2019版数学复习第十一章推理与证明11.2直接证明与间接证明讲义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE§11。2直接证明与间接证明考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.直接证明1。不等式证明2.数列证明3。函数证明A解答题★★★2.间接证明1。不等式证明2。数列证明3.函数证明A解答题★★★分析解读本节内容江苏高考一般很少单独考查，一般都和其他知识相结合,放在不同的解答题中考查其运用.五年高考考点一直接证明1。(2013广东理,19,14分)设数列｛an}的前n项和为Sn。已知a1=1，=an+1-n2-n—,n∈N*。（1)求a2的值；（2）求数列｛an｝的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.解析（1)依题意，得2S1=a2——1—,又S1=a1=1,所以a2=4。(2)当n≥2时,2Sn=nan+1-n3—n2—n,2Sn-1=（n—1）an—（n-1)3—（n—1)2—(n—1)，两式相减得2an=nan+1—（n—1)an—(3n2-3n+1）-(2n—1)—，整理得（n+1）an=nan+1—n(n+1),即—=1，又—=1,故数列是首项为=1，公差为1的等差数列，所以=1+（n-1)×1=n，所以an=n2。（3)证明:当n=1时,=1〈；当n=2时，+=1+=<；当n≥3时,=<=—，此时++…+=1++++…+<1++++…+=1++—=-<.综上，对一切正整数n，有++…+<.教师用书专用（2）2。（2013湖北理,22，14分)设n是正整数,r为正有理数。(1）求函数f(x)=(1+x）r+1-（r+1)x—1（x>—1）的最小值；(2)证明：<nr〈;（3)设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数,例如[2］=2,［π］=4,=—1.令S=+++…+，求［S]的值.(参考数据：8≈344.7,8≈350。5,12≈618。3,12≈631.7）解析(1）因为f'（x）=(r+1）（1+x)r-（r+1)=（r+1)［(1+x)r-1］，令f’（x）=0,解得x=0.当—1<x<0时,f'（x）〈0，所以f(x)在（—1，0)内是减函数；当x〉0时,f’(x）〉0,所以f（x)在（0,+∞)内是增函数。故函数f(x）在x=0处取得最小值f(0）=0。(2）证明:由（1）知，当x∈（—1,+∞）时，有f(x)≥f(0)=0，即（1+x）r+1≥1+(r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，故当x〉—1且x≠0时,有（1+x)r+1〉1+(r+1）x。①在①中,令x=（这时x>—1且x≠0),得>1+。上式两边同乘nr+1,得（n+1)r+1>nr+1+nr（r+1），即nr<。②当n〉1时,在①中令x=-（这时x〉—1且x≠0)，类似可得nr>.③且当n=1时，③也成立.综合②，③得<nr<。④（3）在④中，令r=,n分别取值81,82,83,…，125，得（8—8）〈〈(8—8）,（8—8）<<(8—8)，（8—8)〈<(8-8）,……（12—12）<<（12—12)。将以上各式相加，并整理得(12—8）<S〈（12-8）。代入数据计算，可得（12—8)≈210。2,(12-8)≈210。9.由［S］的定义，得［S]=211。考点二间接证明1.(2014山东改编，4，5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是。

答案方程x3+ax+b=0没有实根2。(2013北京理，19，14分）已知A,B,C是椭圆W:+y2=1上的三个点，O是坐标原点。(1）当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;（2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。解析（1)椭圆W：+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0）.因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,m），代入椭圆方程得+m2=1，即m=±。所以菱形OABC的面积是｜OB|·|AC｜=×2×2|m｜=.