2022届福建省福州高三下学期第三次质量检测数学试题（解析版）

2022届福建省福州第三中学高三下学期第三次质量检测数学

试题

一、单选题

1.已知集合4={0,1,2,4},8=伊/-6*+5<0},则AQB=()

A.{0,123,4}B,{1,2,4}C.{0,1}D.{2,4}

【答案】D

【分析】求出集合&根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意得：

B={dx2-6x+5<o}={x|l<x<5},.-MnB={2,4},

故选：D.

2.复数z满足(l—i)z=3+i,则()

A.|z|=5B.|z|=2C.恸=&D.|z|=>/2

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算求得复数z,可得其共辄复数，根据复数模的计算可得答

案.

［详解］z=言=g+RJ+?==1+2i,J=l-2i|z|=同=石,

I—111—1)11+112.

故选：C.

3.在平行四边形45co中，A3=2,AQ=l,/=(2,百)，贝!］厦)=()

A.1B.GC.2D.3

【答案】B

【分析】根据向量的坐标求得比1=4,利用平行四边形的两条对角线的平方和等于四

边的平方和这一结论即可求得答案.

【详解】由题意得I而|=疗，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和,

得：BD2+AC2=2(AB2+AD2),:.BD2+(/j)2=2(22+\2)=\0,:.BD=y/3,

故选：B

4.已知函数=1,x-1在R上单调递减，则实数。的取值范围是

-X2-(674-1)x4-2a,X>0

()

A.（-1,0）B.[-1,0]C.（-l,+oo）D.[T,伊）

【答案】B

【分析】判断当X40时，〃x）=W7=l+—1单调递减，故根据分段函数在R上单调

x-\x-\

递减，列出相应的不等式，解得答案.

Y1

【详解】当X40时，〃、）=告=1+—\单调递减，

,."（X）在R上递减,

二一等40且言2-()2-(a+l)x0+24

解得—IWaWO,

故选：B.

5.函数/（x）=sin"+t（°>0）在（0司单调递增，在传,2,单调递减，则0的

值为（）

7

A.4B.1C.2D.-

22

【答案】A

【分析】由题意可得与0+E=]+2E（ZeZ）,求得3=；+3MkeZ）,结合函数的单

3

调区间确定0工;，即可确定出的值.

4

【详解】依题意得：笄]=sin[笄⑷+*]=1,.・.笄0+*=^+2E（keZ）,

/.3=g+3攵（%£Z）,

又、"（x）在兀]单调递减,・彳之2兀————，

\J）23co3

31

解得:co<-,（o>0,:.a）=-9

42

故选：A.

6.基本再生数H。与世代间隔「是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染

者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始

阶段，可以用指数模型：/«）=e〃描述累计感染病例数/⑺随时间f（单位:天）的变化规律,

指数增长率一与Ho,T近似满足&=1+”.有学者基于已有数据估计出&=3.28,7=6.据

此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（1112=0.69）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【分析】根据题意可得/（，）=e"=e°・雨，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数

增加1倍需要的时间为力天，根据=2e°w,解得4即可得结果.

a—1

【详解】因为5=3.28,7=6,9=1+1,所以r=丝浮=0.38,所以/（。=6"=『的，

6

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为4天，

则e。阳f>=方°的,所以e°孙=2,所以0.3跖=In2,

In20.69…丁

所以4=-----5s------55L8天.

0.380.38

故选：B.

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四

棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面与底面所

成锐角的余弦值为（）

C6一］

D.

.22

【答案】C

【分析】设出相关的线段长度，设正四棱锥的底面边长为43=2a,高为PO=〃，斜高

为PM=〃,由题意得到它们之间的关系1-0-=g,结合侧面与底面所成的锐角，的

Wh1

余弦，可求得答案.

【详解】如图，设正四棱锥的底面边长为A3=勿，设O为底面的中心，高为=

设M为A。的中点，则设斜高为

连接。例，设侧面与底面所成的锐角为。，由于PMLAROMLA。，即NPMO=，，

则依="+/,且cosO=。,

h

由已知条件可得：=gx2〃x//,「.h,2-a2=ahf,「.1一=p,/.l-（cos^）2=cos^,

解得：cos6=叵l（舍去负值），

2

故选：C.

xx

8.若x,y,z均为正数，且2，=3>'=5二，与一+一最接近的整数为（）

'）'z

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】设2*=3,=5==/,贝ljx=bg2&,y=\og}k,z=\og5k,利用换底公式及对

数的运算性质即可求解.

