华师大版七年级上册初一数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版七年级上册数学

重难点突破

全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习

有理数的意义

【学习目标】

1.掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；

2.理解正数、负数、有理数的概念；

3.掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想.

【要点梳理】

要点一、正数与负数

像+3、+1.5、+,、+584等大于0的数，叫做正数；像一3、一1.5、一584等

22

在正数前面加“一”号的数，叫做负数.

要点诠释：

（1）一个数前面的“-”是这个数的性质符号，常省略，但“-”不能省略.

（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上

升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负.

（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线.

要点二、有理数的分类

（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：

‘正整数

正有理数

整数0

有理数负整数

有理数，0

‘正分数

分数，.负整数

员分数负有理数

负分数

要点诠释：

（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.

（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数,

但无限不循环小数不是分数，例如乃.

（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数.

【典型例题】

类型一、正数与负数

▼1.（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”

一章,在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么-80元表示

（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【答案】C

【解析】解:根据题意，收入100元记作+100元,

则・80表示支出80元.

故选：C.

【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对

具有相反意义的量.

举一反三：

【有理数的意义356786概念的应用例3（1）】

【变式1]（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克“，则下列各袋

大米中质量不合格的是（）

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【答案】1）.

解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克.

【变式2]（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用表示，0元表

示__________.

（2）若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？

【答案】（1）-500元；既没有收入也没有支出.（2）不是一对具有相反意义的量，不能表示.

【变式3】如果60nl表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）.

A.-20mB.—40mC.20mD.40m

【答案】B

C2.体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过

的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2,-1,0,3,-2,-3,

1,0

（1）这8名男生有百分之几达到标准？

（2）他们共做了多少引体向上？

【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，

而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：-x100%=62.5%；

8

答：这8名男生有62.5%达到标准.

（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）

答：他们共做了引体向上56个.

【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.

类型二、有理数的分类

【有理数的意义356786概念的应用例2】

^^3.下面说法中正确的是（）.

A.非负数一定是正数.

B.有最小的正整数，有最小的正有理数.

C.一。一定是负数.

D.正整数和正分数统称正有理数.

【答案】D

【解析】（A）不对，因为非负数还包括0；（B）最小的正整数为1,但没有最小的正有理数；

（C）不对，当。为负数或0时，则一。为正数或0,而不是负数；（D）对

【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表

示这个有理数.

举一反三：

【变式1】判断题:

（1）0是自然数，也是偶数.（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）

（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）

【答案】V,x,x,x

【变式2】下列四种说法，正确的是（）.

（A）所有的正数都是整数（B）不是正数的数一定是负数

（C）正有理数包括整数和分数（D）0不是最小的有理数

【答案】D

Cd.请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.

7*,

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,——，023.

23

正整数集合：{…},负整数集合：{…},

整数集合：（…},正分数集合：{…},

负分数集合：{…},分数集合：{…},

非负数集合：{…},非正数集合：{…}.

【答案】正整数：1；负整数：-700；整数：1,0,-700；正分数：0.0708,3.14159265,

023.

7

负分数：-3.88,；

23

7

分数：0.0708,3.14159265,023,-3.88,

23

非负数：1,0.0708,3.14159265,0,023；

7

非正数:-700,-3.88,0,——

23

‘正整效

正有理教

【解析】正分数

有理数0

【总结员整数升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，

负有理数

进行填员分数写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出

属于这个集合的数.此外注意几个概念:非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.

举一反三:

【变式】(2014秋•惠安县期末)在有理数-2、-5、3.14中，属于分数的个数共有个.

3—

【答案】2.

类型三、探索规律

.某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1

组取3粒，第2组取5粒.第3组取7粒，第4组取9粒，•.按此规律，那么请你推测第

n组应该有种子是粒.

【答案】(2,2+1)

【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，・・・，由此我们观

察到的粒数与组数之间有一定关系：3=2xl+l,5=2x2+1,7=2x3+1,

9=2x4+l,…，按此规律，第n组应该有种子数(2〃+1)粒.