(2）假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0）.由消y并整理得（1+4k2)x2+8kmx+4m2—4=0。设A(x1，y1）,C（x2，y2),则=-,=k·+m=。所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为—。因为k·≠—1，所以AC与OB不垂直。所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一直接证明1.(2018江苏淮安高级中学阶段测试）已知函数f(x)=ex，x∈R.（1）设x〉0，判断函数g(x）=f（x)-mx零点的个数;(2)设a〈b，比较与的大小,证明。解析(1）因为g（x）=ex—mx(x>0)，所以g’（x）=ex—m。当m≤1时,g'(x）=ex-m〉e0—m≥0，g（x）在(0，+∞)上单调递增，g(x）>g（0）=1,此时函数无零点。当m〉1时，令g’(x）=ex—m=0，得x=lnm，当x∈(0，lnm)时,g’（x）〈0，g(x)在(0，lnm)上单调递减;当x∈（lnm，+∞)时，g'（x)〉0，g(x）在（lnm,+∞)上单调递增.故g(x)min=g（lnm)=m—mlnm=m（1-lnm）.当1〈m<e时,g(x)min=m（1—lnm)〉0，此时函数无零点,当m=e时，g(x)min=0，此时函数有1个零点。当m>e时,g(lnm)<0.又因为g(0）=1>0，故函数在（0,lnm）上有唯一零点.g（2lnm）=e2lnm-m·2lnm=m2-2mlnm=m（m—2lnm)，令φ（m)=m—2lnm(m>e），则φ’（m)=1-〉0,所以φ（m)在(e，+∞）上单调递增,φ(m）>e-2>0，故g（2lnm）>0，故函数在(lnm，+∞)上有唯一零点,此时函数有两个零点。综上，当m<e时,函数无零点;当m=e时,函数有1个零点，当m>e时，函数有2个零点.(2)>.要证>,只要证〉.只要证〉==1-,令h(x)=+—1（x>0)，所以h'（x）=—=〉0，所以h(x）在(0，+∞）上单调递增，故h(x)〉0，所以+-1〉0，故原不等式成立.2。（2017江苏无锡一中月考)已知函数f(x）=tanx，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证:[f(x1）+f（x2)]〉f。证明要证［f(x1)+f（x2）]〉f,即证明（tanx1+tanx2)〉tan，只需证明>tan，只需证明〉。由于x1,x2∈,故x1+x2∈（0，π）。所以cosx1cosx2〉0，sin（x1+x2)>0，1+cos（x1+x2)>0。故只需证明1+cos(x1+x2)〉2cosx1cosx2,即证1+cosx1cosx2—sinx1sinx2〉2cosx1cosx2.即证cos（x1—x2)〈1。由x1，x2∈,x1≠x2知上式显然成立,因此[f（x1）+f（x2）］>f。考点二间接证明3。（2016江苏无锡期中）设a，b是两个实数,给出下列条件:①a+b〉1；②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a，b中至少有一个大于1”的条件是.

答案③4.(苏教选2—2，二,2，9,变式）已知数列｛an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=2。（1）求数列{an｝的通项公式；(2）求证:数列｛an｝中不存在三项按原来顺序成等差数列。解析(1）当n=1时，a1+S1=2a1=2,则a1=1。又an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=an,所以｛an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an=。（2)证明:反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap+1，aq+1,ar+1(p<q<r，且p,q，r∈N＊)，则2·=+,所以2·2r—q=2r—p+1。(*）又因为p〈q〈r,且p,q，r∈N＊,所以r-q,r-p∈N*。所以(*)式左边是偶数，右边是奇数,等式不成立。所以假设不成立,原命题得证。5。（2017江苏苏中三校联考)若f(x）的定义域为［a,b],值域为［a，b］(a〈b），则称函数f（x)是[a，b]上的“四维光军”函数.(1）设g(x）=x2-x+是［1,b］上的“四维光军”函数,求常数b的值;(2）是否存在常数a,b(a〉—2),使函数h(x）=是区间[a，b］上的“四维光军"函数?