中考数学 专题17 函数动点问题中平行四边形存在性

中考数学复习资料专题类一平四形在

函数动点题中平行四形存在性

O结论：

BDyyB类二特平四形在矩存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解矩对角线相等（直角三角形边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解.菱存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求正形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二【例郑州预测卷）如图，直线yx轴于点C与y轴于，物线y=

经B、两求抛物线的解析式；如图，点E是直线BC上抛物线上的一个点，eq\o\ac(△,当)面积最大时，求出点的标和最大值；在）条件下，过点作y轴平行线交直线BC于M连接AM点Q是物线对轴上的动点，在抛物线上是否存在点，以点P、、、为点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理.中考数学复习资料△2△2中考数学复习资料【答案】见解析.【解析】解）∵直线=x与x轴于点C与y轴交于点，∴，(4,0)将，(4,0)代=ax

得

，解得：8

，3∴抛物线的解析式为：2x.4（2过点作EF⊥x轴F交BC于，设Ex，2xM（，3∴=2（）=x42∴=

×=2EM32x=中考数学复习资料

中考数学复习资料∴当x=2时eq\o\ac(△,，)BEC的积取最大值3此时(2，（3由题意得，，抛物线对轴为：=1，(2,0),设(m，y)，ymQ(1，)4①当四边形APQM为行四边形时，有：，得：=－，即(－3，

)；②当四边形AMPQ为行四边形时，有：－2+，即=5即(5,

)；③当四边形AQMP为行四边形时，中考数学复习资料中考数学复习资料有：－2=1+，得：=，即(－1，

)；综上所述抛线上存在点使点PM为点的四边形是平行四边形的标为(－，

15)，(5,)(－18【变式河师大附中模拟）如图，抛物线y=ax++（x轴于点A－，0)(3，两点，与轴于点C(0，－求抛物线的解析式与顶点M的标；eq\o\ac(△,)BCM的面积eq\o\ac(△,)面的比；若是x轴一个动点，过P作线∥AC交抛物线于点，着点的运动，在x轴是否存在这样的点，使以点、、QC为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写点P的标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解）将A(－，，，，－3)入=ax++，得：

a9ab，解得：a，－2－，中考数学复习资料梯形BDM△梯形BDM△中考数学复习资料即抛物线的解析式为y=2x－3，顶点M的标为，－（2连接，BM，，M作MD⊥x轴，如图所示，SS

=+－=3，△BCMODMC=6，△ACB∴

：：2△BCM△（3存①当点Q在x轴上方时，过作QF⊥x于，图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，=AC∴△≌△AOC，∴OC=3，∴3=x﹣2﹣3，解得x=1+或x=1﹣，∴Q

，或(﹣7

，；②当点Q在x轴下方时，过作QE轴E，图所示，中考数学复习资料中考数学复习资料同理，得：△PEQ≌△，∴EQ=OC=3，∴﹣3=2

﹣2﹣，解得：或x与C点合，舍)，∴Q，﹣；综上所述，点的坐标为：(1+

，3)或(﹣

，3)或(，﹣3).【例2郑州三模）如图所示，在平面直角坐标中，已知抛物线=ax2+与轴交于AB(5,0)点，与y交于点求抛物线的解析式；如图2所∥轴抛物线相交于点E点是线下抛物线上的动点，过点H与y轴行的直线与、分交于点F，试探究当点H运到处时，边形CHEF的积最大，求点H的标及最大面积；（3点M中求抛物线对称轴一动点N是反比例函数=图上一点若以点BC、为点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的.中考数学复习资料四CHEF形22四CHEF形22中考数学复习资料【答案】见解析.【解析】解）将A(-1,0),B代入=ax2+bx得

a25b

，解得：

，即抛物线的解析式为y=2x－（2在=－－5中当x时，y－，即C(0，－∵∥轴则、E关直线=2对称，∴(4，－5),，由B）,，－得直线的析式为=－5设Hmm－4m－，∵FH，∴，，∴FH=m－－（