【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.

举一反三：

【变式1】有一组数列：2,-3,2,-3,2,-3,…，根据这个规律，那么第201()个数是:

【答案】-3

【变式2】观察下列有规律的数：…，根据其规律可知第9个数是：

26122()3()

【答案】3

90

【巩固练习】

一、选择题

1.(2014•甘肃模拟)下列语句正确的()个

(1)带“-”号的数是负数；

（2）如果a为正数，则-a一定是负数；

（3）不存在既不是正数又不是负数的数；

（4）0℃表示没有温度.

A.0B.1C.2I）.3

2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是（）

A.0是整数B.0是偶数

C.0是正整数D.0既不是正数也不是负数

3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是（）

A.前进T8米的意义是后退18米

B.收入-4万元的意义是减少4万元

C.盈利的相反意义是亏损

D.公元-300年的意义是公元后300年

4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是（）

A.甲站的东边70千米处B.甲站的西边20千米处

C.甲站的东边30千米处D.甲站的西边30千米处

5.在有理数中，下面说法正确的是（）

A.身高增长1.2cm和体重减轻1.2kg是一对具有相反意义的量

B.有最大的数

C.没有最小的数，也没有最大的数

D.以上答案都不对

6.下列各数是正整数的是（）

A.-1B.2C.0.5I）.小

二、填空题

1.（2014秋♦朝阳区期末"II果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作—.

11

2.在数05,-2-,100.0,1--45,0.1中，非负数是；非正数

22

是.

3.把公元2008年记作+2D08,那么-2008年表示.

4.既不是正数，也不是负数的有理数是.

5.（2016春•温州校级期中）如果向东行驶10米,记作+10米，那么向西行驶20米,记作.

_________米.

6.是整数而不是正数的有理数是.

7.既不是整数，也不是正数的有理数是.

8.一种零件的长度在图纸上是（10：器）亳米，表示这种零件的标准尺寸是亳米,

加工要求最大不超过毫米，最小不小于亳米.

三、解答题

1.说出下列语句的实际意义.

（1）输出-12t（2）运进-5t（3）浪费-14元（4）上升-2m（5）向南走-7小

2.（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两

个圈中合适的位置.

3.（2015秋•赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家

庭.小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km为标准，多于

50km的记为“+”，不足50km的记为“-”，刚好50km的记为“0”，记录数据如下表:

时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

路程（km）-8-11-140-16+41+8

（1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？

（2）若每行驶100km需用汽油8L,汽油每升7.14元,试求小明家一年（按12个月计）的

汽油费用是多少元？

4.观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出

第2011个数是什么吗？

（1）1>~2>3,-4,5,-6,7,-8,,,...,...

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B

【解析】（1）带“-”号的数不一定是负数，如-（・2）,错误；

（2）如果a为正数，则-a一定是负数，正魂；

（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数乂不是负数的数此表述错误;

（4）0℃表示没有温度，错误.

综上，正确的有（2）,共一个.

2.【答案】C

【解析】。既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.

3.【答案】D

【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.

4.【答案】C

【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在

甲站的东边30千米处.

5.【答案】C

【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量，B错误，没有最大的数也没有

最小数；c对.

6.【答案】B

二、填空题

1.【答案】-5米

11

2.【答案】0.5,100,0,1-01；-2-,0,-45

22

【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非卫数，零既不是正数也不是负数.

3.【答案】公元前2008年

【解析】正负数表示具有相反意义的量.

4.【答案】0

【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.

5.【答案】-20.

【解析】解：•・•向东行驶10米，记作+10米，

・••向西行驶20米,记作・20米,

故答案为：-2D.

6.【答案】负整数和()

【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.

7.【答案】负分数

【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.

8.【答案】10,10.03,9.98

【解析】10喘:表示的数的范围为：大于(10-0.02),而小于(10+0.03),即大于9.98

而小于10.03.

