新教材人教b版选择性必修第三册 6.2.1导数与函数的单调性 作业

2021-2022学年新教材人教B版选择性必修第三册6.2.1导数与函数的单调性作业一、选择题1、已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A.B.C.D.3、下列函数在区间上是增函数的是A．B．C．D．4、已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有（）A．B．C．D．5、设函数.若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为()A． B． C． D．6、设函数，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C． D．7、如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线和圆分别交于A，B和C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线AB的方程为（）A． B． C． D．8、已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.9、对任意，不等式恒成立，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．10、已知函数，则下列判断正确的是（）A．存在，使得 B．函数的递减区间是C．任意，都有 D．对任意两个正实数、，且，若，则11、设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12、已知，若，则当取得最小值时，所在区间是（）A．B．C．D．二、填空题13、在木工实践活动中，要求同学们将横截面半径为R，圆心角为的扇形木块锯成横截面为梯形的木块．甲同学在扇形木块OAB的弧上任取一点D，作扇形的内接梯形OCDB，使点C在OA上，则他能锯出来梯形木块OCDB面积的最大值为______．14、当时，不等式恒成立，则a的取值范围是________15、若对任意实数，都有成立，则实数的值为________.16、已知，若恒成立，则实数的取值范围是________．三、解答题17、（本小题满分10分）已知函数（1）求在处的切线方程；（2）设函数在定义域内有两个不同的极值点、，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，令且，总有成立，求实数的取值范围.18、（本小题满分12分）设函数.（1）求过点的切线方程；（2）若方程有3个不同的实根，求的取值范围。（3）已知当时，恒成立，求实数的取值范围．19、（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数在上的最小值是，求的值.参考答案1、答案C解析首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去f符号求解实数的取值范围即可.详解函数的定义域为，且由函数的解析式可得，据此可知函数是奇函数，且，由于，故恒成立，即函数是上的减函数，据此可得题中的不等式即：，由函数的单调性可得：，求解不等式可得实数的取值范围是.本题选择C选项.点睛对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．2、答案D详解：根据题意，设g（x）=x2f（x），x>0，其导数g′（x）=[x2f（x）]′=2xf（x）+x2f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），又且x>0由x（2f（x）+xf′（x））＞x2≥0，则g′（x）g′（x）0，则函数g（x）在区间上为增函数，（x﹣2018）2f（x﹣2018）﹣4f（2）＞0？（x﹣2018）2f（x﹣2018）＞（2）2f（2）？g（x﹣2018）＞g（2），又由函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，则有，解可得：x2020，即不等式的解集为；故选：D．点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.3、答案A解析根据题意，依次分析选项中函数在上的单调性，综合即可得答案．详解根据题意，依次分析选项，对于A，，其导数，当时，有恒成立，则函数在上为增函数，符合题意；对于B，，其导数为，在上，，则函数在上为减函数，不符合题意；对于C，，其导数为，当时，有恒成立，则函数在上为减函数，不符合题意；对于D，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；故选：A．点睛本题考查函数的单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题．4、答案D解析通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系。详解因为所以<0，即构造函数，所以，即在R上为单调递减函数所以，化简得同理，化简得所以选D点睛本题考查了利用导数判断函数单调性并解不等式，属于难题。5、答案A解析令，，作出函数图象，数形结合、分类讨论当、、时满足条件的a的取值范围.详解：令，，则，，令，解得或，所以函数在，上单调递增，在上单调递减；函数恒过点，作出函数图象如图所示：①当时，单调递增，若，则只存在唯一非负整数，使得，则即，解得，所以；②当时，，由图可知仅存在唯一非负整数1使得，满足题意；③当时，单调递减，，，不满足题意；综上所述.故选：A点睛本题考查函数图象的综合应用，利用导数判断函数单调性，考查分类讨论、数形结合的思想，属于较难题.6、答案B解析由题意结合函数的解析式分别确定函数的奇偶性和函数在区间上的单调性，然后脱去f符号求解不等式即可.详解∵函数为偶函数，且在时，，导数为，即有函数在[0，+∞）单调递增，∴等价为，即，平方得，解得：，所求的取值范围是．