专题九导数及其应用

专题九导及其应用知点总结及分析【知识概一、导的概念和几意义1.函数的平均变化率：函数

fx)

在区间

[xx]

上的平均变化率为：f(x)x)2121

。●2.导数的定义设函数

f(x)

在区间

(,b

上有定义，

x(,)

若

无限趋近于0时，比值

fxfx)

无限趋近于一个常数A则称函数

f()在

x

处可导称该常数A为函数

fx)xx

处的导数作f)

数

f()在

x

处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。●3.求函数导数的基本步骤）求函数的增量

f(xf)

）求平均变化率：

fxf()

3）取极限，当限趋近与0时，f(xf()

无限趋近与一个常数，则

f

。●4.导数的几何意义：函数

fx)

在

处的导数就是曲线

f)

在点

(x,x

处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1求出

)

在x的导数即为曲线0

f(x)

在点

(xf(

处的切线的斜率；（2）已知切点坐标切斜的条件下，求得切线方程为yyf

)()

。当点

P(x,y

不在

)

上时，求经过点P的

f)

的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线

f(x)

在点

(x,x

处的切线平行与y，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为

x

。●5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时的函数

()

，则

V

表示瞬时速度，a

表示瞬时加速度。壹

()()二、导的运算●1.常见函数的导数：（1()k,b为常数；

（2）

(C为常数)；（3）

(x)

；

（4）

(

)

；（5）

(x

)

；

（6）

1xx2

；（7）

(x)

x

；

（8）

(

)

（α为常数（9(a)ln(a；（10）(logx

eaxx

；（11）

(

)

；（12）

1

；（13）

x)

；（14）

(cos)

x

。●2.函数的和、差、积、商的导数：（1）

[f()]

；（2）

[(

（C为常数（3）

[f(x)g()]

g()f()

；（4[

f)f(x)()]g()g2x

(g()0)

。●3.简单复合函数的导数：若

f(u),

，则

y

，即

y

。三、导的应用●1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数

f)

在区间

(a,

内可导，（1）如果恒（2）如果恒（3）如果恒

fff

，则函数，则函数，则函数

f)f)f)

在区间在区间在区间

(a,(a,(a,

上为增函数；上为减函数；上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数

f(x)

的定义域；②求导数f

；贰

③解不等式

f

)

，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式f

，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问如确定参数的取值范围设函数

f(x)

在区间

(a,

内可导，(1)果函数

)

在区间

(a,)

上为增函,

f

(中使

f

的值不构成区)；(2)如果函数

)

在区间

(,b)

上为减函数则

f

(其中使

f

的值不构成区)；(3)如果函数

f)

在区间

(a,

上为常数函数,则

f

恒成立。●2.求函数的极值：设函数

)在及其附近有定义，如果对x近的所有的点都有f()f(x

（或

f(xf()

则称

f(x)

是函数

f()

的极小值（或极大值可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（1）确定函数

f()

的定义域2）求导数

f

）求方程

f

的全部实根x

x

次将定义域分成若干个区间表变时f

和

f()

值的变化情况：f

x

()正负

0

()正负

…

0

(x正负fx

单调性

单调性

单调性（4）检查f

的符号并由表格判断极值。●3.求函数的最大值与最小值：如果函数

f()

在定义域I内存在

，使得对任意的

I

，总有

f()fx

，则称

fx)

为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数

f()

在区间

[a]

上的最大值和最小值的步骤：叁

（1）求

f()

在区间

(a,

上的极值；（2将第一步中求得的极值与

fa),f(

比较得到

f()

在区间

[a]

上的最大值与最小值。●4.解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。f(A的值域[]时，不等式

f()

恒成立的充要条件是

f()

，b不等式

f()

恒成立的充要条件是

f(x)

min

，af(A的值域(a，不等式不等式

f()f()

恒成立的充要条件恒成立的充要条件a（2证明不等式

f()

可转化为证明

f()