2021-2022学年广东省揭阳市高二下学期期末考试数学试卷（含详解）

揭阳市2021-2022学年度高中二年级教学质量测试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的市县/区、学校、班级、姓名、考场号，座位号和考生号填写

在答题卡上.将条形码横贴在每张答题卡右上角”条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点

涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合A={x[l<x<4},集合5={%|%2-2工-3。0卜则（)

A.[-3,4）B.（1,3]C.（-1,4）D.[-1,4)

2.复数上-的共规复数是（）

1-2

A.-2-iB.-2+iC.一半一gi105.

D.----+—1

3333

3.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似

看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的容积约为（）

A.100cm3B.200cm3C.600cm3D.800cm3

4.下列函数中，周期为1的奇函数是（）

A.y=sin7LTB.y=sin2乃x+一

71

C.y=sm7rxcos7rxD.y=tan—x

2

±4x,则该双曲线的离心率为（）

5.设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线方程为"

2

A.2B.6273

D

2T

/口/…n1rn.isir^e+sin。/

6.已知tane=7，则——--------------=（

2cos9+sin6cos-e

1

C6

A.1B.26_

7.函数/（x）的图象与其在点P处的切线如图所示,则叫⑴一尸（1）等于（）

A-2B.OC.2D.4

8.已知。=Bln〃,b=JHln3,c=J351n2，则。，b,c的大小关系是（）

A.c<a<bB.h<c<aC.b<a<cD.c<b<a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法，讲宪法”宪法小卫士活动的完成情

况，对本校2000名学生的得分情况进行了统计，按照［50,60）、［60,70）、…、［90,100］分成5组，并

绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（）

A.图中的x值为0.2

B.由直方图中数据，可估计75%分位数是85

C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为75

D.80分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有800人获得该称号

向量£，b<"的始点和终点均为小正方形的顶点，则（）

B.aJ-bC.ac=bcD.忸斗忖

11.已知P是圆0:/+y2=4上的动点，直线（：xcose+ysin6=4与4:xsine-ycos6=l交于点

Q，则（）

A./,1/2

B.直线4与圆。相切

C,直线6与圆。截得弦长为2月

D.|PQ卜氏最大值为，万+2

12.在长方体48。。一48£。中，AB=4.BC=BB]=2,E，/分别为棱AB，4。的中点，则下

列说法中正确的有（）

A.若P是棱GA上一点，且。尸=1,则E，C,P,产四点共面

B.平面CEF截该长方体所得的截面为五边形

C.异面直线。耳，CE所成的角为90。

D.若。是棱G。上一点，点P到平面CE射距离最大值为凶I

17

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数y=log2X-3的零点是__.

14.已知直线/过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，/与C交于4,B两点，|A3|=6,P为C的准

线上一点，则△ABP的面积为.

15.函数〃x）=lnx—k-2|的最大值为—.

16.如图，点尸是半径为2的圆。上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABC。（顶点4与P重

合）沿圆周逆时针滚动.若从点4离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为

正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点尸的位置时，正方形滚动了轮，此时点A走过的路径

的长度为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①%=5,%+%=22；②4=1,55=25；③S,,="2,这三个条件中任选一个，补充在下面问

题中，然后解答补充完整的题目.

已知Sn为等差数列｛4｝的前〃项和，若.

（1）求数列｛。,,｝的通项公式；

（2）若G,=」—，求数列｛c,｝的前〃项和

anan+\

IJiJi\

18.已知函数/（幻=25皿（^+。）［啰>0,一5<8<5）的部分图象如图所示.

（2）在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若/（4）=百，b=2,且的

面积为空，求a.

2

19.学校组织数学解题能力大赛，比赛规则如下：要解答一道导数题和两道圆锥曲线题，先解答导数题，

正确得2分，错误得0分；再解答两道圆锥曲线题，全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得

3

0分，小明同学准备参赛，他目前的水平是：每道导数题解答正确的概率是g；每道圆锥曲线题解答正确

的概率为:•假设小明同学每道题的解答相互独立.

(1)求小明同学恰好有两道题解答正确的概率：

(2)求小明同学获得的总分X的分布列及均值E(X).

20.如图，四棱锥F—ABC。中，四边形ABCD为菱形，N84O=60'，且BF=DF，BC1CF.

(1)求证：b_L平面ABCD；

(2)若BC=2,CF=B求二面角6—AF—C的余弦值.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知点”(―73,0),F2(内，0)，点M满足|M耳卜|加勾=4,记

M的轨迹为C以轨迹C与y轴正半轴交点T为圆心作圆，圆7与轨迹C在第一象限交于点A,在第二象

限交于点B.

(1)求C的方程；

(2)求瓦.屈最小值，并求出此时圆T的方程；

(3)设点P是轨迹C上异于A,B的一点，且直线%,PB分别与y轴交于点M,N,。为坐标原点，求

证：|。叫・|。叫为定值.

22.已知函数/(x)=(2。-l)lnx-,-20r(awR).

X

(1)。=0时，求函数/(X)的极值；

(2)awO时,讨论函数/⑶的单调性；

(3)若对任意当不马且1,6］时，恒有(加一26)4-1+22,(%)-/(工2)|成立，求实

数阳的取值范围.

揭阳市2021-2022学年度高中二年级教学质量测试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的市县/区、学校、班级、姓名、考场号，座位号和考生号填写

在答题卡上.将条形码横贴在每张答题卡右上角”条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用25铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点

涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合A={x|l<x<4},集合5=卜|/-2X—3W0},则()

A.[-3,4)B.(1,3]C.(-1,4)D.[-1,4)

【答案】D

【解析】

【分析】利用集合的并集运算求解.