三、解答题

1.【解析】(1)输出-12t表示输入12t；

(2)运进-5t表示运出5t；

(3)浪费T1元表示节约14元;

(4)上升-21n表示下降2m；

(5)向南走-7m表示向北走7m.

提示：“-”表示相反意义的量.

50X7-8-U-14-16+41+8,n

7

50X30=1500（km）.

答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米;

（2）互如X8X7.14X12=10281.6（元），

100

答：小明家一年的汽油费用是10281.6元.

4.【解析】（1）9,一10,…,2011,-

892011

数轴与相反数（基础）

【学习目标】

1.理解数轴的概念及三要素；

2.理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；

3.会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；

4.掌握多重符号的化简.

【要点梳理】

要点一、数轴

L定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数地.

要点诠释：

（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.

（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度

单位是为度量线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等.

（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动.

2.数轴与有理数的关系：任何•个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都

表示有理数，还可以表示其他数，比如乃.

要点诠释：

（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用

数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.

（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

要点二、相反数

1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.

2.性质：

（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原

点对称）.

(2)互为相反数的两数和为0.

要点三、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，

如-{-卜(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4.

要点诠释：

(1)在一个数的前面添上一个“+”，仍然与原数相同，如+5=5,+(-5)=-5.

(2)在一个数的前面添上一个“一”，就成为原数的相反数.如一(-3)就是一3的相反

数，因此，一(-3)=3.

【典型例题】

类型一、数轴的概念

C1.如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是()

-2-1~广-3-2-10""1"""2"""g>-1-2~~0~17a-'o

(0(2)(3)(4)

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.只有⑵D.⑴⑵⑶⑷

【答案】C

【解析】对数轴的二要素掌握不清.(1)中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致;

(3)中负有理数的标记有错误；(4)图中漏画了表示方向的箭头.

【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位

长度缺一不可.

类型二、相反数的概念

2.(2015・宜宾)」的相反数是()

5

A.5B.-1C.-1D.-5

55

【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将

原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.

【答案】B

【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.

举一反三：

【数轴和相反数例1(1)~(7)】

【变式1】填空：

(1)一(一2.5)的相反数是；(2)—是700的相反数；(3)-5；是的相反数；

(4)的相反数是T.1；(5)8.2和互为相反数.(6)a和互为相反数.

(7)的相反数比它本身大，的相反数等于它本身.

【答案】(1)-2.5；(2)100；(3)5-；(4)1.1；(5)-8.2；(6)-a；(7)负数，().

5

【数轴和相反数例2】

【变式2】下列说法中正确的有（）

①一3和+3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定

一个是正数，一个是负数；④乃的相反数是一3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等.

A.0个B.1个C.2个D.3个或更多

【答案】B

C3.（2016•泰安模拟）如图，数轴上有A,B,C,1）四个点，其中表示2的相反数的点

是（）

ABCD

・1•-----L-«-J------■-----1・1■>

-4-3-2-10123456

A.点AB.点BC.点CD.点D

【思路点拨】考杳相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数.根据定义，结合数轴

进行分析.

【答案】A

【解析】解：•・•表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2

分别位于原点的左右两侧，

・••在A,B,C,D这四个点中满足以上条件的是A.

故选A.

【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两

侧，并且到原点的距离相等.

类型三、多重符号的化简

4.化简下列各数中的符号.

