高等代数教案第四章线性方程组

放心做自己想做的放心做自己想做的放心做自己想做的放心做自己想做的---（10…0c…cd）1r+11n100…1c…cdrr+1rnr00…00…0dr+1、00…000d,A作同样的初等变换可化为B=，从而方程组（1）与B所对应my+cy+…+cy11r+1r+1'y+c21nny++cy=d2r+1r+12nn2+cy++cy=drr+1r+1rnnr0=dr+1（2）在某种意义上同解（此y,y，…，y是x,x，…,x12n120=dm一个重新排序）.下面讨论（2）的解的情况：情形1：当r<m且d，…,d不全为零时，因有矛盾式（2）无解，故（1）无解.r+1m情形2：当r=m或r<m且d=…=d=0时，（2）直观上无矛盾式，且与（3）r+1my+cy++cy=d11r+1r+1Inn1y+cy++cy=d22r+1r+12nn2同解.y+cy++cy=drrr+1r+1rnnry=d11y=d当r=n时，（3）即为122有唯一解;y=dnn当r=<n时，（3）即为y=d-cy111r+1r+1y=d-cy222r+1r+1…-cy1nnW，于是任给y，…，y一组值k，…,k，可得（3）的一个解:r+1nr+1ny=d一cycyrrrr+1r+1rnny=dck—…—ck111r+1r+11nny=dck—…—ck222r+1r+12nn1y=d—ck—…—ck,这也是（1）rrrr+1r+1rnny=kr+1r+1y=knn的解，由k，…,k的任意性（1）有无穷多解.r+1nx+2x+3x+x=512341解线性方程组12x+4x—x=—31解线性方程组1124—x—2x+5x+2x=81234x+2x—9x—5x=—211234r1224301—15、—3A=—1—2528<12—9—5一21丿解：对增广矩阵作行初等变换：r1201_213、_21300120000<00000丿x+2x1——x=12124113x+—x=—3246所原方程组与方程组同解，故原方程组的一般解为31-———2x+x2224131x=—x6244.2矩阵的秩线性方程组可解判别法一教学思考1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上，引入了矩阵的秩的概念，以此来表述有解判定定理，在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数，其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念，学生易出问题.定义的表述不易理解，应指出秩是一个数（非负整数）r,其含义是至少有一个r阶非零子式，所有大于r阶（若有时）子式全为0•重要的是“秩”的性质——初等变换下不变，提供了求秩的另一方法——初等变换法.3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳.二内容要求1．内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理2．要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理二教学过程1．矩阵的秩（1）定义

1）在矩阵A中，任取k行k列（k<s,t）位于这些行列交点处的元素构成的k阶行列式叫作矩sxt阵A的一个k阶子式.2）矩阵A中，不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵A的秩；若A没有不等于零的子式，认为其秩sxt为零.A的秩记为秩（A）或r（A）.2．矩阵的秩的初等变换不变性TH4.2.1矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.3．一般线性方程组解的理论ax111ax<211ax对线性方程组：+axm2+ax+.+ax1221nn+axax111ax<211ax对线性方程组：+axm2+ax+.+ax1221nn+ax+.+ax2222nn1)由上节知，对（1）的系数矩阵A=+.+ax=bmnnmaaa11121naa.a21222n・・aaam1m2mn.°c1r+1.°c2r+1...•.1c・rr+1.°°..(…°.°(°°2、丿°2可经过行初等变换和列换法变换化为c、1nc2ncrn°...0•0丿1°c1r+1c1ncrr+1°=dmcrn°则对其增广矩阵A作同样的初等变换可化为B=相应的方程组同解；由上节讨论知：当r=m或r有解；当r<m且d，…，d不全为零时，即r（A）r+1m_I°°….°°°―d/且在（1）有解时：当r=n，即r（A）=r（A）=n时有唯一解；当r<n，即r（A）=r（A）mn时有无穷解.°<m且d・・・_・r+1llor(A时.则（1）与B=°时，即r(A)=r(A)时(1)r(A)=r(A)，,（1°无解.总之：（1）有解O此即TH4.2.2-3线性方程组(1)有解Or(A)=r(A)(=r)；当r=n，即r(A)=r(A)=n时有唯一解;当r<n，即r(A)=r(A)<n时有无穷解.例1判断方程组有无解？有解时，求一般解.x+x+x+x+x=1TOC\o"1-5"\h\z123453x+2x+x+x—3x=—3<12345x+2x+2x+6x=623455x+4x+3x+3x—x=—112345例2对九进行讨论，何时方程组有解,无解；有解时求一般解.

\o"CurrentDocument"\o"CurrentDocument"九X+X+x=1123<X+九X+X二九\o"CurrentDocument"123X+X+九X二九21234.3线性方程组的公式解教学思考1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解，结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择R个适当方程而得，可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）.内容要求1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论三教学过程1．线性方程组的公式解Iax+AxIax+Ax+…-+AX=b1111221nn1AX+Ax+・•+Ax=b12112222nn2AX+Ax+・+Ax=bm11m22mnn本节讨论当方程组m1）有解时,用方程组的系数和常数项把解表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.x+2x一x=2,（G）TOC\o"1-5"\h\z12312）为此看例，考察＜2x一3x+x—3,（G）2）12324x+x一x=7,（G）1233显然G,G,G间有关系G=2G+G，此时称G是G,G的结果（即可用G,G线性表示）.则方程组12331231212二2(G)1二3(G)2同解.Ix+2x一x⑵与12X一二2(G)1二3(G)2同解.123同样地，把（1）中的m个方程依次用G,G,,G表示,若在这m个方程中，某个方程G是其它若12mi干个方程的结果，则可把（1）中的G舍去,从而达到化简的目的•即现在又得到化简（1）的方法：不考i虑（1）中那些是其它若干个方程的结果，而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止，或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法，若（1）的R（A）=R,则可把（1）归结为解一个含有厂个方程的线性方程组.同样TH4.3・1设方程组（1）有解,R（A）二R（A）二R&0）,则可以在（1）中的M个方程中选取厂个方程,使得剩下的M-厂个方程是这厂个方程的结果.因而解（1）归结为解由这厂个方程组成的方程组.下看如何解方程组：

ax+ax+•…+ax+ax+•…+ax1111221rr1r+1r+11nn此时原方程组与<ax+ax+ax++axr11r22rrr+ax++axrr+1r+1rnn当r=n时有唯一解,且上述方程组的系数行列式不等于0,由克拉姆法则可得其解（公式解）.当r<n时有无穷多解,取x,x，…,x为自由未知量,将这些项移至等号右端得:r+1r+2nax+ax+…+ax—b—ax—-…—ax1111221rr11r+1r+11nn<>ax+ax+■-+ax—b—ax—•…一axr11r22rrrrrr+1r+1rnn视x,x，…,x为任意数，由克拉姆法则可得r+1r+2nDDx—1,•…,x—r；1DrDa11…b—ax—…—ax•…a1r11r+1r+11nn（其中D—)Ja…b—ax—…—ax•…ar1rrr+1r+1rnnrr其展开为x,x，…,x的表达式，且为用原方程组的系数及常数项表示的，因而是公式表示的一般解的r+1r+