【详解】解：设2，=3>=5==%,所以x=log2%，y=log?%,2=log5k,

x।x=bg2&।log^klog《3+log5Klog15=隰匕,

yzlog,klog,klogt2log*2°。

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，设2<=3，=5：=&,然后将多变量问题变为

单变量问题处理.

二、多选题

9.下列判断正确的有（）

A.O.30'2>0.2°'2>0.2°'3

2

B•（0.2）-2>（64）2>（100-72）0

C.若x>l,则x+」一N4

x-\

12

D.若羽y>。,—।—1,则2%+yN8

xy

【答案】ABD

【分析】对选项A,利用基函数的单调性和指数函数的单调性即可判断A正确，对选

项B,利用指数累运算即可判断B正确，对选项C,D,根据基本不等式即可判断C错

误，D正确.

【详解】对选项A,函数y=x0-2单调递增，0.3°2>0.2°2,

又y=0.2"单调递减，.•.0.2°2>0.2。3,故A正确;

对于选项B,0.2-2=52=25,64；=8，(100-&)0=1,

所以(0.2产>(64户>(100-故B正确；

对于C：X-1>0,X+-!-=X-1+-1-+1>2+1=3,等号成立当且仅当x=2时，

x-1x-1

故c错误；

对于D:2x+y=(2x+y)H+2]=4+”+)N4+2a=8,当且仅当2x=y时，

y)yx

即x=2,y=4时取等号，故D正确.

故选：ABD

10.已知曲线C：zm：2+"y2=].()

A.若则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若,"=您0,则C是圆，其半径为«

C.若相〃<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±旧x

D.若根=0,〃>0,则C是两条直线

【答案】ACD

【分析】结合选项进行逐项分析求解，加>〃>0时表示椭圆，〃7=〃>0时表示圆，mn<0

时表示双曲线，〃?=0,〃>0时表示两条直线.

x2丁,

cc..-―1

【详解】对于A,若〃贝ij/nx=1可化为11-,

mn

因为”>〃>0,所以,<工，

mn

即曲线c表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若根=〃>0,则如*+〃y2=1可化为工2+>2=j_,

n

此时曲线C表示圆心在原点，半径为巫的圆，故B不正确；

n

对于C,若1Tm<0,则/加+江=］可化为1+1一，

tnn

此时曲线C表示双曲线，

由mx2+ny2=0可得y=土,故C正确；

对于D,若加=0,〃〉（），贝1」如2+〃>2=i可化为丁2=，，

n

y=+—，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；

n

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键,

侧重考查数学运算的核心素养.

11.AABC中，角A,B,C的对边分别为a,"c,且a=2,sinB=2sinC,以下四个命题中

正确的是（）

A.满足条件的AMC不可能是直角三角形

4

B.AABC面积的最大值为§

C.〃是8C中点，应晨丽的最大值为3

D.当A=2C时，AABC的面积为2叵

3

【答案】BD

【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定点A的轨迹，由此判断各选项对错.

【详解】以C为原点，以CB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C（0,0）,3（2,0）,

设A（x,y）,由sinB=2sinC,得b=2c,即AC=243,

.•.F7=2而，77,化简得：卜-9+廿若，

即点A在以为圆心，以g为半径的圆上（除去P,0两点）.

如图所示:

对于A：以（1,0）为圆心，1为半径作圆，记该圆与圆J+y2=与的交点为A,则

△ABC为直角三角形，A错误；

144

对于B：由图得面积的最大值为S=/x2x§=18正确；

对于C:M是8c中点，砺.话的值为加在语上的投影与|证|的积，又点A在以

件0）为圆心，以;为半径的圆上（除去P,。两点），故两.旃＜3，C错误；

对于。：若A=2C,则sinA=sin2C=2sinCcosC,.\a=2ccosC=2c-a+———,.-：a=2,

lab

b=2c,

,42

耳'C=7F

/.b1=a2+C2,：.B=—,

2

...S=Lc=1x2x2=迪,D正确.

