2021-2022学年天津市高二（上）学业能力调研数学试卷（12月份）（附答案详解）

2021-2022学年天津市静海一中高二（上）学业能力调研

数学试卷（12月份）

1.在等差数列｛%｝中，若=5,则S13的值等于（）

A.8B.10C.13D.26

2.已知等差数列｛即｝的前"项和为右，若£13=2,且S4=S7,则下列说法中正确的是

（）

A.｛即｝为递增数列

B.当且仅当71=5时，Sn有最大值

C.不等式%>0的解集为｛ne/V*|n<10）

D.不等式斯>0的解集为无限集

3.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把

100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的3是较小的

两份之和，问最小一份为（）

A.-B.-C.-

336

4.如图，&、尸2是双曲线C：圣一5=1（。>0，b>0）的左、

右焦点，过尸2的直线与双曲线C交于A、8两点.若A是BF?

中点且BF1LBF2,则该双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±2A/3X

B.y=±2夜％

C.y=±V3x

D.y=±V2x

5.已知Fi，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以尸2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并

且交椭圆于点M、N,若过a的直线是圆尸2的切线，则椭圆的离心率为

6.已知圆。的圆心与点尸（一2,1）关于直线y=x+1对称.直线3%+4y-11=0与圆

C相交于A,8两点，且|4B|=6,则圆C的方程为.

2222

7.若双曲线C:左—底=l（a>0,b>0）与双曲线D《一卷=1有相同的渐近线，且C

经过点（2,6）,则C的实轴长为.

8.若等差数列与等差数列也｝的前〃项和分别为%和加且金=”，则

insn-i

血=

b8-----------

9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，尸为焦点，M为准线与），轴的交点，A为抛物

线上一点，且14Ml=g，|4尸|=3,则此抛物线的标准方程为.

10.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线/交抛物线于.A

点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且=3,则j|彳

此抛物线的方程为_____.|玄.

代

11.已知棱长为1的正方体4BCO-EFGH,若点尸在正方体内部且满足费=：四+

1AD+|而，贝IJ点P至ljAB的距离为,正方体4BC0-EFGH,Q是平面ABCD

内一动点，若EQ与EC所成角为会则动点。的轨迹方程.

12.已知关于x,y的方程(4-m)x2+(16-m')y2=m2—20m+64表示双曲线，求焦

点坐标.

13.已知A(-m,0),>0),若圆C-x2+y2+6x-8y+21=0上存在点P,

2

使得|PA|2+\PB\=4m2,则m的范围______.

14.(1)在数列｛即｝中，的=2,y/an+1=y/a^+V2,求数列｛an｝的通项公式；

(2)若数列｛即｝是正项数列，且++",+V«n=n2+3n(nGN*),求数列｛即｝

的通项公式；

(3)在数列｛即｝中，的=8,a4=2,且满足斯+2-2%+1+即=0(71€7*),求数

列｛0｝的通项公式；设Sn=|ax|+\a2\+-"+|an|,求治.

15.在如图所示的多面体中，EAJ■平面ABC,DB1平面ABC,AC1BC,且AC=BC=

BD=2AE=2,M是48的中点.

(1)求证：CMJ.EM；

(2)求平面EMC与平面BC。所夹角的余弦值；

(3)在棱QC上是否存在一点N,使得直线与平面EMC所成的角是60。,若存在，

求|CN|的长；若不存在，请说明理由.

16.已知在非零数列｛与｝中，%=1,an-即-i=>2,nEN*),数列｛%｝

的前〃项和%=3n2+8Tl.

(1)证明：数列｛2｝为等差数列；

an

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(2)求数列｛%｝的通项公式；

(3)若数列｛cn｝满足Cn=£+bn,求数列&｝的前n项和

17.已知椭圆C：冬+，=l(a>b>0),&(—1,0),f2(1，0)分别为椭圆C的左，右焦

点，M为C上任意一点,SAM&FZ的最大值为L

(1)求椭圆C的方程；

(2)不过点尸2的直线/：y=kr+m(znH0)交椭圆C于A,B两点.

