上海市浦东新区2021年高三下学期三模试卷数学试题

12019则公比上海市浦东区高三下期三模试卷学试题12019则公比学校:姓：班：考：一填题1已知集合

A

x

B

2设复数

z

ii

，其中i

为虚数单位，则lmz3抛物线

yx

的准线方程________4高为，积为2的柱的侧面展开图的周长___________．

x5三阶行列式

24

中，第2

行第1

列元素

的代数余子式的值是

，则

x

6现有个数，它们能构成一个以1为项，

为公比的等比数列，若从这个数中随机抽取一个数，则它小于8的率是▲．107在2x展开式中，4x

项的系数为_（结果用数值表示）8设无穷等比数列a的公比为q，项

，

lim(a3

)a1的取值范围________9已知平面上的线段

l

及点P任取

l

上的一点Q线PQ长的最小值称为点到线段l的离，记为

(P,l)

．设

A，B(0,1)，(，

，

，若

满足，则

关于x的函数解析式为

10O的径为P为周上一点将图放置的边长为1的方实线所示，正方形的顶点和点重）着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．

知数列满足a0,a1

n

n

n

a

n

n

*

数列有大值M和最小值m，

Mm

的取值范围_12凸边形就是没有角度数大于边形把边形的任何一边向两方延长其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．如图，在凸四边形ABCD

中AB

3，AC,AC

变化时角BD的最大值为________二单题13设

，则是

x

x

恒成立的）A．充分不必要条件C．分必要条件

B．要不充分条件D．既不分也不必要条件14已知函数

f()2sin(2

，把函数

的图象沿轴向左平移

个单位，得到函数

的图象，关于函数，列法正确的(A．在

[

]2

上是增函数B．图象关于直线

x

对称C．数

是奇函数D．

x[0,

]

时，函数

的值域是

[15已知函数

yf

是定义域为的函.时，sinxx4fxx

若关于x的程

有且仅有

个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．

52

B

524

C．

9,

D．

12212120016Pxyx122121200xxPQMax++0Nax++0A．

max

B．

axby02C．

ax0b

D．+by+|三解题17在四棱锥

ABCD

中，底面

为直角梯形，

AD/,ABBC

侧面PAB面

，

PAAD2,BC

若中为E.

求证：AE/

平面

PCD

；

若60直线BD与面所成角正弦值.18上海途安型号出租车价格规定：起步16元，可行

千米；

千米以后按每千米按

元计价，可再行千；以后每千米都计价．假如忽略因交通拥挤而等待的时间

请建立车费y（）和行车里程（米）之间的函数系式；

注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线线一总长8千米付费31元，走路线二（路线二总长8千米）也须付车费31元将述函数解析式进行修正（符号

表示不大于x的大整数，符号的小整数求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长

Py在曲线bPy在曲线b

千米）19函数

fx)mxxx

，（1若

，试讨论函数

fx)

的单调性；（2若，讨论

fx)

的零点的个数；20ab2

的右焦点分别为

F12

袖长为2，点

上，Q线l:

上，且

QF11

（1求曲线的标准方程；（2试通过计算判断直线PQ与曲线

公共点的个.（3点

Ayy1

在都在以线段

F1

为直径的圆上

OAOB12

，试求

x

2

的取值范围.21已知数列

n

ann

*

，且

a1

n

；

令

blgn

，且

，试求无穷数列项的和；

对于

N*

，求证：21

2

3

2

3

n

3

1

a2

2

a······23n

2

a1

参答．

【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，求出集合运算，即可求解．【详解】

和集合，后进行交集的根据一元二次不等式的解法，可得集合

，由指数函数的单调性，可得集合

，所以

AB

．【点睛】本题主要考查了集合表示方法元二次不等式的解法和指数函数的单调性及集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．．1【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数

z

iiii

，所以复数的虚部为1，即lmz

．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算及复数的基本概念着重考查了推理与运算能力，属于基础题．．

y

【分析】先将抛物线化为标准方程，进而可得出准线方.【详解】因为抛物线

yx

的标准方程为：

12

，

因此其准线方程为：y故答案为

y

【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题.．

【解析】试题分析：底面积

底面半径r，面展开图周长为

2

考点：圆柱侧面展开.．

【分析】由代数余子式的定义得

(3

x

x

，由此能求出的值，得到答案【详解】由题意，元素

的代数余子式是

x36

，所以有

x36

，即

x

．【点睛】本题主要考查了实数值的求法及代数余子子的性质等基础知识查算求解能力是基础题．．

．【解析】试题分析：这个等比数列中，

偶数项为负数，

a,a359

均大于

，所以

个数中小于8的共有6个从10个数中随机抽取一个数小于8概率故应填

35

考点：1.等比数列的性质；古典概.

