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第五章留数一.孤立奇点的分类(一类特殊的奇点)二.留数－－－(孤立奇点的数字特征)三.利用留数定理计算定积分－－（留数的应用）留数定理－－（计算复变函数积分的基本方法）预备知识5.1解析函数的孤立奇点1-35.1.1孤立奇点的定义及分类定义：存在我们根据罗朗展式中负幂项的多少，对孤立奇点进行分类：这时,

f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<|z-z0|<d,则在圆域|z-z0|<d

内就有

f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,

从而函数

f(z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.孤立奇点。

如果在罗朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为

(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数

f(z)的m阶极点.上式也可写成

其中

g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在

|z-z0|<d内是解析的函数,且

g(z0)0.

反过来,当任何一个函数

f(z)能表示为(*)的形式,且g(z)在

解析，g(z0)0时,则z0是

f(z)的m阶极点.如果z0为f(z)的极点,由(*)式,就有解：3.本性奇点

如果在罗朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为

f(z)的本性奇点.有无穷多负幂项。解:奇点为或综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.定理5.1例4判定下列函数的孤立奇点的类型。（洛比塔法则）5.1.2零点与极点的关系定义5.1：例4：多项式函数是最简单的解析函数。问题：零点的阶数？解：零点与极点间的关系？定理5.3这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.例6解：（1）定义（3）根据零点与极点间的关系，定理5.3，定理5.2的推论(4)例7的结论（定义）解：奇点为解:奇点距离原点无限远的点，统称为无穷远点由于函数在无穷远点没有定义，所以无穷远点总是一个奇点。我们关心的是，在怎样的情况下，构成孤立奇点？定义：定义：孤立奇点。无穷远点的去心邻域定义5.2例:判定下列函数在处奇点的类型或因为含

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