测试卷22：勾股定理的应用参考答案

测试卷22勾股定理的应用参考答案知识要点：勾股定理和勾股定理的逆定理以及它的应用。A卷1、已知直角三角形的一个锐角为，斜边长为1，那么直角三角形的周长是（）A、B、C、D、答案：D解答：由斜边长为1，一锐角为，可知角所对直角边是斜边的一半，即，然后由勾股定理可求另一条直角边为，三边相加，及，故选D.2、如果直角三角形的三条边为2，4，a，那么a的取值可以有（）A、0个B、1个C、2个、3个答案：C解答：当a为斜边时，则有，解得：；当a为直角边时则有，解得：，综上所述，或，故选C.3、下列命题是真命题的个数有（）（1）已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为，则它的斜边为；（2）直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；（3）在直角三角形中，若两直角边长为和，则斜边长为；（4）等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5.A、1个B、2个C、3个、4个答案：D解答：（1）设较小直角边为x，则另一条直角边为，则有，解得：，故，由勾股定理得：斜边长为；所以（1）正确；（2）显然，根据勾股定理可求得（2）是正确的；（3）由勾股定理有，可判断（3）是正确的；（4）设底边长为x，则，解得.根据等腰三角形的性质定理及勾股定理可求得原三角形腰为5，所以（4）也正确。综上所述，（1）、（2）、（3）、（4）全正确，所以选D.A′B′图1ACB4、如图1，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米A′B′图1ACB答案：0.8解答：在中，，由勾股定理得:又∵∴在中，由勾股定理得:∴则梯足将外移0.8米5、等腰三角形的两边长为4和2，则底边上的高是，面积是.答案：，考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系；勾股定理。分析：首先根据题意画出图形，确定腰和底边的长度，然后再求底边上的高及面积。D第5题图ACB解答：如图D第5题图ACB∵∴∴∴故答案为，点评：本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，关键在于根据有关性质确定等腰三角形的腰长和底边长。6、若直角三角形两直角边的比是，斜边长为20，则此直角三角形的面积是.答案：考点：一元二次方程的应用；勾股定理。分析：根据直角三角形的两直角边是，设两直角边分别为，，根据勾股定即可列方程求出两边的长，进而就可求得三角形的面积。解答：解：设两直角边分别为，，根据勾股定理可得出解得：（不合题意舍去），那么两直角边分别为，那么这个三角形的面积为答：这个三角形的面积为．点评：可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解。本题考查了直角三角形的性质。7、如果直角三角形的边长分别为6，8，x，则x等于.答案：，考点：勾股定理；三角形的面积。分析：本题分8是直角边与8是斜边两种情况分别讨论，无论哪一种情况，都是先运用勾股定理求出直角三角形中第三边的长度，再根据这个直角三角形的面积不变得出斜边上的高。解答：（1）当边长为8的边为斜边时，则，解得：；（2）当边长为8的边为直角边时，则，解得：，故x等于为，.点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中运用分类讨论思想讨论边长为8的边是直角边还是斜边是解题的关键。8、（2004年第9届全国华罗庚金杯赛）如图2，大小两个半圆，它们的直径在一直线上，弦AB与小半圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米，求图中阴影部分的面积。（）答案：考点：切线的性质；勾股定理。分析：首先设大圆圆心为F，直径为CD，大圆圆心为M，AB与半圆相切点N，连接MN，作，垂足为E．连接FA，则FA是大圆半径，由切线的性质，易求得，由垂径定理，可求得，然后由勾股定理求得，再由阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积，即可求得答案。解答：∵设大圆圆心为F，直径为CD，小圆圆心为M，AB与半圆相切点N，连接MN，作，垂足为E．连接FA，则FA是大圆半径∴DCFDCFM图2AB∴∵∴∴∵阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积∴阴影部分的面积为：点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、平行线的性质以及勾股定理。此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与整体思想的应用。B卷9、有一方池，每边长一丈，池中央长了一颗芦苇，露出水面恰好一尺，把芦苇的顶端引到岸边，苇顶和岸边水面刚好相齐，则水深，苇长.答案：12尺，13尺考点：一元二次方程的应用。分析：水下的芦苇，半个池长，芦苇长恰好构成一个直角三角形，可用勾股定理求解。解答：设水深x尺，则芦苇长（）尺，由题意得：，解得：答：水深12尺，则芦苇长13尺。10、的三边长分别为a，b，c，其中两边长分别为5，12，另一边长c为奇数，且是3的倍数，则c为，此三角形为三角形。答案：13，直角考点：勾股定理的逆定理。分析：根据三角形的三边关系知，求得第三边c应满足，又因为这个数与的和又是3的倍数，则可求得此数，再根据直角三角形的判定方法判定三角形。解答：∵，c又为奇数∴满足从7到17的奇数有9，11，13，15∵与的和又是3的倍数∴∴∵∴是直角三角形．点评：本题考查了由三角形的三边关系确定第三边的能力，还考查直角三角形的判定．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力。11、在中，已知，，，则.答案：60解答：∵∴以a，b，c为边的是直角三角形∴12、（2004年全国初中数学联赛题）已知p，q均为质数，且满足，则以，，为边长的三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形答案：B考点：质数与合数.分析：先根据可判断出p、q必一奇一偶，再根据p、q均为质数可知p、q中有一个为2，再分别把2代入代数式求出三角形的三边长，再有三角形的三边关系及直角三角形的判定定理即可解答。解答：∵为奇数∴p、q必一奇一偶∵p、q均为质数∴p、q中有一个为2，若，则不合题意舍去∴，则此时，，∵∴5、12、13为边长的三角形为直角三角形。故选B．点评：本题考查的是质数与合数的定义及三角形的三边关系、勾股定理的逆定理，解答此题的关键是熟知在所有偶数中只有2是质数这一关键知识点。13、直角三角形的一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（）A、121B、120C、132D、以上答案都不对答案：C考点：勾股定理。分析：设另一直角边为x，斜边为y，根据勾股定理列方程，从而求得x，y的值，从而不难求得其周长。解答：设另一直角边为x，斜边为y，根据勾股定理得：，即∵x，y为自然数∴，∴，∴周长为：故选C．点评：本题考查勾股定理，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系。C卷14、如图3，在中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，若，且，求证：证明：延长ED到M，使，连接CM，FMMEFD图3ACMEFD图3