第35节 向量空间 正交向量组量

第五章相似矩阵及二次型向量的内积矩阵的特征值与特征向量的概念及计算实对称矩阵的对角化二次型及其标准型正定二次型§5.1向量组的正交化一、向量内积三、正交矩阵二、正交向量组空间解析几何向量运算回顾一、向量内积1.内积的定义

【定义】设a=(a1,a2,,an

)T及b=(b1,b2,,bn

)T是Rn中的两个向量，则它们对应分量乘积之和称为向量a和b的内积。记作

即

例如，设a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T。则a和b的内积为=(-1)2+10+0(-1)+23=4

设a，b，g为Rn中的任意向量，则(1)

[a，b]

=[b

，a

]

；(2)[ka，b]

=k[a，b]；(3)[a+b，

g]=[a，g]+[b

，g]；(4)

[a，a]0，当且仅当a=0时，有[a，a]=0。下页2.内积的性质：3.向量的模：【定义】对Rn中的向量a=(a1,a2,,an

)T，数称为向量a的模（长度），也称为向量范数。

例如，a=(-3,4)T的长度为：

(1)||a||0，当且仅当a=0时，有||a||=0；(2)||ka||=|k|||a||(k为实数)；(3)||a+b||≤||a||＋||b||。(4)对任意向量a，b，有|（a，b）

|||a||||b||。下页向量模的性质：

长度为1的向量称为单位向量。记为：α0

4.单位向量：如果向量a与b的都不是零向量，它们的夹角θ定义为：5.两个非零向量的夹角：二、正交向量组1.几个概念对于n维向量α、β，若[a，b]

=0，则称向量α与β是互相正交(垂直)的。如零向量与任意向量正交。又如正交向量：正交向量组：若Rn中，s个非零n维向量a1，a2，，as两两正交，即

(ai,aj)=0(ij)，则称该向量组为正交向量组。

如：Rn中的单位坐标向量组e1，e2，，en，是两两正交，(ei,ej)=0(ij)，且均为单位向量。下页正交规范向量组：

如果正交向量组a1，a2，，as的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组。例1、已知两向量解、例2(例1的一般化,也称正交基的扩张定理)设是中的一个正交向量组,,证明必可找到个向量使构成的正交基.都正交.证只需证必可找到使与记必有非零解.其任一非零解即为所求的

证明：设a1，a2，，as为正交向量组，且有数k1，k2，，ks，使k1a1+k2a2+

+ksas=0。【定理】Rn中的正交向量组是线性无关的向量组。2.正交向量组与线性无关向量组Ki[ai,

ai]=0，上式两边与向量组中的任意向量ai作内积，[ai

,k1a1+k2a2+

+ksas]=0(1is)，可得于是a1，a2，，as是线性无关的向量组。但

ai0，有[ai,ai]>0。所以ki=0(1is)，正交向量组

线性无关向量组？

对任意一个线性无关向量组可以找到一个与它等价的正交向量组，即向量组的正交化。五、施密特正交化过程设是一组线性无关的向量,它就是它生成的向量空间的一个基(坐标系),如何在向量空间L中建立正交的基(坐标系)?这个问题就是…找与等价的正交向量组以三个向量为例,从几何直观上去求.上式两边与做内积,注意得从而我们已求得已正交,再求构造(1)式两边与内积,注意得(1)式两边再与内积,类似可得从而

对于Rn中的线性无关向量组a1，a2，，as，令

b1=a1，

……

向量组b1，b2，，bs是正交向量组，并且与向量组a1，a2，，as可以相互线性表示。并且这两个向量组等价。下页3.施密特正交化方法例2试用施密特方法化向量组为正交向量组解令

β1,β2,β3是正交向量组

β10,β20,β30是正交规范向量组三、正交矩阵1.定义如果n阶实矩阵A满足ATA=E，则称A为正交矩阵。

例如，单位矩阵E为正交矩阵；

（4）.若A为正交矩阵，则AT（A–1，A*）也是正交矩阵．（2）．若A为正交矩阵，则A可逆，且A-1=AT（3）．若B、A都是正交矩阵，则BA也是正交矩阵．事实上(AT)TAT=A

AT=E(A*)TA*=(|A|A-1)T(

|A|A-1)=|A|2（A-1）T

A-1=E2.正交矩阵的性质（A-1）T

A-1

=（A-1）T

AT=（AA-1）T=E

（1）．若A为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1；ATA=E，|AT||A|=|E|=1，|A|2=1证明定理

为正交