(0若女2="且Sf08=4，求一的值;

3)若X轴上任意一点到直线4尸2与3尸2的距离相等，求证：直线/过定点，并求出

该定点的坐标.

18.已知椭圆C：^+2=l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为右

(1)求椭圆C的程；

(2)设椭圆C的左焦点为凡右顶点为G,过点G的直线与y轴正半轴交于点S,与

椭圆交于点H,且HF1x轴，过点S的另一直线与椭圆交于M,N两点，若SASMG=

6s4SHN，求直线MN的方程•

(3)圆锥曲线问题的关键一步是条件的翻译，所以请同学们不用解答，翻译下面的

条件，转化为数学表达式：

①若直线接一3=1(。>0/>0)与双曲线交于4、B两点，与其渐近线交于C、

两点，求证：AC=BD.

②椭圆的亍+y2=I左顶点为。，上顶点为B,点A的坐标为(1,0),过点。的直线

L与椭圆在第一象限交于点P,与直线48交于点。设L的斜率为K,若黑=

3夜sin乙4DQ,求直线K的值.

③椭圆的9+y2=1左顶点为4过点A作直线与椭圆C交于另一点B.若直线/交y

轴于点C,且OC=BC,求直线/的斜率.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因为等差数列｛%J,a5+a6+a7+a8+a9=5a7=5,

所以。7=1，

则S13=I3(a；%3)=13a7=13.

故选：C.

结合等差数列的性质先求出的，然后结合等差数列的求和公式即可求解.

本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：设等差数列｛%i｝的公差为d,由S4=S7，得。5+%+。7=0，即06=0，

_10

根据If蓝得［煞含=：,解得人=,

(。6=。(Qi+5d=0d=--

3

2

所以a”=弓一|(n_1)=一|n+4，Sn=+4-|n)=-^n+日门，

由d<0可得｛an｝是递减数列，选项A错误；

令<2；1=—|n+4>0,解得n<6,由于neN+，所以0WnW5,

不等式品>0的解集为｛n€N+|nS5｝,是有限集，选项。错误；

又=0，则当且仅当n=5或n=6时，有最大值，选项B错误；

令S”=-］兀2+■九>0，得律2-lln<0,由于n6N+，所以n6N+，且nS10,选

项C正确.

故选：C.

设等差数列回｝的公差为d,由S4=S7,得+。6+。7=0,即。6=0,根据出二:可

<_10

求得［132,所以册=1)=_"+4,Sn=?需+4-汕=_12

I--3

从而可对选项逐一判断.

本题主要考查数列的单调性，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果.

设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,(d>0)；则由五个人的

面包和为100,得a的值；由较大的三份之和的;是较小的两份之和，得d的值；从而得

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最小的1份a—2d的值.

【解答】

解：设五个人所分得的面包为Q—2d,Q—d,a,Q+d,a+2d,(其中d>0)；

则，(Q-2d)+(a—d)+a+(Q+d)+(a+2d)=5a=100,:.a=20；

由+Q+d+a+2d)=a—2d+a—d,得3a+3d=7(2a—3d)；:.24d=11a,

,55

・•・d=Z；

所以，最小的1份为Q—2d=20—警=：,

故选：4

4.【答案】A

【解析】解：设|4尸2|=3则=

根据双曲线的定义，得依居|一MF2I=|BFz|-|Ba|=2a,

即|A&|=2a+3|BF/=2t-2a,

因为△68尸2是以B为直角的Rt△,

所以正尸2|2=出尸1|2+旧尸2|2,

即4c2=(2t-2a)2+"2,…①

△ABF1中，|4尸1『=网2+旧川2,

即(2a+t)2=t?+(2t—2a齐…②

由②得t=3a,所以c=VT5a,

所以b=yJc2—a2=2y/3a,

所以色=2g,

a

所以双曲线的渐近线方程为y=±2V3x.

