主要步骤是:(1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量.(2)求每一层基本初等函数的导数.(3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.微练习

答案

B课堂篇探究学习探究一利用导数公式求函数的导数思路分析若不能直接运用导数公式求导,可先对函数解析式化简再用公式求导.反思感悟

简单函数求导的解题策略(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.(3)要特别注意“与ln

x”“ax与logax”“sin

x与cos

x”的导数区别.答案

C探究二利用导数的运算法则求导数例2求下列函数的导数:反思感悟

运用导数求导法则求导的解题策略(1)对于函数求导问题,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,必须注意变换的等价性,避免不必要的运算错误.(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三角公式对解析式进行化简与整理,然后套用公式求导.延伸探究

把本例(4)的函数换成“y=xtanx”,求其导数.探究三复合函数的求导思路分析抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键,解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数,再运用复合函数求导法则.反思感悟

1.复合函数的求导法则如下:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux'(其中yx'表示y对x的导数).即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.2.复合函数的求导应注意以下几点:(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导,而其中要特别注意的是中间变量的导数.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)复合函数的求导过程熟练后,中间步骤可以省略不写.

素养形成导数运算法则的综合应用典例

(1)已知函数f(x)=ln(2x-1),曲线y=f(x)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(

)(2)已知函数f(x)=eax,设曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=

.

(2)曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.答案

(1)A

(2)2方法点睛

本题中,正确地求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点是不是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.延伸探究

1本例(1)的条件变为“曲线y=f(x)上的点到直线2x-y+m=0的最小距离为2”,其他条件不变,求m的值.延伸探究

2求本例(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积.

当堂检测1.下列各式正确的是(

)答案

D2.(2021四川成都实外高二月考)已知函数f(x)=x+sinx+1,其导函数记为f'(x),则f(2021)+f'(2021)+f(-2021)-f'(-2021)=(

)A.2021 C.1 答案

B解析

因为f'(x)=1+cos

x,所以f'(x)为偶函数,所以f'(2

021)-f'(-2

021)=f'(2

021)-f'(2

021)=0,所以原式等价于f(2

021)+f(-2

021)=2

021+sin

2

021+1+(-2

021-sin

2

021+1)=2,故选B.3.(2020河南郑州高二月考)已知函数f(x)=4x-x3,则曲线y=f(x)在点(1,