讲义-直线与圆的位置关系

板块考试要求A级要求B级要求C级要求了解直线与圆的位置关直线与圆的系；了解切线的概念，能判定一条直线是否为圆的切线；能能解决与切线有关的理解切线与过切点的半利用直线和圆的位置关系解决简单问位置关系问题径之间关系；会过圆上题一点画圆的切线切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形相离rOdl相切rOdl相交rdOl

定义 性质及判定直线与圆没有公共点． d r 直线l与⊙O相离直线与圆有唯一公共点，直线叫做dr直线l与⊙O相切圆的切线，唯一公共点叫做切点．直线与圆有两个公共点，直线叫做dr直线l与⊙O相交圆的割线．从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系drdrdr公共点名称交点切点无直线名称割线切线无二、切线的性质及判定1．切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线长和切线长定理：⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA为⊙O的半径，过半径外端A作l⊥OA，则O到l的距离d=r，∴l与⊙O相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是 ⊙O的切线．OOOllAAlA证明一直线是圆的切线有两个思路： （1）连接半径，证直线与此半径垂直； （2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心A定理：①过圆心，过切点垂直于切线OA过圆心，OA过切点A，则OAAT②经过圆心，垂直于切线过切点OO1AB过圆心M为切点2ABMTATMT③经过切点，垂直于切线过圆心1AMMTBAM过圆心2M为切点三、三角形内切圆1．定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系AAAcbcDbOFBaCCaBBEC（1）（2）图（1）中，设a，b，c分别为ABC中A，B，C的对边，面积为S则内切圆半径（1）rs1abc；图（2）中，C901p，其中p，则rabc22四、典例分析：切线的性质及判定【例1】如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作O的切线，切点为C，若∠A25，则∠D______．BBOAOODADCABC例1例2巩固【例2】如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若OBA30，则OB的长为()A．43B．4C．23D．2【巩固】如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，AOB60，BC4cm，则切线ABcm．【例3】如图，若O的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，且O的半径为2，则CD的长为（）A．23B．43C．2D．4DCEOBAC例2巩固【巩固】如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AAD切半圆O于点D，BCAD于点C，OBDAB 2，半圆O的半径为2，则BC的长为_______________．【例4】 如图，已知以直角梯形 ABCD的腰CD为直径的半圆 O与梯形上底 AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是 D，C，E．求证：以 AB为直径的圆与 CD相切．D DA AO OB例4B巩固CC【巩固】如图，已知以直角梯形ABCD中，以AB为直径的圆与CD相切，求证：以CD为直径的圆与AB相切．【例5】已知：如图，在ABC中，ABAC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E．求证：（1）1AABC是等边三角形；（2）AECE．3EBOC【巩固】如图，MP切⊙O于点M，直线OP交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC．MPCAOB【例6】如图，ABC中，ABAC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。A求证：AC是O的切线。DBCO【例7】如图，已知AB是O的直径，BC为O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OAr。（1）求证：CD是O的切线；C（2）求ADOC的值；D（3）若ADOC9r，求CD的长。2

A BO【巩固】如图，已知AB是O的直径，BC是和O相切于点B的切线，过O上A点的直线AD∥OC，若OA2且ADOC6，则CD。CDA BO【巩固】如图，AB是半圆（圆心为 O）的直径，OD是半径，BM切半圆于 B，OC与弦AD平行且交BM于C。D（1）求证：是半圆的切线；CD（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为x，点A到直线CD的距离为Ay，试求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。【例8】如图，AC为O的直径，B是O外一点，AB交O于E点，过E点作O的切线，交D点，DEDC，作EFAC于F点，交AD于M点。E（1）求证：BC是O的切线；M（2）EMFM。AOF【例9】如图，割线ABC与O相交于B、C两点，D为O上一点，E为BC的中点，OE交BCDE交AC于G，ADGAGD。C（1）求证：AD是O的切线；FO（2）如果AB2，AD4，EG2，求EO的半径。GBA

MCBOBC于BDC于F，D【例10】如图，已知点E在ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，且AD平分BAC．求证：ACBC．AO【巩