02019,1102019,11【名师点睛本题考查等比数列性质与古典概型中档题求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数方有列举法图、列表法法等事包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率．

【分析】式子表示10个式

x

x

的乘积有8个式取x的2个因取2，可得含x4项，从而得到x4项的系数．【详解】由题意，可得含有

项为C•2•10

x1804，所以4项的系数为

C210

180

．【点睛】本题主要考查了乘方的意义排组合的应用考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．．【分析】利用无穷等比数列极值的运算法则、化简，即可求解，得到答案．【详解】因为

lim(a23n

)n

a•q2a，且q111

，解得

．【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的极限及数列极限运算法则的应用考计算能力属基础题．

2222

(x．

y

(0(【详解】如图，当

时，

PAldPl)12

，所以点P轴上，时当

,l)P,l2

分别是点P到直线和的离以点仍在轴上，此时；

x

，

d(P,l)，d(P,l12

为点P到直线

CD

的距离，根据抛物线的定义知，点P在以CD准线，B为点的抛物线的上，此时

y

x

；当x时(l)PlPD12

P在段BD的直平分线上

y

综上，

(x,故答案为y

(0(

考点：函数的综合应.10

(22)π【解析】试题分析走的路径由圆心角均为

的劣弧组成6劣弧所在圆的半径为，劣弧所在圆的半径为考点：弧长公式.

，所以点A走的路径的长度为．

【分析】由

a

a

a

，可得

an

n

n

n

··21

a，类讨论，求得的最大值和最小值，即可求解．【详解】当n2

时，

ann2

n

a

n

a

n

n

2

a

n

当

时，

a1

，符合上式故

aa

a,N

*

当a，数列不在最大值和最小值；

当

a

时，3

n

a

，所以最大值

，最小值

M

当

时，a的最大值Ma

2

a，小值a，所以

Ma2an

M

【点睛】本题主要考查了数列递推关系、累加求和方法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．126【分析】设ACCDx

，利用余弦定理求出，利用正弦定理求出，利用余弦理求得对角线，根据三角恒等变换求出BD的最大值即可．【详解】设

CDx

，在

中由余弦定理，可得AC

AB•BC•cos，即x3cos因为

ACAB，以ACBsinABC

，

minmin在BCD中，BD

3xcos

2

32

xsin3ABCABC

sin

4

，因为

ABC

可以取到最大值，所以BD

6．【点睛】本题主要考查了正弦定理三角数恒等变换的应用角三角函数基本关系式余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．13A【解析】试题分析：由题意得，

x

a()aax

，故“a”是“

x

x

恒成立的充分不必要条件，故选A．考点：1．充分必要条件．恒成立问题．14D【解析】试题分析：由题意得，

()2sin[2(x

]x

2cos2x

，A：x[]时2，减函数，故A错；B：g())2

，故错误；：

g()

是偶函数，故错；：

x[0,

]，

]

，值域为[，故D正确，故选D．考点：1．三角函数的图象变换；．15C【解析】【分析】

ysin(

的图象和性质．根据函数的奇偶性作出函数

f

的图象，利用换元法判断函数

tf

x

的根的个数，利

1221212212用数形结合即可得到结论．【详解】作出函数

f

的图象，如图所示，则

f2)上增，在和(2,递，当

时，函数取得极大值

f

；当x时，取得极小值0．要使关于的方程

有且只有6个同实数根，设

tf

，则当，方程

tf

，有个，当，程

tf

，有1个根当

或

t

，方程

tf

，有2个，当

，方程

tf

，有4个，当

t

，方程

tf

，有0个．则

at必两个根

t,t1

，则有两种情况符合题意：①

t1

9，且t(1,)此时，)4

；②

t(0,1],(1,)，时同理可得a(

，综上可得的围是

9,

，故选C．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中利用换元法结合函数奇偶性的对称性，以

00及利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，属于难题．16A【分析】N

tcttctM|bab

a

b

【详解】由题意，点

是直线

c

0

外一定点，点

是直线

c

上一动点，可设

tN(

ct)