(1>(

(1)—I—2—3J(2)-(+5)(3)-(-0.25)(4)+I一—2；

(5)-[-(+!)](6)-(-a)

【答案】(2)-(+5)=-5(3)-(-0.25)=0.25

(11

<4)-I-=(5)-[-(+1)]=-(-!)=1(6)-(-a)=a

I2

【解析】

<1A111(1

(1)--2-表示一2-的相反数，而一2—的相反数是2-，所以--2-=2-；

I3)333I3J3

(2)-(+5)表示+5的相反数，即-5,所以-(+5)=-5；

(3)-(-0.25)表示-0.25的相反数,而-0.25的相反数是0.25,所以-(-0.25)=0.25；

(4)负数前面的“+”号可以省略，所以+(-'〕二一』；

I2J2

(5)先看中括号内-(+1)表示1的相反数,即T,因此-卜(+1)]=-(-1)而-(T)表示T的

相反数,即1,所以-(7)=1;(6)-(-a)表示-a的相反数,即a.

所以-(-a)=a

【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个

负号.若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.

类型四、利用数轴比较大小

C5.在数轴上表示2.5,0,-1,-2.5,1-,3有理数，并用“V”把它连接起

44

来.

【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5,0,-1,

4

-2.5,1-,3.

4

-4-3-2-I01234

由上图可得：

31

**•—2.5<—1<—<0<1—<2.5<3

44

【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在

数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小.

举一反二：

【变式1】(2014秋•蛹桥区校级期中)有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不

成立的是()

--------------1-----------1-।--------------->

a0b

A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0

【答案】D

【数轴和相反数例4(2)】

【变式2】填空：

大于-39且小于7。的整数有______个；比3」小的非负整数是.

775

【答案】11：0,1,2,3

类型五、数轴与相反数的综合应用(数形结合的应用)

@’6.已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a,b(a<b)并且A、B两点间

的距离是4,，求a、b两数.

4

【思路点拨】因为a、b两数互为相反数（aVb）,所以表示a,b的两点A、B离原点的距离

相等，而A、B两点间的距离是41，所以A、B两点到原点的距离就是4，+2=21.

448

【答案与解析】

解：由题意A、B两点到原点的距离都是：42+2=2,而aVb,所以。二-21,b=2~.

4888

【总结升华】（1）理解相反数的几何意义.（2）从相反数的意义入手，明确互为相反数的两

数关于原点对称.

举一反三：

【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是；（2）从数轴上观

察，-3与3之间的整数有个.

【答案】（1）±5,提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5,提示：画出数轴，

容易看出-3和3之间的整数是-2,-1,0,1,2共5个.

【巩固练习】

一、选择题

1.（2015•江阴市模拟）-5的相反数是（）

A.5B.-5C.±5D.

5

2.下列说法正确的是（）

A.数轴上一个点可以表示两个不同的有理数

B.数轴上的两个不同的点表示同一个有理数

C.有的有理数不能在数轴上表示出来

D.任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点

3.（2016•呼和浩特）互为相反数的两个数的和为（）

A.0B.-1C.1D.2

4.如图，有理数a,b在数轴上对应的点如下，则有（）.

a0b

（A）a>0>b（B）a>b>0（C）a<0<b（D）a<b<0

5.一个数比它的相反数小，这个数是（）

A.正数B.负数C,非正数D.非负数

6.如果4+8=0,那么〃泊两个数一定是（）

A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数

二、填空题

1.的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是.

2.（2015春•岳池县期中；若3a-4b与7a-6b互为相反数，则a与b的关系为

3.（2016•岳阳）如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是

4.数轴上离原点5个单位长度的点有_____个，它们表示的数是,它们之间的关

系是.

5.化简下列各数：

⑴一’1卜——；⑵-1+》——⑶一{+[-(+3)]}=

【数轴和相反数例4(5)】

6.已知一l<aVOVl<b,请按从小到大的顺序排列-1,—a,0,1,-b为.

三、解答题

1.小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D,

学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米.

(1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点).

(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后.以每分钟5()米的速度往图书馆方向走了约8分

钟.试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米？

2.(2014秋•孟津县期中)已知：a是-(-5)的相反数，b比最小的正整数大4,c是最

大的负整数.计算：3a+3b+c的值是多少？

3.化简下列各数，再用连接.