故选：A.

设|4尸2|=3得=根据双曲线的定义求出|4&|、|B&|,利用直角三角形的勾股

定理和双曲线的定义列方程求出八a和c、b,即可求出双曲线的渐近线方程.

本题考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解

三角形等知识，是中档题.

5.【答案】V3-1

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

由题意可得：利用勾股定理可

MF1^MF2,\MF2\=C,\MFr\=2a-c,\FXF2\=2c,

得c2+(2a-c)2=4c2,即可得出.

【解答】

解：如图所示，

由题意可得：MF[±MF?,

\MF2\=c,\MFt\=2a-c,|居尸2I=2c,

:.c2+(2a—c)2=4c2,

化为c?+2cLe—2a2—0,即/+2e—2=0,

(0,1).

解得e=V3—1.

故答案为：V3—1.

6.【答案】6+8+1)2=18

【解析】解：设圆心坐标C(a,b),根据圆心与尸关于直线y=^+l对称得到直线CP与

y=%+1垂直，

而、=x+1的斜率为1,所以直线CP的斜率为一1即上匕=一1化简得a+b+1=0①，

-2-a

再根据CP的中点在直线y=x+1上得到手=等+1化简得a—b—1=0②

联立①②得到a=0,b=-1,所以圆心的坐标为(0,-1)；圆心C到直线A8的距离d=

围=3,加8|=3

所以根据勾股定理得到半径产=32+中些=18,

所以圆的方程为/+(y+1)2=18.

故答案为：x2+(y+I)2=18

要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为(a,b),根据圆心与尸关于直线y=x+1对

称得到直线PC垂直与y=%+1且尸C的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联

立求出“和6即可；再求半径，根据垂径定理得到段48|、圆心到直线AB的距离及圆的

半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径.写出圆的方程即可.

此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到

直线的距离公式解决数学问题.会根据圆心和半径写出圆的方程.

7.【答案】2同

【解析】解：由已知可得双曲线C的渐近线方程为：y=土：，

双曲线。的渐近线方程为：y=±yx,

所以?=又点(2,6)在双曲线C上,

则当_A=1＞解得a=V30，

a2b2

所以双曲线C的实轴长为2a=2V30,

故答案为：2回.

由已知分别求出双曲线C,。的渐近线方程，进而可以求出5人的关系式，再把已知

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点代入双曲线C,即可求出a,b的值，从而可以求解.

本题考查了双曲线的性质以及渐近线方程，考查了学生的运算能力，属于基础题.

8.【答案】

44

is(ai+ai5)

【解析】解：由已知可得言=翁=甘豆=德=篝松=翁，

2

故答案为：

44

利用公式詈=答二，即可求解.

bnr2n-l

本题考查了等差数列的项与和的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题.

9.【答案】x2=4y或/=8y

【解析】解：由抛物线的顶点在原点，开口向上，厂为焦点，〃为准线与y轴的交点,

故可设抛物线的标准方程/=2py(p>0),

设4(%o，yo),由题意可得，M(0,—,

v\AF\=3,

•,•%+々=3，

v\AM\=g,

二年+仇+犷=17,

XQ=8,

•••4为抛物线上一点，

•1•XQ=2py0,即8=2P(3-柒，解得p=2或p=4,

二所求抛物线的标准方程为M=4y或/=8y.

故答案为：x2=4y或/=8y.

由已知条件，设出抛物线方程，求出M的坐标，再结合抛物线性质和两点之间距离公

式，求解p,即可得到抛物线方程.

本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线方程的求法，属于中档题.

10.【答案】y2=3x.

