过抛物线焦点弦端点的切线的探究教案资料

教学目标教学过程教学目标教学过程学生活动设计意图学生回忆回忆研究的过程，从中体会研究的方法，为下面进一步探究做铺垫.学生回答2*2（x2，2p）.课题《过抛物线焦点弦端点的切线的探究》教案授课时间年月日授课教师牛文化授课班级高三()班、掌握抛物线的图像和性质，巩固圆锥曲线中常见的垂直的证明方法，增强学生解决综合性问题的信心.、通过学生的研究讨论，发挥学生自主学习的能动性，提高学生分析问题、解决问题的能力.培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力 ^、通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度重与抛物线焦点弦有关的垂直关系和证明及应用点与抛物线焦点弦有关的垂直关系的证明和应用教师活动一、课前回顾与反思前面我们研究了过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，过这两点的切线的交点的轨迹问题 ^首先请一名同学回忆一下研究的过程和结果 .研究过程为：已知：如图，设抛物线为x2=2py(pA0),焦点为F,过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，过A、B的切线相交于点P,求点P的轨迹.解：设直线AB的方程为y=kx+~p,2y二kx卫联立直线AB方程和抛物线方程有2 2x2=2py2 2整理有x-2pkx-p=02由抛物线方程x=2py(p>0), x?可设点A、B的坐标分别为(x1,一匚)、12p由韦达定理可知 x1+x2=2pk,x1x2=p2

教师活动学生活动设计意图由X2=过点A2一 一 X .二2py,得y=—,y=2p、B的切线的斜率分别为X.py|X% ,y|X今2一P于是过点A的切线AP方程为：X2p学生回答回忆研究的过程，从中体Z.Xi X1y_ (X_Xl),2PP2整理得ynaX—土⑴P2p同理可得：过点B的切线BP的方程为会研究的方法，为卜面进一步探究做铺垫.X2y-p2X2X一. ⑵2p教联立⑴、⑵，解得*=仆，y2X1X2.2p学1即11'X1+X2X- 2 ,动回演示结过y=-BC2.论，加深学生对结论的认程所以两条切线交点的轨迹方程为 y_p一2'识和理解.这恰是抛物线X2=2py的准线.通过这名同学的回答，我们体会证明过程中的几个闪光点.首先二，在设A、B两点的坐标时灵活运用了抛教师点评，指物线方程，减少了未知数的个数，为简化运算作了铺垫；其次，在寻求X1X2与p的关系时，巧妙地借助“韦出证明过程中的关键点和突破口.达定理”，很快找到了问题的突破口 .二、合作学习，探究新知结合解题过程，仔细观察图形，你能得到那些垂直关系？并试着加以证明.(可适当添加辅助线)通过学生探究，可能得到如下几个结论：学生主动探究，合作交流教师巡视，遇到学生的问题加以指导.结论一一APIBP.教师活动教师活动教师活动教师活动【证明】由上面可知过点A、B的切线的斜率分别为y即kPA=x=X|x1勿知%akPB故AP_BP.X1一，yp_X2Xe2二一Px2X1X22P2一P2 一P结论一一连结可证PFBA图2I知PFX|X2曳尸,p)，2I 2 2W/X2-X|AB_(X2-Xi, )2pPF^AB_(Xi±X2)(Xi—x2)+x2—X2_0故PF_AB.由结论我们还可以推导出更多结论比如：①PF是直角APAB斜边上的高，从而|PF『=miFB|.②|AP|2二|AFLlAB|③|BP|2=|BF|L|BA|④|AP|2|BP|2二|AB|2学生活动设计意图学生分组合作，共同探究新的结论整个教学过程中，教师只是启发、引导，证明推理过程由学生来完成，充分体现学生的主体地位和教师的主导作用.【证明】如图，易教师活动 学生活动 设计意图教师活动 学生活动 设计意图教师活动 学生活动 设计意图教师活动 学生活动 设计意图结论一一设PA与x轴交于点C,PB与x轴交于点D,可证CF_LAP、DF_LBP和FC_LFD.教学过程2 2x1 为， X2X2-x一丁；％B：y=——x--

p2P p2pPA与x轴交于点C,点C坐标为（3。），2PB与x轴交于点D,点D坐标为（£,0）,由CF=（_±e）,PA=（g,£_±W22 22p可知色直又专！V=0故CF_LAP,证明DF_LBP思路相同（略）.由上面可知在四边形FCPD中，三个角/FCP、NCPD、NPDF都是。，可知/DFC也为。，即FC_FD.（到此，主要的垂直结论均已找出并证明， 下面根据课上实际的情况选择是继续挖掘其他结论还是做练习题 .）思考：以AB为直径的圆（即|_ABP的外接圆）与抛物线的准线有什么位置关系？并证明你的结论 .结论一一以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点P.（过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线 ）学生分组合

