高考数学一轮复习近8年真题分类汇编专题10导数大题

PAGEPAGE15专题10—导数大题2考试说明：1、了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，回求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值时的充要条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最大值和最小值。了解导数的综合应用题型特点：导数的综合应用是历年高考的热点，试题难度通常较大，多以压轴题的形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根；利用导数研究恒成立问题等等，体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。一、典例分析命题角度4—利用导数证明不等式问题例1．（2021•乙卷）已知函数，已知是函数的极值点．（1）求；（2）设函数．证明：．命题角度5—利用导数研究恒成立问题例2．（2020•海南）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围．命题角度6—利用导数研究函数性质的综合问题例3．（2019•天津）设函数，其中．（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若，（ⅰ）证明恰有两个零点；（ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明．二、真题集训1．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．2．（2019•天津）设函数，为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当，时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间，内的零点，其中，证明．3．（2018•天津）已知函数，，其中．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明；（Ⅲ）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．典例分析答案命题角度4—利用导数证明不等式问题例1．（2021•乙卷）已知函数，已知是函数的极值点．（1）求；（2）设函数．证明：．分析：（1）确定函数的定义域，令，由极值的定义得到，求出的值，然后进行证明，即可得到的值；（2）将问题转化为证明，进一步转化为证明，令，利用导数研究的单调性，证明，即可证明．解答：（1）解：由题意，的定义域为，令，则，，则，因为是函数的极值点，则有，即，所以，当时，，且，因为，则在上单调递减，所以当时，，当时，，所以时，是函数的一个极大值点．综上所述，；（2）证明：由（1）可知，，要证，即需证明，因为当时，，当时，，所以需证明，即，令，则，所以，当时，，当时，，所以为的极小值点，所以，即，故，所以．点评：本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．命题角度5—利用导数研究恒成立问题例2．（2020•海南）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围．分析：（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；（2）方法一：不等式等价于，令，根据函数单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出的范围；方法二：构造两个基本不等式，，则原不等式转化为，再分类讨论即可求出的取值范围，方法三：利用分类讨论的思想，当，此时不符合题意，当时，，令，再根据导数和函数最值的关系即可证明，方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出，，再求出的范围，再利用导数求的范围，即可求出的范围．方法五：等价于，构造函数（a），利用导数求出函数的最值，即可求出的范围．解答：解：（1）当时，，，（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，当时，，当时，，曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．（2）方法一：由，可得，即，即，令，则，在上单调递增，，即，令，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（1），，，故的范围为，．方法二：由可得，，，即，设，恒成立，在单调递增，，，即，再设，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（1），，即，则，此时只需要证，即证，当时，恒成立，当时，，此时不成立，综上所述的取值范围为，．方法三：由题意可得，，，易知在上为增函数，①当时，（1），，存在使得，当时，，函数单调递减，（1），不满足题意，②当时，，，，令，，易知在上为增函数，（1），当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（1），即，综上所述的取值范围为，．方法四：，，，，易知在上为增函数，在上为增函数，在0，上为减函数，与在0，上有交点，存在，使得，则，则，即，当时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，设，易知函数在上单调递减，且（1），当，时，，，时，，设，，，恒成立，在，上单调递减，（1），当时，，，．方法五：等价于，该不等式恒成立．当时，有，其中．设（a），则（a），则（a）单调递增，且（1）．所以若成立，则必有．下面证明当时，成立．设，，在单调递减，在单调递增，，，即，把换成得到，，．，当时等号成立．综上，．点评：本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．命题角度6—利用导数研究函数性质的综合问题例3．（2019•天津）设函数，其中．（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若，（ⅰ）证明恰有两个零点；（ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明．分析：，．时，，即可得出函数在上单调性．由可知：，．令，，可知：可得存在唯一解．可得是函数的唯一极值点．令，可得时，．．（1）．可得函数在，上存在唯一零点．又函数在上有唯一零点1．即可证明结论．由题意可得：，，即，，可得，由，可得．又，可得，取对数即可证明．解答：解：，．时，，函数在上单调递增．证明：由可知：，．令，，可知：在上单调递减，又（1）．且，存在唯一解．即函数在上单调递增，在，单调递减．是函数的唯一极值点．令，，，可得（1），时，．．（1）．函数在，上存在唯一零点．又函数在上有唯一零点1．因此函数恰有两个零点；由题意可得：，，即，，，即，，可得．又，故，取对数可得：，化为：．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．真题集训答案1．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．解：（1）当时，，，设，因为，可得在上递增，即在上递增，因为，所以当时，；当时，，所以的增区间为，减区间为；（2）当时，恒成立，①当时，不等式恒成立，可得；②当时，可得恒成立，设，则，可设，可得，设，，由，可得恒成立，可得在递增，在递增，所以，即恒成立，即在递增，所以，再令，可得，当时，，在递增；时，，在递减，所以（2），所以，综上可得的取值范围是，．2．（2019•天津）设函数，为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当，时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间，内的零点，其中，证明．（Ⅰ）解：由已知，，因此，当，时，有，得，单调递减；当，时，有，得，单调递增．的单调增区间为，，单调减区间为，；（Ⅱ）证明：记，依题意及（Ⅰ），有，从而．因此，在区间，上单调递减，有．当，时，；（Ⅲ）证明：依题意，，即．记，则，且．由及（Ⅰ），得，由（Ⅱ）知，当，时，，在，上为减函数，因此，，又由（Ⅱ）知，，故．．3．（2018•天津）已知函数，，其中．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明；（Ⅲ）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．（Ⅰ）解：由已知，，有，令，解得．由，可知当变化时，，的变化情况如下表：00极小值函数的单调减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）证明：由，可得曲线在点，处的切线的斜率为．由，可得曲线在点，处的切线的斜率为．这两条切线平行，故有，即，两边取以为底数的对数，得，；（Ⅲ）证明：曲线在点处的切线，曲线在点，处的切线．要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得与重合，即只需证明当时，方程组由①得，代入②得：，③因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解．设函数，既要证明当时，函数存在零点．，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的，且，使得，即．由此可得，在上单调递增，在