【解析】解：设4(%1，y])，8。2,丫2)，作4何、BN垂直准线于点M、N,

则|BN|=\BF\,

又|BC|=2|B尸I，得|BC|=2|BN|,

•••乙NCB=30°,

有|4C|=2\AM\=6,

设|BF|=x,则2x+x+3=6=久=1,

而均+々=3,x2+^=l,由直线AB：y=k(x—5,代入抛物线的方程可得，

k2x2—(pfc2+2p)x+2P2=0,

即有打刀2=7>

・•.(3_g(1_令=?=口=|,

得y2=3x.

故答案为：y2=3x.

根据过抛物线y2=2px(p>0)的焦点下的直线/交抛物线于点A、B,作AM、BN垂直

准线于点M、N,根据|BC|=2|BF|,且|4F|=3,和抛物线的定义，可得乙NCB=30°,

设4(%1，%),8(如y2)，|BF|=X,而不+^=3,X2+^=1,且X1X2=Y>(3-飘1-々)=

9np=|,可求得〃的值，即求得抛物线的方程.

此题是个中档题.考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程.体现了数形

结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算.

11.【答案】-x2+y2+1-4xy-4x-4y=0

6

【解析】解：在正方体ABCD-EFGH中，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),。(0,1,0),£(0,0,1).

而=久1,0,0)+*0,1,0)+|(0,0,1)=弱,|),通=(1,0,0),

于是得存在刀上的投影向量长度为|鬻|=：,

|/1£)|4

则点P到AB的距离为4=而|2_|窑口=U+l+i-^=

yJ111\AB\1y1649166

所以点尸到AB的距离为三

因动点。在平面ABC。内，设Q(x,y,0),则的=(x,y,—l),而正

又EQ与EC所成角为:，

因止匕，丽•正=同||正|cosj即有x+y+1=+丫2+1一百*乎,整理得/+

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y2+1—4xy—4%—4y=0,

即动点Q的轨迹方程是/+y2+i_4孙-4%-4y=0.

故答案为：%24-y24-1—4xy—4x-4y=0.

6

根据给定的正方体建立空间直角坐标系，利用点到直线距离公式计算点P到AB的距离;

借助空间向量数量运算求出轨迹方程.

本题主要考查动点的轨迹方程，点到直线的距离的求法，考查运算求解能力，属于中档

题.

12.【答案】(±26,0)

【解析】解：关于x，y的方程(4-m)/+(16-m)y2=/-20m+64表示双曲线,

所以(4—m)(16—m)<0,解得4<m<16.c=J|4-m—16+-V12-2V5,

所以焦点坐标(±2百,0).

故答案为：(±2V3,0).

利用二次曲线表示双曲线，列出不等式，求解即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题.

13.【答案】[3,7]

【解析】解：圆C：x2+y2+6x-8y+21=0,BP(x+3)2+(y-4)2=2；

其圆心为(一3,4),半径r=2,

设AB的中点为M,

又由点A(—m,0),F(m,0),\AB\=2\m\,

\PA\2+\PB\2=4m2=\AB\2,

P的轨迹是以48为直径的圆O：x2+y2=m2,

若圆C：/+y2+6x—8y+21=0上存在一点P,使得|PA『+|PB|2=4机2,则圆C

与圆M有公共点，

又由|OC|=5/32+42=5,

即有|刑一2<5W|m|+2,

解得：3W|m|W7,又m>0,•••3

机的范围[3,7].

故答案为：[3,7].

由已知得圆C的圆心坐标以及半径，由伊川2+仍引2=4机2=|48|2,可得P的轨迹以

AB为直径的圆M,原问题可以转化为圆C与圆。有公共点，由两圆圆心距离与半径的

关系列式求解.

本题考查直线与圆的位置关系，将问题转化为圆与圆的位置关系是关键，考查计算能力，

是中档题.