，则

M,

两点的“垂直距离”为：tttyby0aba所以M两的“垂直距离”的最小值

axb)

．故选A．【点睛】本题主要考查了两点间的垂直距离的最小值的求法查垂直距离线的参数方程等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档试题．17见解析）【分析】

105（1的中点F结DF,EF到四边形ADFE为平行四边形有/

，根据线面平行的判定定理即得到

/平；（2设B到面

PCD

的距离为

根

VP

求

的值进求得直线BD与平面

PCD

所成角

的正弦值．【详解】（1证明：取

的中点，结

DF,

BPCDh510BPCDh510因为EF//AD

，且EF，以为行四边形．所以//

，且不平面

PCD

内，DF在平

PCD

内，所以/平PCD（2因为

PAB60PAPB

，所以为等边三角形，取AB的点

O

，连接

PO

，则

，又侧面面

ABCD

，平面底面

ABCDAB

，所以PO面ABCD，由已知条件，可求得

POS

4,PDCD2,PCS

，令点B到平面

PCD

的距离为

，因为

VPBPCD

，

VPBCD

，又因为

S

，所以

h

45

，直线与平面所成角的弦值

4sin2

．【点睛】本题主要考查了中位线的性质面平行的判定定理以直角三角形边的关系面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义的综合应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．xx18yx15（2）8.5

，

元【分析】（1）分类讨论x的围，得出y与x的数关系式；（2）由（）数的解析式，根条件修正函数解析式，代入计算车费，即可求解．【详解】（1由题意，知当

0x

时；

时，

y8.5

；当

时，

y3.8

，

所以函数的解析式为

xy8.5,3x

．（2首先根据题意将路线一长和路线二长分别带入第一问求出的函数中，得车费分别为

元和

元，根据题目中的要求都付车费31元故选择号x从而有8.5,3

，代入第三个函数解析式求得须

元.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题中答中认真审题理求得分段函数解析式的求解以及求得分段函数的函数值是解答的关键重考查了分析问题和解答问题的能力于中档题．19）

fx)

在和[0.5,为函数，在[0,0.5]上减函数）当m时函数

f(x)mxxx

有且仅有一个零点

；当m2或

或

或

时数

fx)mxx

有两个零点；当m或

m

时，

fx)mxx

有三个零点．【解析】试题分析

代入函数据对值不等式的几何意义去掉绝对值的符号，根据函数的解析式作出函数的图象，根据函数图象讨论函数的单调性把数的零点转化为方程

mx

xx

的根，作图

y

xx

和的象，直线移动过程中注意在什么范围内有一个零点，在什么范围内有两个零点，三个零点，通过数形结合解决有关问题．试题解析）图像如下：

x2(x0)fx)xxx{2(x

yyyy所以

fx)

在

(

和

[

上为增函数，在

[

上为减函数；（2

f(x)mxxx

的零点，除了零点

以外的零点即方程

mx

xx

的根作图

y

xx

和，如图可知：当直线的斜率m：时有一根；当m当时有两根；当时，有一根；当时，有一根；当m（和

xx

(

相切时）没有实数根；当m2（和

xx

(0)

相切时）有一根；当m时两根．

P3.y在20P3.y在20综上所述：当m时函数

fx)mxxx

有且仅有一个零点

；当m2或

或

或

时数

fx)mxx

有两个零点；当m或

m

时，

fx)mxx

有三个零点．考点：1、函数的单调性、函数零点的个数．20

224

（2）只有一个公共点3）

【分析】（1）根据椭圆的几何性质，列方程组，求得a,2的，可得到椭圆的标准方程；（2）由

QF11

，根据向量的数量积公式可得

的纵坐标，取得直线

PQ

的直线方程，即可作出判定，得到答案；（3）由

xyyx得y121221

，进而得打不等式x

x

，即可求解．【详解】（1线

ab2

的右焦点分别为

F12

袖长为2，所以

2b3a2

2

，解得，以曲线b2

22的标准方程为：4（2由

0

ab2

，3可得o4

，解得

，所以

33,设

，则

11又由QF，则PF•QF，1112即33，得t

，所以

Q

33y

22所以

y

3若3,

PQ:y

，3y2由x223

x2

，解得x，知道直线与曲线

相切，只有一个公共点；若

可知直线与曲线相切，只有一个公共点（3因为•xxyyx11211

，即

x