人教b版选择性必修第一册1.2.2第2课时三垂线定理及其逆定理作业

1.2.2第2课时三垂线定理及其逆定理课时对点练1．正方体的体对角线与各个面上与其不共端点的面对角线的位置关系是()A．异面垂直 B．异面不垂直C．可能相交可能异面 D．可能相交、平行或异面★[答案]A2．点P在平面ABC内的射影是O，且PA，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心★[答案]C★[解析]因为PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，所以PC⊥AB.又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO，则CO是PC在平面ABC内的射影，由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO，同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心．3．已知AB⊂平面α，AC⊥α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，AB＝m，AC＝BD＝n，则C与D之间的距离是()A.eq\r(m2＋n2) B.eq\r(m2＋3n2)C.eq\r(m2＋n2)或eq\r(m2＋2n2) D.eq\r(m2＋n2)或eq\r(m2＋3n2)★[答案]D4．已知△ABC三边的长分别为3，4，5，平面ABC外一点P到△ABC三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．4★[答案]C★[解析]如图，点P在底面上的垂足为O，PE，PF，PD分别是顶点P到三角形各边的距离，由三垂线定理的逆定理可知，OE，OF，OD分别是三角形各边的垂线，因为三条侧高相等，所以OE＝OF＝OD，所以O为底面三角形的内心，设半径为r，则由面积相等得eq\f(1,2)×3×4＝eq\f(1,2)(3＋4＋5)r，所以r＝1，所以点P到平面ABC的距离是eq\r(3).5．在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，下列说法正确的是()A．A在平面BCD内的投影是△BCD的重心B．A在平面BCD内的投影一定在△BCD的内部C．AD⊥BCD．AD∥BC★[答案]C★[解析]如图，作AO⊥平面BCD，连接OB，OC，OD，则AO⊥CD，又因为AB⊥CD，由三垂线定理的逆定理可知BO⊥CD，同理CO⊥BD，则O为△BCD的垂心，故A错；若△BCD为钝角三角形，则其垂心在三角形的外部，故B错；所以DO⊥BC，由三垂线定理可知AD⊥BC，故C正确，D错．6．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论正确的有()A．直线DD1与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．点C与点G到平面AEF的距离相等D．平面AEF截正方体所得的截面面积为eq\f(9,8)★[答案]BD★[解析]对于A，取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错误；对于B，取B1C1中点N，连接A1N，GN，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1N∥AE，NG∥EF，A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1N∥平面AEF，同理可证NG∥平面AEF，A1N∩NG＝N，所以平面A1GN∥平面AEF，A1G⊂平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，故B正确；对于C，假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG的中点，则假设不成立，故C错误；对于D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥EF，把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝eq\f(9,8)，故D正确．7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与对角面BB1D1D所成角的大小是______．★[答案]30°★[解析]取BD的中点H，连接AH，∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴BB1⊥平面AC，∴AH⊥BB1，∴AH⊥BD且BD∩BB1＝B，∴AH⊥平面BD1，∴AH⊥D1H，∴∠AD1H就是直线AD1与平面BD1所成角．设AB＝1，在Rt△AHD1中，则AH＝eq\f(\r(2),2)，AD1＝eq\r(2)，∴sin∠AD1H＝eq\f(AH,AD1)＝eq\f(1,2)，∴∠AD1H＝30°.8．已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，则P点到BC的距离为________．★[答案]13★[解析]取BC的中点E，连接AE，PE，∵PA⊥平面ABC，∴AE为PE在平面ABC内的射影，又AB＝AC，∴AE⊥BC，由三垂线定理得，PE⊥BC，又AE＝12，PA＝5，∴PE＝13.9．已知H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°.求证：∠BPA＝90°，∠APC＝90°.证明利用三垂线定理可证BP⊥AC，又BP⊥PC，故PB⊥平面APC，得∠APB＝90°，同理可证∠APC＝90°.10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P为B1C1的中点，A1C1与PD1交于M，B1C与PB交于N.求证：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的长．证明连接BD1(图略)，利用eq\f(PM,MD1)＝eq\f(PN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥BD1，MN＝eq\f(1,3)BD1，得MN＝eq\f(\r(3),3)a.由三垂线定理知，BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C，所以MN⊥A1C1，MN⊥B1C.11．PO⊥平面ABC，垂足为O，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于()A．5B．5eq\r(3)C．10D．10eq\r(3)★[答案]B★[解析]在△ABC中，∠ABC＝90°，满足PA＝PB＝PC＝10，PO⊥平面ABC，O为垂足，所以O是AC的中点，∠BAC＝30°，BC＝5，解得AC＝10，所以OA＝CO＝OB，利用勾股定理得PO＝eq\r(PC2－OC2)＝5eq\r(3).12．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为()A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1★[答案]B★[解析]方法一连接AE(图略)，∵PA⊥平面ABCD，且BF⊥PE，由三垂线定理的逆定理可知，BF⊥AE，∴∠EAD＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，即F为中点，∴AF∶FD＝1∶1.方法二建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，P(0，0，a)．设点F的坐标为(0，y，0)，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1，y，0)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－a)).∵BF⊥PE，∴eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(PE,\s\up6(→))＝0，解得y＝eq\f(1,2)，即点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∴F为AD的中点，∴AF∶FD＝1∶1.13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2eq\r(2)，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对★[答案]C★[解析]取CD的中点P′，连接PP′，AP′，MP′(图略)，易知PP′⊥平面ABCD，所以MP′为PM在平面ABCD内的射影．由题意得，AM＝eq\r(6)，MP′＝eq\r(3)，AP′＝3，所以AP′2＝AM2＋MP′2，所以AM⊥MP′，由三垂线定理知AM⊥PM.14．空间四边形ABCD的四条边及两条对角线的长均为1，则点A到平面BCD的距离为________．★[答案]eq\f(\r(6),3)★[解析]设点A′是点A在平面BCD上的投影，分别连接A′B，A′C，A′D，因为AB＝AC＝AD，所以它们在平面BCD上的射影A′B，A′C，A′D也都相等，所以点A′是△BCD的中心．因为BC＝1，所以△BCD的高为eq\f(\r(3),2)，所以A′D＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△AA′D中，|AA′|＝eq\r(AD2－A′D2)＝eq\f(\r(6),3)，即点A到平面BCD的距离为eq\f(\r(6),3).15．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABCD.若PC⊥BD，则AD＝________，该四棱锥的体积为________．★[答案]2eq\f(4\r(3),3)★[解析]∵PA⊥平面ABCD，且BD⊥PC，由三垂线定理的逆定理知，BD⊥AC.又四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝2，∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝2eq\r(3)，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).16．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝eq\r(2).(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(3)求点E到平面ACD的距离．(1)证明连接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由题设知AO＝1，CO＝eq\r(3)，AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)解取AC的中点M，连接OM，ME，OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，在△OME中，EM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)，OE＝eq\f(1,2)DC＝1，∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴OM＝eq\f(1,2)AC＝1，∴cos∠OEM＝eq\f(1＋\f(1,2)－1,2×1×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),4)，∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4).(3)解设点E到平面ACD的距离为h.∵VE－ACD＝VA－CDE，∴eq\f(1,3)h·S△ACD＝eq\f(1,3)·AO·S△CDE.在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝eq\r(2)，∴S△ACD＝eq\f(1,2)×