若存在,求出a,b的值；若不存在,请说明理由.解析（1)由题设得g（x）=（x—1)2+1，其图象的对称轴为x=1,所以函数在区间[1,b]上单调递增。由“四维光军”函数的定义可知,g（1)=1，g（b）=b，即b2—b+=b，解得b=1或b=3.因为b〉1，所以b=3.（2）假设函数h（x)=在区间[a，b］（a〉—2）上是“四维光军”函数,因为h(x)=在区间（-2，+∞)上单调递减，所以有即解得a=b，这与已知矛盾。故不存在常数a,b(a>-2),使函数h（x)=是区间[a,b］上的“四维光军”函数.B组2016-2018年模拟·提升题组（满分：15分时间:10分钟）解答题（共15分)(2017江苏射阳中学质检)各项均为正数的等比数列{an}，a1=1，a2a4=16,｛bn}的各项均为正数,前n项和为Sn,a4=b3,且6Sn=+3bn+2（n∈N*).（1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)令cn=(n∈N*）,求使得cn〉1的所有n的值,并说明理由；（3)证明{an｝中任意三项不可能构成等差数列。解析(1）设{an｝的公比为q,则q>0。∵a2a4=q4=q4=16，∴q2=4,∴q=2,∴an=2n—1，∴b3=a4=8。∵6Sn=+3bn+2，①∴当n≥2时，6Sn-1=+3bn—1+2，②①-②得6bn=-+3bn—3bn—1（n≥2）,即（bn+bn—1）（bn-bn-1)=3（bn+bn—1)（n≥2),∵bn>0，∴bn—bn-1=3,∴｛bn}是公差为3的等差数列.当n=1时,6b1=+3b1+2,解得b1=1或b1=2，当b1=1时，bn=3n—2,此时b3=7,与b3=8矛盾;当b1=2时,bn=3n—1，此时b3=8=a4,∴bn=3n-1.(2）∵bn=3n-1,∴cn==,∴c1=2>1，c2=〉1，c3=2>1，c4=〉1，c5=<1,下面证明当n≥5时,cn〈1。事实上,当n≥5时，cn+1-cn=—=〈0,即cn+1〈cn,∵c5=<1，∴当n≥5时，cn<1,故满足条件cn>1的所有n的值为1,2，3,4.(3）证明：假设｛an}中存在三项p，q,r(p<q〈r,p,q,r∈N＊)使ap,aq,ar构成等差数列，∴2aq=ap+ar,即2·2q—1=2p—1+2r—1.∴2q—p+1=1+2r—p.左边为偶数,右边为奇数，∴矛盾.∴假设不成立，故｛an｝中不存在任意三项能构成等差数列.C组2016—2018年模拟·方法题组方法解有关证明问题的常用解题技巧与方法（2017江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考,19）已知函数f（x）=，g（x)=lnx，其中e为自然对数的底数.(1）求曲线y=f(x)g（x）在x=1处的切线方程；（2)若存在x1，x2(x1≠x2),使得g（x1）—g(x2）=λ［f(x2）-f(x1）]成立,其中λ为常数，求证：λ>e;(3)若对任意的x∈(0,1］,不等式f（x）g（x）≤a(x—1)恒成立,求实数a的取值范围.解析（1)因为y=f(x）g(x)=,所以y’=，当x=1时，y’=,y=0。所以曲线y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程为y=（x-1），即x-ey-1=0。（2)证明:由g(x1)-g（x2)=λ[f(x2）-f（x1）]得g（x1)+λf(x1）=g(x2）+λf（x2）.记p（x)=g(x）+λf(x)=lnx+，则x∈（0,+∞）,且p'（x)=。假设λ≤e。①若λ≤0,则p'(x）>0，所以p(x）在(0,+∞)上为单调增函数。又p（x1)=p（x2)，所以x1=x2，与x1≠x2矛盾.②若0〈λ≤e，记r（x）=ex-λx，则r'(x)=ex-λ。设r'(x0)=0，解得x0=lnλ.当x〉x0时，r'（x）>0，r(x)在（x0,+∞）上为单调增函数;当0<x〈x0时,r'（x)<0，r(x)在（0,x0）上为单调减函数.所以r(x)≥r（x0)=λ（1—lnλ)≥0,所以p'(x)≥0，所以p（x)在(0，+∞）上为单调增函数。又p(x1）=p(x2）,所以x1=x2，与x1≠x2矛盾。综合①②可知，假设不成立,所以λ〉e。（3）由f(x）g（x)≤a（x—1）得lnx-aex（x—1）≤0。记F(x）=lnx—aex（x-1),0<x≤1，则F'（x)=-axex=xex。当a≤时，因为≥，xex〉0,