故选：B．点睛本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．7、答案B解析先由条件求出睾的方程，设直线AB的方程为，再利用直线与曲线方程联立，分别得出，，将用表示，再利用导数求函数的最值即可得解.详解：由抛物线的准线与圆相切得或7，又，∴，所以抛物线的方程为：设直线AB的方程为，直线CD的方程为，由，可得，则，可得，则则.设，，令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减,即当时，，此时直线AB的方程为.所以当取得最大时，直线AB的方程为.故选：B点睛本题考查求抛物线和圆的弦长，利用导数求函数的最值，重点考查了运算能力，属中档题.8、答案D解析由函数，可得，所以函数为奇函数，又，因为，所以，所以函数为单调递增函数，因为，即，所以，解得，故选D．点睛：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点．9、答案C解析构造函数，则，∵，∴，即在上为增函数，由，即，即，即，故A错误；由，即，即，即，故B错误．，即，即，，故C正确；，即，即，故D错误；故选：C．10、答案BCD解析求出原函数的导函数，得到单调性与极值，即可判断ABC，构造函数，利用导数证明．详解：解：因为，定义域为，，令，则，所以函数在上单调递减；令，则，所以函数在上单调递增；所以函数，在处取得极小值也就是最小值，，所以对任意，故正确、错误；令，则，，令，则．在上为减函数，则，令，由，得，则，当时显然成立．对任意两个正实数、，且，若，则正确，故正确．故选：BCD点睛本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．11、答案A解析由题意得令，即与恰有3个交点，由，利用导数得到函数的单调性即可得解.详解恰有3个零点，则恰有3个根，令，即与恰有3个交点，，当时，，所以在上是减函数；当时，，当时，，当时，，所以在时增函数，在时减函数，且，所以故选A．点睛对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12、答案B解析令，即∴，∴令，则∵递增，递减∴存在唯一使得，则时，，，时，，∴，即取最小值时，根据零点存在定理验证的根的范围：当时，当，∴故选B点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.13、答案详解：设，则，，，欲求的最大值，先求的最大值，令，求导得：，当或（舍）时，，此时．当时，，当时，，故时，有最大值为，此时梯形OCDB面积取得的最大值为．故答案为：.点睛方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调递增或递减，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要先求出函数在上的极值，再与，比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数在区间上有唯一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.14、答案解析利用换元法构成新函数，利用导数，分类讨论，根据新函数的单调性和取特殊值法，结合二次函数的性质进行求解即可.详解：令，所以有，化简得：设函数，原问题等价于在时恒成立，，当时，，因此当时，单调递增，要想在时恒成立，只需，解得，而，所以；当时，，因为，所以，故不成立，显然此时在时不恒成立，综上所述：故答案为；点睛本题考查了已知不等式恒成立利用导数求参数取值范围，考查了数学运算能力.15、答案解析设，先计算，再讨论，，三种情况计算得到答案.详解设，若判别式，则有解，设一解为，则时，不满足恒成立，则，此时，因为，①即时，函数在单调递减，，则，即，不满足题意；②即时，记较小值为，则在单调递增，由可得，即，不满足题意；③即时，在，递减，则，，则成立，综上.故答案为：.点睛本题考查了不等式恒成立问题，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.16、答案解析函数的定义域为，由，得，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数的取值范围.详解：函数的定义域为，由，得，(ⅰ)当时，，，不等式恒成立，所以;(ⅱ)当时，,,所以;(ⅲ)当时,不等式恒成立等价于恒成立或恒成立，令，则，因为，所以，从而，因为恒成立等价于，所以，令，则，再令,则在上恒成立,在上无最大值，综上所述，满足条件的的取值范围是.故答案为：.点睛本题考查导数知识的综合运用,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.17、答案（1）；（2）；（3）.解析解：（1）因为，所以，所以，又，所以所求切线方程为.（2）由得，令，函数在内有两个极值点，则，在有两个不相等的实根、，所以，解得；（3）由（2）知，，，所以，得，，所以成立，即，即，即成立，且时，.当时，，令，，①时，，所以在上为增函数，且.所以时、，与矛盾，不符合题意.②时，令，.（ⅰ）当，即时，，所以在为减函数，且.可得：当时，，，则；当时，，，则.所以对任的恒成立；（ⅱ）当.即时，二次函数图象的对称轴，且.令.则当时，，即.所以在为增函数，且，所以在上，与矛盾，不符合题意，综上，，即的取值范围是，18、答案（1）；（2）；（3）求出的单调区间，极值，则在极小值与极大值之间。参变分离，求最值。详解(1)设切点为切线过(2)对函数求导，得函数令，即，解得，或，即，解得，的单调递增区间是及，单调递减区间是当,有极大值；当，有极小值当时，直线与的图象有3个不同交点，此时方程有3个不同实根。实数的取值范围为(3)时，恒成立，也就是恒成立，令，则，的最小值为，点睛本题考查曲线上某点的切线方程，两方程的交点问题以及参变分离。属于中档题。解析19、答案（1）见解析；（2），.（2）当