22百3

故选：BD

12.在矩形ABCD中，AB=2A。,E为边A8的中点，将^ADE沿直线OE翻折成△A。后，

若点”为线段AC的中点，则在AADE翻折过程中，下述选项正确的是（）

A.8M是定值

B.点M在某个球面上运动

C.存在某个位置，使。E1AC

D.存在某个位置，使8M〃平面AOE

【答案】ABD

【分析】利用作辅助线，构造三角形，利用余弦定理表示8M,可判断出BM是定值,

即可判断A,B;利用反证的方法，推出矛盾，判断C;证明面面平行，利用面面平行的性

质定理可判断D.

【详解】取DC中点F,连接则且=

FB〃DE且FB=ED,所以NMFB=Z4£>E=NA£>E,且度数大小为定值，

由余弦定理可得MB2=MF2+FB--2MF-FB-cosZMFB,

由于MEBF以及NMFB是定值,故MB为定值，故A正确；

由于B为定点，/B为定值，所以M是在以8为球心，MB为半径的球上，可得B正确；

S^JDE2=AD2+AE2=2AE2,CE2=BC2+BE2=2BE2,

故DE2+CE2=2AE2+2BE2=4AE2=(2AE)2=CD2，故DEVCE,

假设。ELAC，由于CEnAC=C,CE，ACu平面AEC,

故OEL平面4EC,则DE1AE,则ZDEA,=90,

而乙DAE=/DAE=90,这在AD41K中是不可能的，故假设不成立，

即不存在某个位置，使。ELAC，故C错误；

由“/〃与尸且MFnBF=F，AOnDE=。，

可得平面M8F〃平面ADE,BA7u平面故〃平面，可得D正确；

故选：ABD

三、填空题

13.如果3x+白)的展开式中各项系数之和为4096,则展开式中x的系数为.

【答案】1215

【分析】由二项展开式中各项系数之和用赋值法求出〃的值，再利用展开式的通项公式

计算含x项的系数.

3x+/］的展开式中各项系数之和为4096,

【详解】由

令x=l得(3+1)”=4096,解得〃=6；

(1YA_5

所以J=C；(3X)6［方卜C；3F2，

令6-gr=l得：r=2,

从而得展开式中x的系数为C；36-2=15x81=1215,

故答案为：1215.

【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求展开式各项系数和，解题关键是掌握二项

展开式通项公式.属于基础题.

14.设双曲线鸟-£=1(0<〃<6)的半焦距为。，直线/过(。,0),(0㈤两点.已知原点

到直线/的距离为且c,则双曲线的离心率为.

4

【答案】2

【分析】先求出直线/的方程，利用原点到直线/的距离为△叵c,c2=a2+b2,求出勺

的值，进而根据0<。<人求出离心率.

【详解】由/过两点(6(,0),(0,b),得/的方程为bx+ay—"=0.

由原点到/的距离为且C,得i"=@c

4>Ja2+b-4

22

将匕=77万代入平方后整理，得16(3)2-16-冬+3=0

CC1

解关于「的一元二次方程得5=上或7

c2c244

又0<"6,故e=£=J?+°-=Jl+(-)2>>/2.

aa\a

应舍去e=".故所求离心率e=2.

3

故答案为：2

【点睛】本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于凡"c的

等式，属于中档题.

15.己知直线y=x-a+l与曲线y=e"'-I相切，则〃+。=.

【答案】1

【分析】首先求出函数的导函数，设切点为(内,%),即可得到方程组，解得即可;

【详解】解：因为丫=尸-1,所以y=e、*"

y0=x0-a+\,+/?=0

设切点为(毛,%),则%解得°，八，两式相减得。+%=1,

k=l=eMI…+1=。

故答案为：1

16.如果两个函数存在零点，分别为若满足4|<〃，则称两个函数互为“"度

零点函数".若"x)=ln(x-2)与8(同=加-11«互为“2度零点函数”，则实数。的最大值

为.

【答案】［

2e

【分析】由“X)的零点为3得出g(x)的零点七的范围，g($)=o得出

。=增(1</<5),构造Mx)=l^(i<x<5),利用导数得出其最值，进而得出实数。的

“0X

最大值.

【详解】函数〃X)的零点为3,设函数g(x)的零点为4,则

%-3卜2,二1<毛<5.8伉)=滤-1叫>=0,。=殁(1</<5),令〃(司=争1<》<5),

/(x)=!jjnx,XG(1,五),h\x)>0；xe(Ve,5),〃'(尤)<0,即函数A(x)在(1,五)上单调

递增，在(加,5)上单调递减，〃⑺皿=〃(五)=(,即实数。的最大值为

故答案为：｝

2e

四、解答题

17.在①2/7+c=2acosC,②三角形43c的面积为91f——-——,@csinA=3asinB

4

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△43C的周长;

若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,且〃二扬，c=l,

?