－4－m+5m，S=FH=（mm×4=－2m－）+，2535当m=时四边形CHEF的积取最大值，时H(，).224（3设M（2，m(，

)，B(5,0)，(0，－，①当为形对角线时，此时2+，m=0－，，515设交于点H则(，)MH=，25∴

2

，解得：=1m=－6，当m=1时，k=－；时，，②当为形边时，分两种情况讨论：（i）点M在线下时，即四边形为形，中考数学复习资料中考数学复习资料则∠BCM=90°，m=－，过M作MH轴于H则由OB=，，∴∠MCH∠=45°即=MH，∴－5m，解得=－7，k－；（ii）点M在线上时，即四边形为形，则∠CBM=90°n，－，设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH∴3=m，n－，k；综上所述，k的为：183－或【变式驻马店二模）如图，抛物线yx+bx经A，0)B，0)两点，且与轴于点C，点是物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E连接．求经过A，B，三的抛物线的函数表达式．点P是段BD上点，当PEPC时，求点P的标．在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴点F，G为物线上一动点M为轴一动点，中考数学复习资料bb中考数学复习资料N为线PF上动点，当以，GN为顶点的四边形是正方形时，请求出点的标．【答案】见解析.【解析】解）∵抛物线++经A(-1，，0)两点，∴

，解得：

，即抛物线的解析式为y

+2（2由=-x

+2+3知，C(0，3)，E，0)，，可得直线解析式为=-2x，设P，+6勾股定理得PE=由PE，：

=m

，解得：=2，即，（3M在轴，N在直线PF上∴∠NFM=90°，由四边形MFNG是方形，知MF=MG，设M，，则(，-

+2+3)，MG=|-n+3|，MF=|n-2|∴，解得：n=

3211或n=或n或n，222故点M的标为

1，0，0，0

，0）.【变式大联考）如图1抛物线y2+经点A(-4,0)B，（P抛物线上，且在x轴上，点P横坐标记为中考数学复习资料中考数学复习资料求抛物线的解析式；如图，过点P作轴平行线交直线于M，交x轴点N，若平∠PMO，求t的值.点在线上点E在轴，且位于点C的方，那么在物线上是否存在点P，使得以点、D、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接出菱形的面.C

P

CA

O

B

A

NO

B

图

图【答案】见解析.【解析】解）∵抛物线=++c过点A，，（0,39，∴，得：16b即抛物线的解析式为y=x2（2由A(-4,0)C(0,3)得直线的析式为：y=∵点的横坐标为t

，∴(,

t)∵∥轴∴∠PMC∠MCO∵MC平∠PMO，∴∠PMC∠OMC∴∠=∠，即OM=，中考数学复习资料22中考数学复习资料∴2，即t

t

，解得：t（舍）或t=，∴当平时t=

（3设Pt

9t2t+3)，①当为形的边时，四边形CEPD为形，EPCA

D

B

O则PD∥y轴，CDPD，则D(，t∴=

933t2t+3－t）t44

t，由勾股定理得：CD=

tt

=t，4∴

t2

7t=t，得：t=0舍）或t，3即PD=

35，菱形面积为：×=；123②当为形的对角线时，此时P与D点于轴称，

中考数学复习资料中考数学复习资料则Dt,

t2t+3)，将D坐标代入=，：

3t2t，得：（舍）或t，4=4，CE=3，形的面积为：；综上所述，菱形的面积为：

或南阳毕业测试图抛物线y＝2+bx+2与x轴于AB两轴于点＝，矩形OBDC边＝1，延长交物线于点E．求抛物线的解析式；如果点是物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点，得以MA，，为点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解）∵矩形的CD＝1，∴OB＝，由AB＝4得OA＝3∴（﹣，0（，0∵抛物线y＝ax+与x轴于，B两，∴a+b，－3，解得：a=