14.【答案】解：(1)vy/an+1=4-V2,

J々n+i-Ja?i=*2,又•J&=

・・・｛辰｝是以首项为金，公差为近的等差数列，

・••yf^n=V2+(n—1)xV2=V2n

2

:.an=2n；

(2)I+V^2■*---^y[^n=兀？+3n,

・.・+…+4即-1=(九一1)2+3。-1),(nN2),两式相减可得:

y[a^=2m+2,(n>2),

又九=1时，y/a^=4也满足上式，

•••y/~^n=2九+2,(nEN*),

2

・•・an=4(n+l)；

(3).・.an+2-2azi+i+Qn=0,(n6N*),

aaaf

•••Q?I+2—n+l=n+l~n(n£N*),

・•・数列为等差数列，

又公差d=室！=1=—2,且%=8,

4—13

***ctn=8+(ri-1)x(—2)—10—2九,

令即=10—2n>0,-1<n<5,

又Sn=%|+㈤+…+1*，

2

二①当n<5时，Sn=ar+a24----Fan="<。广孙”=9n-n,

②当n>5时，Sn=a1+a2+…+a$—(a6+a7+,•,+an)

=2(电+a2+…+a5)—(%+a2+•••+an)

=2x20—n(9—n)=n2—9n+40.

<_(9n_n2,(n<5)

,n-ln2-9n+40,(n>5),

【解析】(1)根据等差数列的定义与通项公式即可求解；

(2)根据前〃项和作差即可求解；

(3)根据等差数列的定义及通项公式，可求出数列｛an｝的通项，再分析等差数列的通项

的符号，接着分类讨论求其，最后综合即可得解.

本题考查等差数列的定义与通项公式，根据前”

项和作差求通项，分类讨论思想，属中档题.

15.【答案】(1)证明：因为AC=BC,M是AB

的中点，

则CM_L4B,

第10页，共15JB

5LEAl¥ffiABC,CMU平面ABC,

贝”CM1EA,

因为ABnEZ=A,AB,EAu平面AEM,

所以CM_L平面AEM,

因为EMu平面AEM,

故CM1EM-.

(2)解：以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则M(0,0,0),C(0,V2,0),F(V2,0,0),D(V2,0,2),E(一夜,0,1),

所以旗=(-V2,0,l),MC=(0,V2,0),前=(0,0,2),BC=(-V2,V2,0),

设平面EMC的法向量为记=(x,y,z),

m-ME=-V2x+z=0A.n..,万

则_--r--，令％=1,贝!Jz=V2,

m-MC=V2y=0

故访=(1,0,e)，

设平面BOC的法向量为k=(a,b,c),

则2-^=-V2a+V2b=0,令a=L则。=1，

故元=(1,1,0),

所以|cos(心沆>1=^=康=.'

故平面EMC与平面BCD所夹角的余弦值为萼；

(3)解：假设在棱。C上存在一点N,使得直线MN与平面EMC所成的角是60。,

设N(x,y,z)且丽=kDC(0<fc<1),

则(x—V2,y,z—2)=/c(—V2,V2,—2).

解得N(应-42k,y[2k,2-2/c),

所以丽=(近一鱼/c,鱼肥2-2k),

因为直线MN与平面EMC所成的角是60。，

贝lcos(而，而>|=_产丝+心(：2k)|=in60o=V3

113j2(l-k)2+2k2+4(l-k)22

解得k=I，

所以在棱。C上存在一点M使得直线脑V与平面EMC所成的角是60°,点N为棱。C

的中点，K|C/V|=||CD|=V2.

【解析】(1)利用线面垂直的性质可得CM1EA,又CM1AB,即可证明CM_L平面AEM,

从而证明结论；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面EMC与平面BCD的法向量，由向量的夹角公式求解即可；

(3)设N(x,y,z)且而=卜尻(0〈卜〈1),求出点N的坐标，得到标的坐标，利用线

面角的公式，求出k的值，即可得到答案.