【答案】选条件①：存在，2+括；选条件②：存在，2+6;选条件③：不存在，答

案见解析.

【分析】方案一：选条件①：先求出cosA以及A,再求出sinB以及B,最后求出a=6.

b=l以及AABC的周长；方案二：选条件②：先求出tanA=-g以及A,再求出sin8以

及B,最后求出〃=道，6=1以及△45c的周长；方案三：选条件③：先求出力=；以

及〃=且，再判断a+/7=@+,<c,最后判断三角形不存在.

333

【详解】解：方案一：选条件①

因为2b+c=2acosC,所以2sin5+sinC=2sinAcosC，

即2sin(A+C)+sinC=2sinAcosC,整理得sinC(2cosA+l)=0.

因为sinCwO,所以cosA=-g,

解得4=等27r.

1jr

又因为4=所以sinA=GsinB,BPsinB=—,,

26

所以C=2,则三=三，得〃=百，b=\,

osmAsinC

所以AABC的周长为2+石.

方案二：选条件②

中*1\/3(a2-b2-c2}

因为S38C=2Z,csinA=---------4---------'

所以…支「

即tanA=-5/3,

因为4w(0z),所以A=号.

1jr

又因为a=\/5b，所以sinA=J^sin8,BPsinB——,B=—,

26

7T

所以c="，则得a=V3,b=l,

6sinA

所以^ABC的周长为2+V3.

方案三：选条件③

c1

csinA=3«sinB,则ac=3a〃，=-=-,

因为a=6b,所以Q=.

3

又因为a+b=3+；<c,则问题中的三角形不存在.

【点睛】本题考查三角形的面积公式、正弦定理、三角形是否存在的判断，是基础题.

18.已知数列｛an｝的前n项和为5„,«,=l,Sn=(〃+?%.

(1)求数列｛a,J的通项公式；

(2)若2=2"%用，求数列｛〃,｝的前”项和小

【答案】(l)a„=«

(2)］,=小2"

【分析】(1)根据S“=(廿1)%可得当〃N2时，2sl=，町-I，两式相减即可得到

2

殳=%，求得答案；

nn-\

(2)由(1)可得仇,=2"-%,“的表达式，利用错位相减法可求得数列｛2｝的前〃项和刀,.

【详解】⑴由于s“=(”+?%,所以2s,=(“+1”“①，

当“。2时,2s“_产知②,

①-②得2a“-叫I,

("T)a“=叫…

整理得益=%，所以［5］为常数数列，又?=匕

n77-11nJ1

所以

⑵由(1)得d=2"T4T=(w+l)-2"T,

所以7；=2x20+3x2l+4x22+…+(〃+l)•2"T①，

,23,,

2Tn=2x2+3x2+4x2+---+(n+l)-2(2),

①-②得-7；=2+(2'+2?+…+2"T)-(〃+l>2"=2+^^|J-(〃+l>2"=f2"，

故方=7-2".

19.如图，在四棱锥尸-ZBCZ）中，AB//CD,且NA4P=NCOP=90.

（1）证明：平面附3,平面必。；

（2）若雨=P£>=4B=Z）C,NAP。=90,求二面角A-P8-C的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）一旦.

3

【详解】（1）由已知NS4P=NCDP=90。，得A8_LAP,CD1PD.

由于A8〃CQ,故ABJ_P£）,从而48，平面南。.

又ABu平面B48,所以平面B48_L平面以£）.

（2）在平面PAO内作P尸_LAD,垂足为F,

由（1）可知，AB_L平面P4D,故A3_LP尸，可得PFJL平面ABCZ）.

以厂为坐标原点，成的方向为x轴正方向，，良|为单位长，建立如图所示的空间直角

坐标系F-阴.

¥

X

由（1）及已知可得A（¥，O,O1,P0,0,当

I2JI2J

所以元=-白，1，一#），丽=（夜,0,0）,PX=（4,0,-1），AB=（0,1,0）.