作，共同探

究新的结论通过学生分组学习，发挥学生自主学习的能动性，提高分析问题和解决问题的能力，逐步培养学生的钻研精神.夕教教师活动学生活动设计意图教师活动 学生活动 设计意图教师活动 学生活动 设计意图学生完成证明应用前面结论的证明思路，完成练习题.学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作.深化前面结论的证明思路，增强解决圆锥曲线综合题的信心，为高考打好基础.学生完成证明应用前面结论的证明思路，完成练习题.学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作.深化前面结论的证明思路，增强解决圆锥曲线综合题的信心，为高考打好基础.【证明】如图，取AB中点为Q,则点Q为以AB为直径的圆的圆心，连接PQ,要证PQ和准线垂直，只需证PQ//y轴.由点Q坐标为(X1；X2,y1；y2)可知PQ//y轴，所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点 P.结论一一由CF_LAP和DF_LBP可知，以FA为直径的圆(即ACF的外接圆)与x轴相切于点C;以FB为直径的圆(即［BDF的外接圆)与x轴相切于点D.(证明思路同上)三、应用结论，解决问题刚才同学们的回答很踊跃，总结出来的结论也很有水平，这说明我们的同学不仅具备了很强的运算求解能力，还具备了很强的观察能力、归纳能力、探索发现能力，下面我们做一个练习.(东城第一学期期末理题)已知抛物线2x=2py(p>0),过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点，抛物线在A,B两点处的切线相交于点Q. * ■-(I)求OAOB的值；(n)求点Q的纵坐标； *2 (出)证明：QF=AFBF.(I)解：设直线l的方程为丫=卜乂+卫.2,,y=kx+-p, - -由《 2可彳导x-2pkx-p=0.、x2=2py,贝Ux1x2=2pk,x1x2=-p2.2yiy2=(kxip)(kx2p)=p.2 2 4-1•OaOB=x1x2y1y2=-3p2.4ZBP125(n)由X2=2py,可得y=在点A处的切线方程为即在点B处的切线方程为解方程组Xi2pXi

y=x

pv'_X,'—一p2Xi应用前面结论的证明思路，完成练习题.2p2X2 X2—X― p2Xi2p—X—,

p2pX2

二Xp2X22pXi X2IX=

可得 2y=-2在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力.即点Q的纵坐标为2（出）证明:kPAkPB如图，连接PF.（出）证明:kPAkPB2=9=号=—1,即AP-LBP.pp 2 可证PF_LAB,所以QF=AF■BF.四、课堂小结，提炼升华由于时间关系今天我们就探究到这里，课下请同学们想一想这个题的一些结论能否推广，或者改变一个条件是否还能得到类似的结论吗？、本节课重点研究了抛物线中常见的垂直关系，并在此基础上研究了一些平行关系和重要的圆；、要注意提高计算和推理论证能力，树立转化意识、方程思想，学会用代数的方法研究几何图形及其性质，树立事物间普遍联系，在一定条件下可以相互转化的观点、体会认真观察，大胆猜想，严谨证明，推广应用的数学发现和研究过程.在观察中思考，在猜想中提升，在证明中严谨，在应用中创新.教学设计说明圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分知识的特点是：综合性强，问题涉及函数、方程、不等式、三角、平面几何等很多方面的知识，蕴含着数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法，对学生的数学学习能力及思维能力的考察要求较高。综合圆锥曲线这部分知识的特点和我校学生的实际情况，我们决定以抛物线为突破口，把难题分解，化整为零，通过基本题型的联系，力争让学生掌握基本数学思想和方法，增强学生解决圆锥曲线综合问题的信心。圆锥曲线中有很多关于焦点弦的问题，而且高考中也经常出现有关焦点弦的问题。导数是研究函数的一个重要工具，特别是在研究解析几何的切线问题时，利用它可以解决很多综合性问题。综合上面两点，我们选择了“过抛物线焦点弦端点的切线的探究”这一课题，旨在充分发挥学生自主学习、提高分析问题和解决问题的能力，逐步培养学生的钻研精神。课前，我们就“过抛物线焦点弦端点的切线的交点的轨迹”做了探究，目的是让学生掌握常见的解决圆锥曲线问题的思路和方法，本节课以上节课为基础继续探究过抛物线焦点弦端点的切线的一些问题。本节课首先通过复习回顾“过抛物线焦点弦端点的切线的交点的轨迹”让学生体会研究的方法和常见的数学思想，为下面探究做铺垫。接着引导学生结合解题过程，仔细观察图形，能得到那些垂直关系？并试着加以证明。（可适当添加辅助线）由于有前面的铺垫学生能够很容易看出Z^论一一AP_LBP,证明也比较简单。下面的结论一一 PF_LAB通过学案的提示，也比较容易证明。在结论的基础上，学生还能推导出更多的结论，这将提高学生学习的积极性，发挥学生学习的能动性。有了前面两个结论的成就感， “结论一一设PA与x轴交于点C,PB与x轴交于点D,可证CF_LAP、DF_LBP和FC_LFD”在学生分组的研讨下也不难发现。至ij此，重要的几个垂直关系找到了，而且通过几何画板动画的演示，学生理解的更深刻了。后面根据课上的实际情况，准备了一些常见的平行关系和重要的圆。练习题选择的是学年度，东城区第一学期期末试卷的第题。有了前面的探究，学生会比较顺利的完成练习题。这道题不仅深化了前面结论的证明思路，还增强了学生解决圆锥曲线综合题的信心，为高考打好基础。最后课堂小结，在小节中提炼升华。学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我