2019高考数学考点突破-函数概念函数其表示学案

函数及其表示【考点梳理】1．函数与映照的观点函数映照两会合设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的会合，AB假如依据某种确立的对应关系f，假如按某一个确立的对应关系f，对应关系使对于会合A中的随意一个数x，使对于会合A中的随意一个元素x，f：A→B在会合B中都有独一确立的数f(x)在会合B中都有独一确立的元素y和它对应与之对应称f：→B为从会合A到会合B的称f：→为从会合A到会合B的名称AAB一个函数一个映照记法函数y＝f(x)，x∈A映照：f：A→B2．函数的相关观点函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的会合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．函数的三因素：定义域、对应关系和值域．相等函数：假如两个函数的定义域同样，而且对应关系完整一致，则这两个函数为相等函数．函数的表示法表示函数的常用方法有分析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不一样子集上，因对应关系不一样而分别用几个不一样的式子来表示，这类函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数．【考点打破】考点一、求函数的定义域【例1】函数f(x)＝1－2x＋1的定义域为( )x＋3A．(－3，0]B．(－3，1]C．(－∞，－3)∪(－3，0]D．(－∞，－3)∪(－3，1][答案]A11－2x≥0，x≤0，[分析]由题意，自变量x应知足x＋3＞0，解得x＞－3，∴－3＜x≤0，所以函数f(x)的定义域为(－3，0].【类题通法】求给定分析式的函数的定义域，其实质就是以函数分析式中所含式子(运算)存心义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实质问题，定义域应使实质问题存心义.【对点训练】函数()＝x＋3＋log2(6－)的定义域是( )gxxA．{x|x>6}B．{x|－3<x<6}C．{x|x>－3}D．{x|－3≤x<6}[答案]D[分析]x＋3≥0，由解得－3≤x<6，故函数的定义域为{x|－3≤x<6}.6－x>0，f（2x）【例2】若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝x－1的定义域为______.[答案][0，1)[分析]因为y＝f(x)的定义域为[0，2]，因此要使g(x)存心义应知足0≤2x≤2，解x－1≠0，得0≤x<1.因此g(x)的定义域是[0，1).【类题通法】求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.【对点训练】已知函数f(2x)的定义域为[－1，1]，则f(x)的定义域为________.[答案]1，22[分析]∵x1x1f(2)的定义域为[－1，1]，∴≤2≤2，即f(x)的定义域为，2.22考点二、求函数的分析式【例3】(1)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________．2已知f2x，则f(x)＝________．(2)x＋1＝lg(3)已知f(x)＋2f1＝x(x≠0)，则f(x)＝________．x[答案](1)12322xx－x＋2(2)lg(x>1)(3)－(x≠0)22x－13x3[分析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，a＝12＝1，2，123a∴a＋b＝－1，即3∴f(x)＝2x－2x＋2.b＝－2，22令x＋1＝t，因为x＞0，∴t＞1且x＝t－1，22∴f(t)＝lgt－1，即f(x)＝lgx－1(x＞1)．111∵f(x)＋2fx＝x，∴fx＋2f(x)＝x.1fx＋2fx＝x，联立方程组11fx＋2fx＝x，2x解得f(x)＝－(x≠0)．【类题通法】求函数分析式的常用方法待定系数法：若已知函数的种类，可用待定系数法；换元法：已知复合函数f(g(x))的分析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；1结构法：已知对于f(x)与fx或f(－x)的表达式，可依据已知条件再结构出此外一个等式，经过解方程组求出f(x)；配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成对于g(x)的表达式，而后以代替g(x)，即得f(x)的表达式．【对点训练】1．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )A．x＋1B．2x－13C．－x＋1D．x＋1或－x－1[答案]A[分析]设f(x)＝kx＋b，则由f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2，∴k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1，则f(x)＝x＋1.应选A.2．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.[答案]x2－1(x≥1)[分析](换元法)设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1，22因此f(t)＝(t－1)＋2(t－1)＝t－1(t≥1)，因此f(x)＝x2－1(x≥1)．(配凑法)f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1，又x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．3．定义在(－1，1)内的函数f(x)知足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________.21[答案]3lg(x＋1)＋3lg(1－x)(－1<x<1)[分析]当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).①将x换成－x，则－x换成x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1).②21由①②消去f(－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1).33考点三、分段函数x，0<x<1，1【例4】(1)设f(x)＝2（x－1），x≥1，若f(a)＝f(a＋1)，则fa＝()A．2B．4C．6D．8x10,1(2)若f(x)＝,x)3则ff9＝(log3x,x0,A．－2B．－3C．9D．－9[答案](1)C(2)C[分析](1)由已知得0<a<1，∴a＋1>1，∵f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2(a＋1－1)，解得a＝1，∴f1＝f(4)＝2(4－1)＝6.4a(2)∵f(x)＝1x，x≤0，∴f1＝log31＝－2，∴ff1＝f(－2)＝1－2＝9.39993log3x，x＞0，应选C.【类题通法】4依据分段函数分析式求函数值.第一确立自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的分析式代入求解.【对点训练】x－1－2，x≤1，2且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()1．已知函数f(x)＝－log2（x＋1），x>1，7531A．－B．－C．－D．－4444[答案]A[分析]当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，即2a－1＝－1，不建立，舍去；当a>1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，即log2(a＋1)＝3，解得a＝7，此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－27＝－4.2．已知函数f(x)＝x，x＞0，则f(f(－4))＝________.2－x，x≤0，[答案]4[分析]∵f(－4)＝24＝16，∴f(f(－4))＝f(16)＝16＝4.【例5】(1)3x－b，x<1，5＝4，则b＝()设函数f(x)＝x若ff62，x≥1.731A．1B．8C．4D．2x＋1，x≤0，1(2)设函数f(x)＝2x，x>0，则知足f(x)＋fx－2>1的x的取值范围是_____.[答案](1)D(2)1－，＋∞4555[分析](1)f6＝3×6－b＝2－b，5<1，即3若－>时，2bb2555则ff6＝f2－b＝32－b－b＝4，7解之得b＝，不合题意舍去.853，则25b1若－b≥1，即b≤2＝4，解得b＝.22211当x≤0时，f(x)＋fx－2＝(x＋1)＋x－2＋1，31原不等式化为2x＋2>1，解得－4<x≤0，511＝x1，当0<x≤时，f(x)＋fx－2＋x－＋1222原不等式化为x12＋x＋>1，该式恒建立，21时，f(x)＋fx－1xx1当x>＝2＋22，22111xx02>1恒建立，又x>时，2＋22>22＋2＝1＋21综上可知，不等式的解集为－4，＋∞.【类题通法】已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应依据每一段的分析式分别求解，但要注意查验所求自变量的值或范围能否切合相应段的自变量的取值范围.【对点训练】1．设函数f(x)＝2x＋a，x<1，3a为()若ff＝2，则实数log2x，x≥1，45115A．－4B．－3C．4D．2[答案]D333333[分析]易得f4＝2×4＋a＝2＋a.当2＋a<1时，ff4＝f2＋a＝3＋3a，所13313以3＋