2019年数学复习第6章不等式、推理与证明第4节归纳与类比学案理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE5学必求其心得，业必贵于专精第四节归纳与类比［考纲传真］(教师用书独具）1。了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异．（对应学生用书第99页)[基础知识填充]1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．[基本能力自测]1．(思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×"）（1）归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(）(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（）(3）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()（4)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．（)[答案]（1）×（2)×(3）×（4）√2．（教材改编）已知数列｛an}中,a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2,a3,a4后，猜想an的表达式是(）A．an＝3n－1 B．an＝4n－3C．an＝n2 D．an＝3n－1C[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2。］3．数列2，5，11，20，x,47，…中的x等于（)A．28 B．32C．33 D．27B[5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9,推出x－20＝12,所以x＝32.]4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4。类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8[这两个正四面体的体积比为eq\f（V1,V2)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3）S1h1）)∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3）S2h2））＝eq\f(S1,S2）·eq\f(h1,h2）＝1∶8。］5．观察下列不等式1＋eq\f（1,22）＜eq\f（3，2），1＋eq\f(1,22）＋eq\f(1，32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f（1，22)＋eq\f(1，32）＋eq\f(1，42）＜eq\f(7，4），…照此规律，第五个不等式为________．1＋eq\f（1，22)＋eq\f（1，32)＋eq\f（1,42）＋eq\f(1,52）＋eq\f(1,62）＜eq\f(11,6）[先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1,分母即为所对应项数，故应填1＋eq\f（1,22)＋eq\f(1,32）＋eq\f（1，42)＋eq\f（1，52）＋eq\f(1,62）＜eq\f(11,6）。]（对应学生用书第100页）归纳推理◎角度1与数字有关的推理（2018·兰州实战模拟)观察下列式子：1，1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1,…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N＋，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.n2［因为1＝1＝12，1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，……，由此可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2。]◎角度2与式子有关的推理已知f（x)＝eq\f（x，1＋x),x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x）＝f（fn（x)），n∈N＋，则f2019(x)的表达式为________.【导学号：79140205】f2019(x)＝eq\f(x,1＋2019x)[f1（x)＝eq\f(x,1＋x)，f2（x)＝eq\f（\f（x，1＋x）,1＋\f(x，1＋x)）＝eq\f（x,1＋2x），f3(x)＝eq\f(\f(x，1＋2x），1＋\f（x，1＋2x))＝eq\f(x，1＋3x），…，fn＋1(x）＝f(fn（x)）＝eq\f（x,1＋nx），归纳可得f2019(x)＝eq\f（x,1＋2019x）。]◎角度3与图形有关的推理如图6­4­1的图形由小正方形组成，请观察图（1）至图（4）的规律,并依此规律,写出第n个图形中小正方形的个数是________．图6。4。1eq\f(n（n＋1）,2)(n∈N＋）［由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n。所以总个数为eq\f(n(n＋1)，2)（n∈N＋)．][规律方法］归纳推理问题的常见类型及解题策略1与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.2与式子有关的推理。观察每个式子的特点，注意是纵向看,找到规律后可解.3与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.[跟踪训练]（1)数列eq\f(1，2），eq\f(1,3)，eq\f（2,3），eq\f(1,4），eq\f(2，4）,eq\f(3，4)，…，eq\f(1,m＋1）,eq\f(2，m＋1),…，eq\f（m,m＋1），…的第20项是（）A。eq\f（5,8）B。eq\f（3，4)C。eq\f（5,7）D。eq\f(6，7）(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋eq\f(1，x）≥2，x＋eq\f(4，x2)＝eq\f（x，2）＋eq\f（x,2)＋eq\f(4，x2）≥3，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3）≥4，…,类比得x＋eq\f(a，xn）≥n＋1（n∈N＋），则a＝__________。（3)（2018·郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为(）A．42 B．65C．143 D．169(1）C(2)nn(n∈N＋)（3)B［（1）数列eq\f（m，m＋1）在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝eq\f（m（m＋1）,2)项，当m＝5时,即eq\f（5,6）是数列中第15项，则第20项是eq\f（5，7），故选C.（2)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况,此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn。（3）可以通过列表归纳分析得到．凸多边形45678…对角线条数22＋32＋3＋42＋3＋4＋52＋3＋4＋5＋6…所以凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝eq\f(13×10，2)＝65条对角线．故选B.］类比推理(1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn｝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)）)也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn｝也是等比数列，则dn的表达式应为（）A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn，n） B．dn＝eq\f（c1·c2·…·cn,n）C．dn＝eq\r(n，\f(c\o\al(n,1）＋c\o\al(n,2）＋…＋c\o\al(n,n），n)) D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)（2)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为eq\f(AC,BC）＝eq\f（AE,BE)。把这个结论类比到空间:在三棱锥A­BCD中（如图6。4。2),平面DEC平分二面角A。CD。B且与AB相交于E,则得到类比的结论是________________．图6。4。2（1）D（2)eq\f(AE,EB）＝eq\f（S△ACD,S△BCD）［(1）法一：从商类比开方，从和类比到积,则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝eq\r（n，c1·c2·…·cn)。法二：若｛an｝是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f（n(n－1),2）d，∴bn＝a1＋eq\f((n－1），2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f（d,2)，即{bn｝为等差数列；若{cn}是等比数列,则c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n，1)·q1＋2＋…＋（n－1）＝ceq\o\al(n，1)·qeq\s\up12(eq\f（n(n－1),2)），∴dn＝eq\r（n，c1·c2·…·cn）＝c1·qeq\s\up12（eq\f（n－1,2）），即{dn｝为等比数列,故选D。(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得eq\f（AE，EB）＝eq\f(S△ACD,S△BCD)。］［规律方法]类比推理的常见情形与处理方法1常见情形：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比和与积、乘与乘方,差与除，除与开方。数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等。2处理方法：进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键。［跟踪训练]给出下面类比推理（其中Q为有理数集，R为实数集,C为复数集)：①“若a,b∈R,则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；②“若a,b,c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q,则a＋beq\r（2)＝c＋deq\r(2）⇒a＝c,b＝d”;③“若a,b∈R，则a－