(1)-(-54)(2)-(+3.6)⑶

4.已知3n1-2与-7互为相反数，求m的值.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A

2.【答案】1)

【解析】A、B、C都错误，因为所有的有理数都能在数轴上表示出来，但数轴上的点不

都表示有理数；一个有理数在数轴上只有一个表示它的点.数轴上表示有理数的

点一个点对应一个有理数.

3.【答案】A

【解析】解：互为相反数的两个数的和为0.

故选：A.

4.【答案】C

5.【答案】B

【解析】因为一个负数的相反数是一个正数，负数小于正数，所以选B

6.【答案】C

【解析】若。+〃=0,则。/一定互为相反数；反之，若互为相反数，则。+〃=0.

二、填空题

1.【答案】只有符号不同，零

【解析】相反数的定义

2.【答案】a=b.

【解析】•・•3a-4b与7a-6b互为相反数，.\3a-4b+7a-6b=0,Aa=b.

3.【答案】2.

【解析】解：数轴上点A所表示的数是-2,-2的相反数是2,

故答案为：2.

4.【答案】两个，±5,互为相反数

24

5.【答案】3

35

【解析】多重符号的化简是由“一”的个数来定，若“一”个数为偶数个时，化简结果为

正，：若“一”个数为奇数个时，化简结果为负.

6.【答案】一b<-l<O<-a<l.

三、解答题

（2）小敏从邮局出发，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，其路程为E0X8

=400（米），由上图知，此时小敏位于家西300米处，所以小敏在学校与图书馆之间，且距

图书馆100米，距学校IX）米.

2.【解析】Ta是-(-5)的相反数,

a=-5,

•・・b比最小的正整数大4,

/.b=1+4=5,

・・・c是最大的负整数，

/-c=-1,

3a+3b+c=3X(-5)+3X5-1,

=-15+15-1,

=-1.

3.【解析】

(1)-(-54)=54

(2)-(+3.6)=-3.6

5

3

(2\2

(4)——4—=4—,

55

9

将化简后的数表示在数轴上，由图可得:-(+3.6)V—+—<—I—4—I<-(-54).

3；5

4.【解析】依题意：3m-2=7,故m=3.

绝对值及有理数的大小比较(基础)

【学习目标】

1.借助数轴理解绝对值的概念，知道⑸的绝对值的含义；

2.会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较有理数的大小；

3.通过应用绝对值解决实际问题，休会绝对俏•的意义和作用.

【要点梳理】

要点一、绝对值

1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

(1)绝对•值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0

的绝对值是0.即对于任何有理数a都有：

a(a>0)

|a|=<0(q=0)

-a(a<0)

(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距

离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.

(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.

2.性质：

(1)0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数.

(2)互为相反数的两个数的绝对值相等.

(3)绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.

耍点二、有理数的大小比较

1.数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上

的位置如图所示，则aVb.______।_____।，

2.法则比较法：°b

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:

同为正号：绝对值大的数大

两数同号

同为负号：绝对值大的反而小

两数异号正数大于负数

-数为0正数与0：正数大于0

负数与0：负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值

的大小；（3）判定两数的大小.

3.作差法：设a、b为任意数，若a-b>0,则a>b；若a-b=0,则a=b；若a-b〈0,a

<b：反之成立.

4.求商法：设a、b为任意正数，若且>1,则若0=1,则。=〃；若@<1,则

hhb

反之也成立.若a、b为任意负数，则与上述结论相反.

5.倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.

【典型例题】

类型一、绝对值的概念

1.求下列各数的绝对值.

-1—>一（）.3,0,—（—3—

2I2

【思路点拨】11,-0.3,0,一（-3,］在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字

2I2）

就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解.

【答案与解析】

解：方法1：因为-11到原点距离是个单位长度，所以-1‘二1’.

2222

因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3=0.3.

因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|=（）.

因为-（）.3<0,所以|-0.3|=-（-0.3）=0.3.