4，b=，∴抛物线解析式为y＝

x2x+2（2以为边或对角线分类讨论：A（﹣，0（0，中考数学复习资料MMMMMMMMMM中考数学复习资料抛物线y＝

xx+2的称轴为x＝﹣1设Mmy)，(－1，n，y=

4m2m+23①当四边形ACMN为行四边形时，有：

，解得：=2，=

，即，)；3②当四边形ACNM为行四边形时，有：

，解得：=4，y=

，即M(－4；③当四边形AMCN为行四边形时，有：，2y解得：=2，y=2，即M－，2)综上所述，点M的标为（，）或（﹣4）或（﹣2，2（2019·开封模拟）图，直线＝﹣+4与物＝﹣2点B在x轴．

+bx+交A，B两，点在轴，求抛物线的解析式；在x轴方的抛物线上存在一点，使得＝，求出点坐标；点E是物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和F使得以点EF，BO为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的标；若不存在，请说理由．【答案】见解析.中考数学复习资料中考数学复习资料【解析】解）在＝﹣+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时x＝4即点、B的标分别为，将（，入次函数表达式，并解得：，=4抛物线的解析式为：y＝﹣x2

++4（2OA＝，∴∠ABO，∵∠ABP，则∠PBO，若直线PBy轴点M则OM=OB=4，可得直线的析式为y=－4，联立：=－，y＝﹣2

++4得：x=4，y=0(即点)－，y=－，即(－4，－8).（3存在；由y＝﹣x

++4知抛物线的对称轴为x，设(1，)，n，﹣n2

+n+4)，(4,0)①当四边形是行四边形时，有：，∴n-1=-4，即n，F点坐标为-3，

②当四边形是行四边形时，有：，-1=4，即n=5，F点坐标为，中考数学复习资料

中考数学复习资料③当四边形是行四边形时，4有：,0F即n=3F点坐标为，综上所述：点F的标为（，

5，（开封二模图物线y＝ax2两点，与y交于点C∥x轴

+bx+2与线y＝﹣交二象限于点Ex轴于（3求抛物线的解析式；如果点是物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M若以M，，为点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的标．【答案】见解析.【解析】解）由题意知A（﹣，0（，2∥轴∴点的纵坐标为，∵点在直线y＝﹣x上∴点（，2∵将（，0（﹣，）代入y＝+bx+2得：

9a4ab

，解得：

2a4b抛物线的解析式为：xx；（2由x2知抛物线的对称轴为x=1中考数学复习资料MMMMMM中考数学复习资料设(－1)，(，m，∵（﹣，0（0，2（1当四边形是行四边形时，有：ny

，得：=4，y；即M－，

).（2当四边形是行四边形时，有：ny

，得：=2，=；即M(2，

).（3当四边形是行四边形时，有：2

，得：=，y；即M－，2).综上所述，M点的坐标是(－4，)(2，)，(－，2).3（2019·名校模考）图，抛物线2bx﹣1（ax轴，（10）两点，交轴点C一次函数y＝x+3的象交坐标轴于，D两，E为线AD上点，作EFx轴交物线于点（1求抛物线的解析式；（2在平面直角坐标系内存在点G使得G，DC为点的四边形为菱形，请直接写出点的标．【答案】见解析．【解析】解）将＝0代y+3，得＝﹣．中考数学复习资料中考数学复习资料∴（﹣，0∵抛物线y＝ax+﹣交x轴A（﹣3，（，）点，∴

