江西省南昌市新建县第一中学2019-2020学年高二开学考试数学（理）试题 Word版含解析

PAGE数学（理）试卷一、选择题（共12小题；每小题5分，共60分）1.已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出和，即可得出回归直线必过的点的坐标.【详解】由题意可得，，因此，回归直线必过点，故选C.【点睛】本题考查回归直线必过的点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题.2.三位女歌手与三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相邻，则不同的排法数为A.48 B.72 C.120 D.144【答案】D【解析】【分析】女歌手不相邻，则先排男生，再对女生插空即可.【详解】由插空法得．选D.【点睛】本题考查排列组合用插空法解决问题，属于基础题.3.利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（）0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】B【解析】【分析】由，结合临界值表，即可直接得出结果.【详解】由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B【点睛】本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量的观测值即可，属于基础题型.4.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（）（附：若随机变量，则，.）A.0.1359 B.0.7282 C.0.8641 D.0.93205【答案】D【解析】【分析】由题可知，，则，根据正态分布密度曲线的对称性，求出，从而可求出阴影部分的面积，最后再利用面积型几何概型即可求出结果.【详解】解：根据题意，随机变量满足正态分布，得，则对称轴为，，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：即，可知长方形的面积为：，设阴影部分的为，故所求的概率为.即向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为0.93205.故选：D.【点睛】本题考查面积型几何概型求概率和正态分布曲线的特点、对称性以及正态分布曲线表示的意义，还涉及正态分布中和的应用.5.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案.【详解】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题.6.展开式的常数项为（）A.112 B.48 C.-112 D.-48【答案】D【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式的常数项．【详解】由于故展开式的常数项为，故选D．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.7.已知，则除以9所得的余数是A.2 B.3C.5 D.7【答案】D【解析】【分析】根据组合数的性质，将化简为，再展开即可得出结果.【详解】，所以除以9的余数为7．选D.【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题.8.由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（）A.144 B.192 C.216 D.240【答案】C【解析】【分析】由题意可得，满足条件五位数，个位数字只能是0或5，分别求出个位数字是0或5时，所包含的情况，即可得到结果.【详解】因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；当个位数字是0时，共有种可能；当个位数字是5时，共有种情况；因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是个.故选C【点睛】本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型.9.，则（）A.0 B.-1 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由赋值法令，解得，令，解得再由平方差公式计算可得解【详解】解：令，解得，令，解得，又=（）（）==，故选C.【点睛】本题考查了二项式定理及赋值法求展开式系数的和差，属基础题.10.某校约有1000人参加模块考试,其数学考试成绩服从正态分布N(90,a2)(a>0),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的0.6,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A.600 B.400C.300 D.200【答案】D【解析】【分析】70分到110分之间的人数约为总人数的0.6，根据正态分布知，90分到110分之间的约为总数的0.3，所以可知110分以上的约为总数的.【详解】根据正态分布知，其均值为90分，又70分到110分之间的人数约为总人数的0.6，根据对称性知90分到110分之间的约为总数的0.3，所以可知110分以上的约为总数的，故有大约人，选D.【点睛】本题主要考查了正态分布，利用正态分布的对称性解题，属于中档题.11.如图，用5种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A.200种 B.160种 C.240种 D.180种【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，要求出给四个区域涂色共有多少种方法，需要分步进行考虑；对区域A、B、C、D按顺序着色，推出其各有几种涂法，利用分步乘法计数原理，将各区域涂色的方法数相乘，所得结果即为答案．【详解】涂有5种涂法，有4种，有3种，因可与同色，故有3种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有种．故答案选D．【点睛】本题考查了排列组合中的涂色问题，处理区域涂色问题的基本方法为分步乘法计数原理．12.甲射击一次命中目标的概率是，乙射击一次命中目标的概率是，丙射击一次命中目标的概率是，现在三人同时射击目标一次，则目标被击中的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，先求出人同时射击目标一次，目标不被击中的概率，再根据所求事件与它的对立事件概率间的关系，即可求出目标被击中的概率.【详解】解：由于甲、乙、丙射击一次命中目标的概率分别为，，，三人同时射击目标一次，则目标不被击中的概率为：，由对立事件的概率公式，得到目标被击中的概率为：.故选：A.【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的理解，理解好所求事件与它的对立事件概率间的关系是解题的关键.二、填空题（共4小题；每小题5分，共20分）13.某单位为了了解用电量（度）与气温（）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由下表中数据得回归直线方程中，据此预测当气温为时，用电量的度数约为__________．