本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理的应用，二面

角的求解以及线面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直

角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

16.【答案】(1)证明：在非零数列｛斯｝中，%=l,cin-an_j=>2,neAf*),

则二——上=_J,可得上_二一=Hn22),

aa

n-in2anQn-l2

又％=1,A—=1,

的

可得数列｛£｝是以1为首项，以｝为公差的等差数列；

(2)解：•.,数列｛b九｝的前n项和S九=3n2+8n,:.瓦=11,

22

当九>2时，bn=Sn-Sn_i=3n+8九一3(n—l)—8(n-1)=6n+5.

bx=11适合上式，

:.bn=6n+5；

(3)解：由⑴可知，"=R+(n-l)d=l+(n—l)x：等，

又由(2)知，=6n+5,

2

・•・%=丁+bn=几+1+6九+5=7九+6,

可知数列｛%｝是等差数列，则7；=/墨=n(137n+6)=生产.

a

【解析】(1)把61n—n-l=—九一1两边同时除以。九@九一i，可得^----1一=(H>2),

2°n-i2

即可证明数列｛2｝是以1为首项，以；为公差的等差数列；

(2)由数列｛b｝的前〃项和Sn=3九2+8n,得瓦=11,当九22时，由小=S九-Sn.i求

数列｛九｝的通项公式；

(3)解由(1)可求三,由(2)知/=6n+5,代入cn=三+b“,整理后可知数列｛%｝是等

anan

差数列，再由等差数列的求和公式求数列｛%｝的前〃项和

本题考查等差数列的通项公式与前〃项和，考查运算求解能力，是中档题.

C=1

92ci=1,可得b=l,a=V2,

｛a—y/b2+c2

所以椭圆的方程为：f+y2=1；

(2)0)设4(孙％),B(x2ly2),

联立整理可得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,

(,xz+2y'=2''

4=16k2m2-4(1+2/c2)(2m2-2)>0,

可得血2<1+2好，当

可得m2<2,

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-4km27n2-2

=Xi%2=

%14-X2l+2k21Nl+2k2

22

所以|4B|=V1+fc-J(X1+。)2—4J“X2=V1+/C-J濡霁-4・=

2V2V2k2+l-7n2

2

Vl+k•1+2比2

。到直线/的距离d=舄，

Vl+fcz

2222

nr；HI1IniJ1/，I7.22yf2\/2k+l-m|m|万|m|V2k+l-m万

所以SrA4°B=3|4B|-d=5-VFFP.7^p=V2——=V2-

|?n|-V2-?n2_V2

=,

22

可得•V2—m2=1,整理可得—2m24-1=0,解得m?=1,

可得m=±1,

所以机的值为±1；

①)证明：由若x轴上任意一点到直线』尸2与8尸2的距离相等，可得心24+^^=°，

即人+*_=0,

%1-1初一1

即为(%2T)+%(%1-1)=0，

由(i)可得(k%i+m)(x2-1)+(kx2+rn)(x1-1)=0,

整理可得：2kxix?+(m—k)(Xi+x2)-2m=0,

即2k.卷+S-k)•尚一2nl=0,

可得m=-2k,

所以直线/的方程为y=kx-2k=k(x-2),

可证得直线/恒过定点(2,0).

【解析】(1)由焦点坐标及△“&尸2面积的最大值和a,b,c之间的关系，可得“，。的

值，进而求出椭圆的方程；

(2)(i)联立直线/与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，求出弦长|AB|及。到直线/

的距离d的中，代入三角形的面积公式，再由上的值，可得粗的值；

(ii)由题意可得直线4刍，BF2的斜率恒为相反数，求出斜率之和，将两根之和及两根之

积代入可得根与人的关系，代入直线/的方程，可证得直线恒过定点.

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的证法，三角形面积公

式的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为椭圆。的长轴长为％离心率为点

所以2a=4,-=

a2

所以Q=2,c=1,

b2=a2—c2=3,

所以椭圆的方程为1+!=1.

43

(2)由(1)知，F(—1,0),G(2,0),

X=