a9ab

，解得：

a2b抛物线的解析式为y＝2+x﹣1；（2点的标为（，12，2﹣1，2﹣3①当四边形菱形时，=，设(m，则G，m+7由(0，－，E(，+3)，得CE2

=

m

=16，解得：=0（舍）或=4，此时(－；②当四边形菱形时，=16,设(m，则G，m1即m+m=16，解得：=

22

或m=

，此时，G(

22

，2

－1)或(－22

－

－1)③当四边形菱形时，设E(mm，则G（－，m－1此时在CD垂直平分线上，即m+3=1，=－2，此时，1);综上所述，点的坐标为：－4,3)、(2

－、(－－22－、(2，1).5.（枫杨外国语三模2019·杨外国语三模）如图，抛物y＝﹣x2bx+c与轴于A、B两与y点C点的坐标(点C的坐标为点D点关抛物线的对称轴对称，直线y交E．求抛物线的解析式；点是抛物线的顶点，点P是轴一点，点是标平面内一点，以A，PQ为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点关AM所在直线对称，求点T的坐标．中考数学复习资料中考数学复习资料【答案】见解析.【解析】解）将，0)，，代入y＝﹣x2+bx+，得：－－b，，得=2，，即抛物线的解析式为y＝﹣x

x+3.（2由＝﹣xx+3知点M，，分两种情况讨论，①当四边形MAPQ是形时，过M作⊥x轴，，AH=2易证得：∠=，∴tan∠APO∠MAH，即

OAMHOPAH

，∴OP=，即P，－由(-1，、，，P（0，－）：点Q坐为（，2∵点和点关所直线对称，即点与关点M，4)对称，中考数学复习资料中考数学复习资料∴，；②当四边形AMPQ是形时，同理可得：(0，

)；1综上所述，点的标(0)，，).（2019·焦作二模）图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+的象过点A，，与反比例函数

（x）的图象交于点(，4).（1求一次函数和反比例函数的表达式；（2设M是线上一点过MMN∥x轴反比例函数

（x>0的图象于点N若A，OM，N为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐yBA

x【答案】见解析.【解析】解）将A(-2,0)入y+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：yx+2将(，代入y+2，得：，即(2，4),将(2，4)代入

得：x=8，即反比例函数的解析式为：

中考数学复习资料中考数学复习资料（2设M，，则(

，，由题意知，∥，则需MN=时，以，OM，为顶点的四边形是平行四边形，∴m

m

，解得：=2

或m=22

（舍）或m3或=－2舍∴点M的标为22，2）（，2+2）（2019·许昌月考）图，次函数y=2与y轴于点

+bx+的象与x交于A（3，B（﹣，0两点，求该二次函数的解析式；设该抛物线的顶点为Deq\o\ac(△,)的积（请在图1中探索若点P，Q同从A点发，都以每秒单位长度的速度分别沿AB，AC边动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当，Q运到t秒时eq\o\ac(△,)沿所的直线翻折，点A恰落抛物线上E点，请直接判定此时四边形APEQ的状，并求出点坐标（请在图中探索图

图2【答案】见解析．【解析】解）∵二次函数=2+bx+的象与轴交于（3，B（﹣1∴

4

，解得：

，8即抛物线的解析式为y=x﹣x﹣；3（2过点DDMy轴点M中考数学复习资料=﹣﹣=﹣﹣中考数学复习资料8y2﹣4316=（﹣1）﹣，3∴点（，﹣

C（，﹣4S

△ACD梯△CDMeq\o\ac(△,)1611=（1+3×﹣（﹣4）×1﹣×3×43232=4；（3四边形APEQ为形，理由如下：E点于PQ与点称，过点Q作QFAP于F由折叠性质知：=EPAQ=EQ∵APAQt∴APAQQEEP，∴四边形为形，∵∥，∴∴

FQAQ，OAACt中考数学复习资料中考数学复习资料43434∴AFt，=，（3t，t（﹣tt﹣t55558∵在次函数y2﹣上388∴﹣t=（3﹣t）2（3﹣t﹣4，35∴=

或t（舍去29∴（﹣，﹣16（新一模）如图，一次函x分别交x轴、B两，抛物线2bx过A，两.求这个抛物线的解析式；作垂直于x轴直＝，在第一象限交直线于，交这个抛物线于求t取值时，MN有大？最大值是多少？在2)情况下，以，M、ND为点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的标【答案】见解析1【解析】解）在x得，当=0时，y=2；=0时，x，2即A，（，0把(0，2)，B，代入y

