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第四节二阶常系数线性齐次微分方程方程为二阶常系数线性微分方程其中、、是已知常数,且为二阶常系数线性齐次微分方程下面介绍方程解的结构.证明:也是的解，其中、为任意常数

定理5-1

若函数、是方程的两个解，则把、代入方程

的左边，得

、线性无关，是指不存在不全为零的常数、,使,即常数否则称、线性相关．

定理5-2

若函数、是方程

的两个线性无关的特解，则是方程的通解,其中、为任意常数将其代入以上方程,得故有特征方程特征根

由定理5-2,求方程的通解的关键是先要求出它的两个线性无关的特解.

由于方程具有线性常系数的特点,而指数函数的导数仍为指数函数,故我们可假设方程有形如的解.的解法方程有两个线性无关的特解所以方程的通解为特征根为(１)当,特征方程有两相异实根根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论(2)当,方程有两个相等的实根一特解为特征根为若是原方程的解,应有所以方程的通解为将代入以上方程,得因,故所以特征根为(3)当,方程有一对共轭复根利用欧拉公式可将和改写成如下形式重新组合得方程的通解为不难看出和线性无关求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,按下表写出方程的通解.

(4)若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件代入通解中,即可确定、,从而获得满足初始条件的特解.例5-13

求下列方程的通解解

(1)特征方程为所以方程的通解为解得所以方程的通解为解得(2)特征方程为所以方程的通解为(3)特征方程为解得解特征方程为即特征方程有两个不相等的实数根所以所求方程的通解为对上式求导,得例5-14

求方程满足初始条件

、的特解.将、代入以上二式,得解此方程组，得所以所求特解为解特征方程为例5-15

求方程满足初始条件

、的特解.即特征方程有两个相等的实数根所以所求方程的通解为对上式求导,得将、代入以上二式,得解此方程组，得所以所求特解为解特征方程为特征根为所以所求方程的通解为例5-16

求方程满足初始条件

、的特解.对上式求导,得所以所求特解为将、代入以上二式,得主要内容二阶常系数

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