因为0的绝对值是它本身，所以|0|=0

因为——3—>0,所以

<2）

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解（如方法1）,

一种是利用绝对值的代数意义求解（如方法2）,后种方法的具体做法为：首先判断这个数是

正数、负数还是零.再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相

反数，还是零.从而求出该数的绝对值.

▼2.已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是.

【思路点拨】若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.

【答案】2009或-2009.

【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009

个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009

的点.

【总结升华】已知绝对值求原数的方法：（1）利用概念；：2）利用数形结合法在数轴上表示出

来.

举一反三：

【变式1】（2015♦镇江）已知一个数的绝对值是4,则这个数是—.

【答案】±4.

【绝对值比大小356845典型例题3】

【变式2】如果IxI=2,那么x=；如果I-XI=2,那么x=.

如果Ix-2I=1,那么x=；如果IxI>3,那么x的范围是.

【答案】+2或-2；+2或-2；1或3；x>3或x<-3.

类型二、绝对值非负性的应用

^^3.（2015•乐山期末）若|x-2|与|y+3|互为相反数，则x+y=.

【思路点拨】由IaI20即绝对值的非负性可知，Ix-2I20,Iy+3I20,而它们的和

为0.所以|x・2|=0,|y+3|=0.由此算出结果.

【答案】T.

【解析】・・・|x-2|与|y+3|互为相反数，

|x-2|+|y+3|=0,

Ax-2=0,y+3=0,

解得x=2,y=-3,

Ax+y=2+（-3）=-1.

故答案为：-1.

【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|=0时,

则a=b=…=m=0.

类型三、有理数的大小比较

e4.（2016春•上海校级月考）比较大小：|_______-（-1.8）（填“>”、“V”

4

或“二”）.

【思路点拨】先化简，再比较大小，即可解答.

【答案】V.

【解析】解：|-13=1旦=1.75,-（-1.8）=1.8,

44

V1.75<1.8,

A|-12|<-（-1.8）,

4

故答案为：<.

【总结升华】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重复

号的化简方法.

举一反三：

【绝对值比大小356845典型例题2】

【变式】比大小：

56

-3-_______-3-:-|-3.2|-（+3.2）；0.0001_-1000；

67

—1.38-1.384；—n-3.14.

【答案】>;=;>;>;V.

【巩固练习】

一、选择题

1.（2015.常州）-3的绝对值是（）.

11

A.3B.-3C,-D.一一

33

2.下列判断中，正确的是（）.

A.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；

B.如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；

C.任何数的绝对值都是正数；

D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.

3.下列各式错误的是（）.

JJC.二二二

A.+5—=5-B.|-8.1|=8.1一=——

333322

4.（2016•娄底）己知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图,则其中对应的数的绝对值最大的

点是（）

NMp0

■•,111IIIG>

-4-3-2-10123456

A.MB.NC.PD.Q

5.若两个有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是（）.

ab0

A.a>bB.|a|>|b|C.-a<-bD.-a<|b|

6.若|a|+a=0,则&是().

A.正数B.负数C.正数或()D.负数或0

二、填空题

7.若m,n互为相反数，则|m||n|；|m|=|n则m,n的关系是.

8.己知|x|=2,|y|=5,且x>y,则x=,y=.

9.满足3.5W|x|<6为x的整数值是.

10.（2015•大邑县模拟）在・2.1,・2,0,1这四个数中，最小的数是.

11.数a在数轴上的位置如图所示.则|a-21=.

II1

-1012a

12.已知|4元一3|=3—4不，则）的取值范围是.

三、解答题

13.（2014秋•娄底期末）若有理数x、y满足|x|=5,|y|=2,且|x+y|=x+y,求x・y的值.

14.（2016春•桐柏县期末）若|a+L2|+|b-1|=0,那么a+（-1）+（-1.8）+b等于多少?

15.比较3a-2与2a+l的大小.

【答案与解析】

一、选择题

】.【答案】A