，得：

16

，解得

7b2

，∴抛物线解析式为y

x1（2由题意知，M(t,t2)，N(t,t2)，27∴=tt2中考数学复习资料中考数学复习资料=2)

4，∴当t时有最大值4.（3根据平行四边形的性质，得D点标为，-2或，4）9.（周口二模）如图，在平面直角坐标系中抛物线

+与轴于A，B，两点，与y轴于点C．求这个抛物线的解析式；设E是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴平行线交抛物线于另一点F，点E作EH轴点H，再过点F作FGx轴点，到矩形EFGH．在点E的运动过程中，当矩形EFGH为方形时，直写出该正方形的边长．yAx【答案】见解析.【解析】解）∵抛物线=+与x交于A(-1，，B(4两点，∴，16解得：，b即抛物线的解析式为y－x

x+4.（2∵四边形EFGH是形，∴当=，四边形EFGH是正方形，中考数学复习资料中考数学复习资料设(m－2+3，则(3m，－2

+4)，>，∴EF=2－，=|－m2

+3+4|，∴2－3=|m2

+4|，解得：=

529529或m=（）或m=或=222

（舍）∴正方形的边长EF

29

或

－2综上所述，正方形EFGH的长为：

29

或29

－10.（2019·郑一中模拟）如图所示平面直角坐标系中直线=+1坐标轴于点A、两，抛物线y2bx－3经、C两，点C坐为a）点M为直线AC上点，过点M作轴垂线，垂足为F交抛物线于点.求抛物线解析式；是否存在点M使得以点DEM为点的四边形为平行四边形果有求M的标，如果没有，请说明理.MD

F【答案】见解析.中考数学复习资料，解得：b，解得：b112中考数学复习资料【解析】解：∵直线yx+1坐标轴于点、两，∴(－1,0)，(0，1)，∵点C（，5）在直线y=+1，∴a，即C(4,5)将(－，C(4,5)代=ax2bx－得a

，∴抛物线的解析式为y=2x－（2存在，E（，DE，由题意知：DEMN∴当DE=4时四形DENM是行四边形，设(m2

－2－3)则Mmm，∴m+1-m2

－2－3）|=4解得：=0（舍）或=3或m=

33或m=，22341综上所述，点M的标为，，）2222（2019·郑模拟二函ax

32x的象经过点与轴于点，在x轴有一动点(m（0<点C作轴垂线交直线AB于，该二次函数象于点D.（1求a的和直线的解析式；过点D作DF⊥AB于F，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)DEF的积分别为S，，S=4，的；点H是二次函数图象上第一象限内的动点，点是段上动点，当四边形DEGH是平行四边形，且平行四边形的长取最大值时，求点的标.中考数学复习资料1212中考数学复习资料【答案】见解析.【解析】解）将A(4,0)入yax

332x得=，49∴抛物线的解析式为：x，4设直线AB解析式为：y=+b，∴4+b=0，，即k=

，b，∴直线AB解析式为：y=

x+3.（2∵点的坐为，93∴mm)，(,，493－，=mm－m，4∵∥轴∴

AC444，即，CE3∴=

，AE=

，∵∠==90°，∠DBF=AEC∴△DFE∽△，∵=4S，∴AEDE即

3=22得m=4（舍）或=，6即m的值为（3如图，过点作⊥M设G、点坐标为，3由DE=m2，GH=n

2

mm=，：=n舍）或－，中考数学复习资料四DEGH形四DEGH形中考数学复习资料∴=4-2m由

MG5得：=m,EG54∴=2m4=

=

m

，∴当=时C最，此时=，3即(

1，，(，),4411111由图象可知当E、G互位置时满足题意，即(，(，)，43111综上所述，G点标为：(，)，，).（2018·州模拟如图抛物线y＝﹣x2bx+与轴于点和（0y轴于点