第七节 子空间的直和

高等代数

1第七节子空间的直和第六章线性空间LinearSpace2一、子空间的直和的概念在线性空间V1+V2中，向量=1+2（1

V1,2

V2）的表示法一般不唯一．例如，在R3

中，子空间V1=L(e1,e2

),V2=L(e1,e3

)，其中e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1),则和空间V1+V2中，零向量的表示法不唯一:0=0+0=e1-e1．3注◆子空间的直和是子空间的和的一种特殊情形.定义1设V1,V2

是线性空间V

的子空间，如果V1+V2中每个向量的分解式=1+2，1

V1,2

V2,是唯一的，这个和就称为直和，记为V1

V2.4

定理1设V1与V2是线性空间V的两个子空间则下列命题等价:(1)V1+V2是直和;(2)零向量的分解式是唯一的,即由0=1+2（1

V1,2

V2）可以推出1=2=

0;(3)V1∩V2=

{0};(4)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2.二、子空间的直和的充分必要条件5=1+2=1+2，1,1

V1,2,2

V2.于是证明(1)(2)根据直和的定义直接得证.(2)(3)任取

V1∩V2，有0=

-

,

V1,

V2，由(2)知

=0,从而V1∩V2=

{0}.(3)(4)根据维数公式直接得证.(4)(1)任取

V,设6(1-1)=-(2-2),其中1-1

V1,2-2

V2.从而故1-1=0,2-2=0,即1=1,2=2.所以向量的分解式是唯一的,即V1+V2是直和.证毕1-1

V1∩V2,2-2

V1∩V2.V1∩V2=

{0}.由(4)及维数公式知7定理2设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使V=U

W.即子空间的补空间一定存在.三、子空间的补空间定义2设U是线性空间V的一个子空间，若V的子空间W使V=U

W.则U叫做W的补空间，W也叫做U的补空间，或者称U与W是互补子空间.8证明取U的一个基1,…,m

.把它扩充为V的一个基1,…,m

,m+1,…,n.令W=L(m+1,…,n).

W满足要求.证毕则U∩W={0}且U+W=V,9例1在3维空间P3中，过原点的两条相交直线的直和就是由这两条直线所确定的平面.xoyzL1L2L1

L210例2设V=P3，L是过原点的直线，是过原点的平面.令L上的点构成的空间为U，上的点构成的空间为W，如果U∩W

={0}，即L不在上，则V=U

W.xoyzL11例3设V=P3，U=L(1

)，1=(1,1,1)，求U的补空间W.解要求补空间W，即要求W的一个基.只需把U的基扩充为P3的基.取e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),因为向量组1,e1,e2线性无关，所以它即为P3的基，于是e1,e2是W的一个基，即W=L(e1,e2).12若令e3=(0,0,1),则e1,e3和e2,e3都可作为W的基，这就是说，子空间的补空间不是唯一的.在这里U是过原点的直线，W是过原点的平面.事实上，只要直线不在平面上，这时的W都是U的补空间.xoyzUW2W1e1e2e3▲13定义3设V1,V2,…,Vs

都是线性空间V的子空间.如果和V1+V2+…+Vs中每个向量的分解式=1+2+…+s

,i

Vi(i=1,2,…,s)是唯一的，这个和就称为直和.记为四、多个子空间的直和V1

V2