气温（）141286用电量（度）22263438【答案】40【解析】【分析】先求解，代入方程求得，然后可得气温为时用电量的度数.【详解】所以，所以当时，.【点睛】本题主要考查回归直线方程的求解，回归直线一定经过点，根据条件求出，结合所给条件可以确定回归直线方程，然后根据所给值，可以求出预测值.14.袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为___________.【答案】3/5【解析】袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n==10，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=，∴这2只球颜色不同的概率为p=．故答案为．点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15.已知某运动员每次投篮命中的概率都为.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________.【答案】0.25【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为.答案为：0.25.16.不等式有解，那么实数的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】分，和三种情况讨论，求得的最小值，即可得到本题答案.【详解】设，当时，；当时，；当时，；可知在单调递减，在单调递增，单调递增，所以，，又有解的等价条件为，即，所以m的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查绝对值不等式能成立的问题.三、解答题（共6小题；共70分）17.某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量（单位：万只）与相应年份（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现与有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数（单位：个）关于的回归方程.年份序号x123456789年养殖山羊y/万只1.21.51.61.61.82.5252.62.7根据表中的数据和所给统计量，求关于的线性回归方程（参考统计量：，）；附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】【解析】【分析】由已知求出和，根据所给公式求出和，即可求出关于的线性回归方程.【详解】解：根据题意，设关于的线性回归方程为，则，，则，所以，所以关于的线性回归方程为.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力.18.设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）把代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；（2）利用绝对值的三角不等式求出的最小值，然后求解关于的不等式即可.【详解】（1）当时，，当时，，无解；当时，可得；当时，可得；故不等式的解集为．（2），．当或时，不等式显然成立；当时，，则．故的取值范围为．【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.19.从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.试题解析：（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20.《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain》而推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对空间感知、照相式记忆进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试.规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人，女生未入围80人.（1）根据题意，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；性别入围人数未入围人数总计男生24女生80总计（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生，然后再从这11名学生中抽取3名参加某期《最强大脑》，设抽到的3名学生中女生的人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析，没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据题意填充列联表，再利用独立性检验判断是否有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；（2）先求出的可能取值为0，1，2，3，再求出对应的概率，即得的分布列及数学期望.【详解】解：（1）填写列联表如下：性别入围人数未入围人数总计男生2476100女生2080100总计44156200因为观测值，所以没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.（2）这11名学生中，被抽到的男生人数为，被抽到的女生人数为，的可能取值为0，1，2，3，，，，.所以的分布列为0123故.【点睛】本题主要考查2×2列联表和独立性检验，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.从袋中任取3个小球，按3个小球中最大得分的8倍计分，计分在20分到35分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球中最大得分，求：（1）取出的3个小球颜色互不相同的概率；（2）随机变量的概率分布和数学期望；（3）求某人抽奖一次，中奖的概率.【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为（3）【解析】【分析】（1）设事件表示“取出的3个小球上的颜色互不相同”，利用古典概型、排列组合能求出取出的3个小球颜色互不相同的概率；（2）由题意得有可能的取值为：2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布列和数学期望；（3）设事件C表示“某人抽奖一次，中奖”，则，由此能求出结果.【详解】（1）“一次取出的3个小球上的颜色互不相同”的事件记为，则（2）由题意有可能的取值为：2，3，4，5，6；；；；所以随机变量的概率分布为23456因此的数学期望为（3）“某人抽奖一次，中奖”的事件为，则【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.22.为响应德智体美劳教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下：每分钟跳绳个数185以上得分1617181920年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图：（1）现从这100名学生中，任意抽取2