山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料第六编数列61数列的概念简单表示法理

高三数学（理）一轮复习教学设计第六编数列总第26期§6.1数列的概念及简单表示法基础自测以下对数列的理解有四种：①数列能够当作一个定义在N*（或它的有限子集{1，2，3，，n}）上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的.此中说法正确的选项是（填序号）.答案①③设an=-n2+10n+11，则数列{an}从首项到第项的和最大.答案10或113.(2008·安徽文，15)在数列{an}中,an=4n-5,a1+a2+2+an=an2+bn,n∈N*,此中a、b为常数，则ab=.答案-14.已知数列{an}的通项公式是an=3n1(n为奇数)，则2n2(n为偶数)，a·a=.23答案20（2008·北京理，6）已知数列{an}对随意的p,q∈N*知足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10=.答案-30例题精讲例1写出下边各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，；（2）1，23，7，15，31，；481632（3）-1，3，-1，3，-1，3，；（4）2，-1，234563，-17，26，-37，；7911135）3，33，333，3333，.解（1）各项减去1后为正偶数，因此an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母构成数列21，22，23，24，，因此an=2n1.2n（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含n1，2，3，4，；因子（-1）；各项绝对值的分母构成数列而各项绝对值的分子构成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，因此an=（-1）n·2(1)n1(n为正奇数)..也可写为an=nn3(n为正偶数)n（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，察看各项绝对值构成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13构成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，依据这样的规律第1、2两项可改写为121，-221，因此an=(-1)n+1·n21.212212n1（5）将数列各项改写为9，99，999，9999，，3333分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,,因此an=1(10n-1).3例2已知数列的通项公式为an=n2.n21（1）0.98是否是它的项？（2）判断此数列的增减性.解（1）假定0.98是它的项，则存在正整数n,知足n2=0.98，∴n2=0.98n2+0.98.n21∵n=7时建立，∴0.98是它的项.（2）an+1-an=(n1)2n2=2n1(n1)21n21[(n1)21](n21)

＞0.∴此数列为递加数列.例3、已知数列{an}的前n项和Sn知足an+2SnSn-1=0(n2),a1=1,求an.2解∵当n≥2时，a=S-Sn-1,∴S-Sn-1+2SS=0，即nnnnn-1-1=2，SnSn1∴数列1是公差为2的等差数列.又S1=a1=1，∴1=2，Sn2S11=2+（n-1）·2=2n，Sn∴Sn=1∴当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2·1·1=-1，2n2n2(n1)2n(n1)1(n1)∴an=21(n2)2n(n1)稳固练习依据下边各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）2，4，6，8，10，（2）1，2，9，315356399228，25，2（3）5，55，555，5555，55555，（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，5）1，3，7，15，31，解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an=2n.(2n1)(2n1)（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都一致成分数再察看：1，4，9，16，25，，可得通项公式an=n2.222222n个n个n个(10n-1),（3）联想999=10n-1,则an=555=5(999)=599即an=5(10n-1).9（4）数列的各项都拥有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，，则an=5sinn.25）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，∴an=2n-1，故所求数列的通项公式为an=2n-1.已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}知足f（log2an）=-2n.1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}是递减数列.1）解∵f（x）=2x-2-x，∴f（log2an）log2anlog2ann1=2=-2n.-2=-2n，即a-an∴an2+2n·an-1=0.∴an=2n4n24，又an＞0，∴2an=n21-n.（2）证明∵an＞0，且an=n21-n,∴an1=(n1)21(n1)=n21n＜1.ann21n(n1)21(n1)an+1＜an.即{an}为递减数列.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2Sn=an+1，求an.解∵2Snn+1,∴Sn=1(a=a4

2n+2an+1),∴Sn-1=1(a2n1+2an-1+1),4∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=1［（a2n-a2n1）+2（an-an-1）］，4整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，an＞0，∴an-an-1=2，当n=1时，a1=1,∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.∴an=2n-1(n∈N*).回首总结知识方法思想课后练习一、填空题数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第100项是.答案14n1*都有2.数列{a}中，a=1,关于全部的n≥2，n∈Na1·a2·a3··an=n2，则a3+a5=.答案61163.数列-1,8，-15，24，的一个通项公式579是.答案an=(-1)nn(n2)2n1以下图是用相同规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖块.（用含n的代数式表示）答案4n+8已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项知足5＜ak＜8，则k=.答案86.若数列{an}的通项公式an=1，记f（n）(n1)2=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，试经过计算f(1),f(2),f(3)的值，推断出f(n)=(用含n的代数式表示）.答案n2n12an,0an1,7.（2008·沈阳模拟）数列{an}知足an+1=12，2an1,an1,2a1=3，则数列的第2008项为.5答案458.已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列{an}的一个通项公式an=.答案n二、解答题9.已知数列{an}的前n项和为Sn，知足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解：Sn知足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1,∴Sn=2n+1-1.1nnn-1=(2n+1nn(n≥2),∴a=3,a=S-S-1)-(2-1)=2nn3(n1),∴{a}的通项公式为a=2n(n2).10.已知数列{an}中，a1=1,前n项和为Sn，对随意的n≥2,3Sn-4,an,2-3Sn1总成等差数列.2（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.解（1）当n≥2时，3Sn-4,an,2-3Sn1成等差数列，2∴2an=3Sn-4+2-3Sn-1，∴an=3Sn-4（n≥2）.2由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,∴a2=1,a3=311a3-4,∴22a3=-1,a4=3111a44=1.4248a2=1，a3=-1，a4=1.248（2）∵当n≥2时，an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,∴3Snan4,3Sn1an14可得:3an+1=an+1-an,∴an1=-1，an2∴a2，a3，，an成等比数列，∴n-211n21n11(n1)n1·=-，∴an=.an=a2·q=221(n222)11.在数列{an}中，a1=1，an=1-1(n≥2,n∈N*)，数列2an1{an}的前n项和为Sn.1）求证：an+3=an;(2）求a2008.（1）证明an+3=1-1=1-11=1-1=11an21111111an11ananan=1-1=1-1=1-1=1-(1-an)=an.∴an1an1an1an1an1an1an+3=an.（2）解由（1）知数列{an}的周期T=3，a1=1，a2=-1，2a3=2.又∵a2008=a3×669+1=a1=1.∴a2008=1.22已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时知足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)建立.设数列{an}的前n项和Sn=f（n）.1）求函数f(x)的表达式；（2）求数列{an}的通项公式.解（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴=a2-4a=0a=0或a=4，当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2