设5=（x,y,z）是平面PC3的法向量，则

V2>/2

万.定=0,------x+y-------z=0,

即22

为0=0,72%=0,

可取万=（0,-1,-夜）.

设而=（x,y,z）是平面的法向量，则

m-PA—0,x---z=0,_/.

\一•即《22可取〃z=（l,n0,1）.

玩A8二0,八

y=0.

则稣伍同=瑞=一当，

所以二面角A—PB—C的余弦值为-3.

3

【名师点睛】

高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：

①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角：

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；

③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需

点的坐标是解题的关键.

20.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600

元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个

形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个

球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸

出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全

相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，

每摸到1次红球，立减200元.

（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免

单优惠的概率；

（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更

合算？

【答案】（1）77二；（2）选择第一种抽奖方案更合算•

14400

【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率;

（2）选择方案一，计算所付款金额X的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付

款金额Z的数学期望值，比较得出结论.

【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球,

设顾客享受到免单优惠为事件A,贝IJP（A）=^=焉,

所以两位顾客均享受到免单的概率为尸=尸（P（A）=岛历；

（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、600、700.1000.

尸―。）=*看，*=600）=管系

P（X=700）=^^=2,P（X=1000）=V=工.

''040'）424

故X的分布列为，

X06007001000

17217

r

120404024

172171

所以石（X）=0x—+600x—+700x—+l（X）0x—=764-（元）.

v71204040246

若选择方案二，设摸到红球的个数为y,付款金额为z,则z=iooo-2ooy,

由已知可得入81端｝故E（y）=3xQ^,

所以E（Z）=E（1000—200y）=1000—200E（y）=820（元）,

因为E（X）＜£（Z）,所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.

【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，

同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的

分布列类型，考查计算能力，属于中等题.

21.设椭圆「:二+《=1（。＞6＞0）的离心率为巫，点A,B,C分别为「的上、左、

a'b-2

右顶点，且|8Q=4.

（1）求「的标准方程；

（2）点。为直线48上的动点，过点。作〃/AC,设/与「的交点为尸，Q,求IP0TQ0

的最大值.

25

【答案】（1）—x+/=1；（2）。

44

【分析】（1）由题意得：2a=怛C|=4,即可求导〃值，根据离心率，可得c值，根据

a,b,c的关系，即可求得b值，即可得方程.

(2)解法一：由(1)可得直线A8的方程及直线AC的斜率，设直线/的方程为

y=~x+A,设a%,%),。(芍,丫2)，与椭圆联立，结合韦达定理，可得％,+W，内々的

表达式及2范围，根据弦长公式，可得IPQI、IQOI,代入所求，结合2范围即可得答

案；

解法二：=AAB==(-2A,-Z),可得点。坐标，由点斜式，可得直线/

的方程，与椭圆联立，结合韦达定理，可得%+%，X%的表达式及几范围，根据弦长公

式，可得12。1、1。。1,代入所求，结合2范围即可得答案；

【详解】(1)由题意得：2a=\BC\=4,解得“=2.

又因为e=£=3,所以c=G，则从=/一,2=1.

a2

2

所求「的标准方程为三+V=1.

4

(2)解法一：由(1)可得A(0,l),8(-2,0),C(2,0),则勉=4,直线A8的方程为：

x-2y+2=0,

设直线/的方程为y=-Jx+3

12

y=——x+x

/7i

联立方程组，，消去》，WX2+4(--X+2)2=4,

X2.2

—+V2=1

4

整理得：X2-2AX+2A2-2=0®

由A>0,W-V2<A<V2.

联立方程组.y=~2X+A,解得。的坐标为("1，")，

x-2y+2=0I2)

设Q(x2,y2),由①知<②

x{x2=2/1-2

X|PZ)|=^|x,-(A-l)|,\QD\=^-\x2-a-l)\

2

所以|PO|•|Q£>|=；一(几一1)(玉+X2)+(A-1)|(3)

将②代入③，得|「。卜|。。|=三储-1|,4e(-夜，壶)

所以当2=0时，|尸。卜|。0有最大值J

4

解法二：设4£)=2而=2(-2,-1)=(-24-；1),则0(-241-;I),

由点斜式，可得直线/的方程为y-(l-2)=-g(x+24),即＞=-3-2几+1.

y=--X-2A+1

2

联立方程组〈,,消去V,WX2+(42-2)X+8A2-8A=0@

X-21

一+V=1