2018数学二轮复习专题四立体几何第2讲空间点、线、面的位置关系课时规范练文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE16学必求其心得，业必贵于专精第2讲空间点、线、面的位置关系一、选择题1．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α,n⊥β,则（）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：因为α∩β＝l，所以l⊂β.因为n⊥β，所以n⊥l。答案：C2．（2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD。A1B1C1D1中，E为棱CD的中点,A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC解析:如图，由题设知,A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案：C3．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(）A．若a∥α，b∥α,则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α,a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解析：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a⊥α,a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．答案:B4。如图,在三棱锥D。ABC中,若AB＝CB，AD＝CD,E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.答案：C5．(2017·石家庄质检）设m，n是两条不同的直线，α,β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ,m⊥α，则m⊥γ;③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β。其中真命题的个数是（)(导学号55410119）A．0 B．1C．3 D．3解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．答案：B二、填空题6.如图，在空间四边形ABCD中,点M∈AB，点N∈AD，若eq\f（AM,MB）＝eq\f（AN，ND）,则直线MN与平面BDC的位置关系是________．解析：由eq\f（AM,MB）＝eq\f(AN,ND)，得MN∥BD.而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，所以MN∥平面BDC。答案：平行7．正方体ABCD。A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点，①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD;③三棱锥E。ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1。解析：因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因为B1D1∥平面ABCD，故②正确;记正方体的体积为V，则VE。ABC＝eq\f（1,6）V，为定值，故③正确;B1E与BC1不垂直，故④错误．答案：①②③8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A。BCD,则在三棱锥A。BCD中,下列命题正确的命题序号是________．①平面ABD⊥平面ABC②平面ADC⊥平面BDC③平面ABC⊥平面BDC④平面ADC⊥平面ABC解析：因为在四边形ABCD中,AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°,∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD,则CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC,又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC。答案：④三、解答题9．（2017·西安质检）如图,四棱锥P。ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,且PA＝2,E是侧棱PA上的中点．(导学号55410120）（1)求证：PC∥平面BDE；（2）求四棱锥P。ABCD的体积．(1）证明:连接AC交BD于点O,连接OE，如图：因为四边形ABCD是正方形,所以O是AC的中点．又E是PA的中点，所以PC∥OE.因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE。(2）解：因为PA⊥平面ABCD，所以VP。ABCD＝eq\f(1，3)S正方形ABCD·PA＝eq\f（1，3）×12×2＝eq\f（2，3)，所以四棱锥P。ABCD的体积为eq\f（2,3）。10．(2016·北京卷）如图,在四棱锥P.ABCD中，PC⊥平面ABCD,AB∥DC，DC⊥AC。（导学号55410121）（1)求证：DC⊥平面PAC；（2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．证明：(1）因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC,AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC。(2)证明：因为AB∥CD,CD⊥平面PAC，所以AB⊥平面PAC,AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.（3)解：棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下，取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF为△PAB的中位线，所以EF∥PA。又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，所以PA∥平面CEF.11．如图1,在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点,AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A.BCF，其中BC＝eq\f(\r（2),2).(导学号55410122)（1）证明:DE∥平面BCF;(2）证明:CF⊥平面ABF；（3)当AD＝eq\f（2，3)时，求三棱锥F。DEG的体积VF.DEG.(1）证明：在等边△ABC中，AD＝AE，在折叠后的图形中，仍有AD＝AE，AB＝AC,因此eq\f（AD,AB）＝eq\f（AE，AC)，从而DE∥BC.因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF,所以DE∥平面BCF.(2）证明：在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形,BF＝CF,所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中,AF⊥BF，AF⊥CF，又BF＝CF＝eq\f(1，2),BC＝eq\f（\r（2）,2).所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF。又BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以CF⊥平面ABF。（3）解：由（1）知，平面DEG∥平面BCF，由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF，又BF∩CF＝F,所以AF⊥平面BCF，所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.在折叠前的图形中，AB＝1,BF＝CF＝eq\f（1，2)，AF＝eq\f（\r（3),2)。由AD＝eq\f(2,3）知eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3），又DG∥BF，所以eq\f(DG，BF)＝eq\f（AG，AF）＝eq\f（AD，AB）＝eq\f(2，3)，所以DG＝EG＝eq\f(2，3）×eq\f（1,2)＝eq\f(1,3），AG＝eq\f（2,3）×eq\f(\r（3）,2)＝eq\f(\r（3），3),所以FG＝AF－AG＝eq\f(\r（3)，6），故V三棱锥F­DEG＝V三棱锥E­DFG＝eq\f(1，3）×eq\f（1,2）DG·FG·GE＝eq\f（1，6）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3））)eq\s\up12（2）×eq\f(\r(3),6)＝eq\f(\r(3）,324).[典例］（本小题满分12分）(2017·全国卷Ⅱ）如图，四棱锥P.ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f（1，2)AD,∠BAD＝∠ABC＝90°。(1）证明：直线BC∥平面PAD；（2)若△PCD的面积为2eq\r（7)，求四棱锥P。ABCD的体积．(1）证明：在底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°。所以BC∥AD，(1分）又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD。所以直线BC∥平面PAD。（3分)(2)解：取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD,∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.（5分）因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.（7分）因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM。（8分）设BC＝x，则CM＝x，CD＝eq\r(2）x，PM＝eq\r（3）x，PC＝PD＝2x,取CD的中点N，连接PN。则PN⊥CD，所以PN＝eq\f（\r（14),2)x.因为△PCD的面积为2eq\r（7），所以eq\f（1，2）×eq\r(2）x×eq\f（\r（14）,2）x＝2eq\r（7)，解得x＝2或x＝－2（舍去)．（10分)于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r（3)。所以四棱锥P。ABCD的体积V＝eq\f(1,3）×eq\f（2(2＋4)，2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3）。(12分)1．写全得分步骤：在立体几何类解答题中,对于证明与计算过程中得分点的步骤,有则给分,无则没分,所以对于得分点步骤一定要写．如第(1)问中的BC∥AD.第（2)问中CM⊥AD，PM⊥CM,PN＝eq\f（\r（14),2)x等．2．注意利用第(1）问的结果：在题设条件下，在第(2）问的求解过程中，证明CM⊥AD时,利用第（1）问证明的结果BC∥AD。3．写明得分关键：对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分．所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD两个条件,否则不能得全分．在第(2）问中，证明PM⊥平面ABCD时,一定写全三个条件．如平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊥AD一定要有，否则要扣分．再如第（2)问中，一定要分别求出BC,AD及PM，再计算几何体的体积．[解题程序]第一步:利用平面几何性质，证明BC∥AD。第二步:由线面平行判定定理，证明BC∥平面PAD.第三步：判定四边形ABCM为正方形，得CM⊥AD.第四步：证明直线PM⊥平面ABCD。第五步：利用面积求边BC,并计算相关量．第六步：计算四棱锥P.ABCD的体积．［跟踪训练]（2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．（导学号55410047)(1)证明：MN∥平面PAB;(2）求四面体N—BCM的体积．(1）证明：由已知得AM＝eq\f（2,3）AD＝2,如图，取BP的中点T,连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝eq\f（1，2）BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，故四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB。（2)解：因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为eq\f(1,2）PA。如图,取BC的中点E，连接AE.