【详解】因为集合4={尤[1<%<4},集合3=卜,2一2》—3训={+1<%<3},

所以A<JB=[-1,4),

故选：D.

2.复数上的共期复数是()

1-2

c.八.105.105.

A.—2—iB.—2+iC.-------1D.---1—i

3333

【答案】B

【解析】

【分析】先根据复数除法化简，然后由共舸复数定义可得.

55(2+i),-5

【详解】因为：=’.工「.、=—2—i,所以、的共甑复数为一2+i.

i-2(i-2)(2+i)1-2

故选：B

3.紫砂壶是中国特有手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似

看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm),那么该壶的容积约为()

A.100cm3B.200cm3C.600cm3D.800cm3

【答案】B

【解析】

【分析】利用圆台体积公式进行求解，再结合选项得到答案.

【详解】根据圆台体积公式可得：:02兀+5271+正£高卜4仪205,故那么该壶的容积约为200cm3

故选：B

4.下列函数中，周期为1的奇函数是()

J

A.y=sinTEXB.y=sinl2^rx+|-

C.y=sin%xcos%xD.y=tan-x

-2

【答案】c

【解析】

【分析】由三角函数的性质对选项逐一判断

【详解】对于A,函数为奇函数，T=—=2,A错误;

71

对于B,y=sin[2〃x+2]=cos27rx为偶函数，T=—=\,B错误；

I2；2万

12万

对于C,y=sin»xcos7TX=—sin2〃x为奇函数，T=——=1,C正确；

22乃

兀T=――=2

对于D,y=tan—x为奇函数，兀，D错误.

2-

故选：C

5.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±；x,则该双曲线的离心率为（）

A.昱B.EC.D.B

252

【答案】D

【解析】

故选：D

//)1m.isin6^+sin<9/、

6.已知tan<9=7，则——--------------=()

2cos6+sin6cos夕

i1

A.—B.2C.-D.6

6

【答案】A

【解析】

【分析】巧用1将所求化为齐次式,然后根据基本关系将弦化切，再代入计算可得.

【详解】因为tane=!

2

a9sin3+sin

所以一r-----------

cos。+sin。cos0

sin3e+sin6(sin2e+cos?9)

cos3+sincos20

_2sin3e+sinOcos?0

cos3^+sin^cos20

_2tan38+tan6

1+tan6

2x(5+13

—i+l一二2

22

故选：A

7.函数/(/)的图象与其在点尸处的切线如图所示，则/(1)一,/(1)等于()

B.0C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解.

【详解】由题意，切线经过点(2,0),((),4),可得切线的斜率为攵二］=—2,即/'(1)=一2,

又由切线方程为y=-2x+4,令x=l,可得y=2,即/(1)=2,

所以/(1)_/'(1)=2+2=4.

故选：D

8.已知。==JHln3,c=J351n2，则。，b,c的大小关系是()

A.c<a<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数/(x)=电2(O<x<e),由导数可判断出/(x)=生土在(0,e)上单调递增，从而可得

XX

呼>臀>嗜,化简变形可比较出a,b,c的大小关系

【详解】令/(x)=^(O<x<e),可得o.、x'X~inXITnx,当0<x<eB寸，/'(x)NO恒成

XJ(X)=--------=---9-

XX

立，

所以/(X)=早在(o,e)上单调递增，所以/(V2)</(V3)</(〃)，

即见卢〉喀>嗜，得显也旧后>显出\限反6也\n显〉G拒\n也,

7兀73yJ2

V2V3In>7^-A/2In73，

又已知〃=J&ln;r=—=—ln^=\^lnV^r3，

22

%=\Z^Fln3=2=2^^in3=61nG''-，c-V6^In2=>—=2-In72>

2222

所以c<〃<a,

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法，讲宪法”宪法小卫士活动的完成情

况，对本校2000名学生的得分情况进行了统计，按照［50,60）、［60,70）、…、［90,100］分成5组，并

绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（）

A.图中的x值为0.2

B.由直方图中的数据，可估计75%分位数是85

C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为75

D.80分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有800人获得该称号

【答案】BD

【解析】

【分析】根据平率分布直方图中个矩形面积之和为1，即可求出x,判断A;根据百分位数的计算，求得

75%分位数，判断B;根据平均数的计算方法求得平均数，判断C;求出该校2000人中80分以上的人数,

可判断D.

【详解】对于A,由题意得10x(0.005+0.010+x+0.030+0.035)=l,

解得x=0.020,故A错误;

对于B,•••(0.005+0.02+0.035)x10=0.6,(0.005+0.02+0.035+0.03)x10=0.9,

故估计75%分位数是80+"75-O'*1o=85,故B正确;

0.3

对于C,这组数据的平均数为(55X0.005+65X0.02+75x0.035+85x0.03+95x0.01)x10=77,故C

错误；

对于D,80分以上的同学共有2000x(0.03+0.01)x10=800人，则该校有800人获得金牌小卫士称号，

故D正确，

故选：BD

10.如图，在4x4方格中，向量h>2的始点和终点均为小正方形的顶点，则()

C.a-c-b-cD.忸-q/

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，用坐标法可得.

【详解】如图建立平面直角坐标系，则£=(-1,2),坂=(2,1)，"=(1,3)

易知，a手b，A错误;

因为=—2+2=0,所以B正确；

因为7"=-1+6=53・"=2+3=5,所以C正确；

因为%_"=(3,—1),所以|2B_q=j32+(T)2=M，F卜Jid,所以|2石_4=同，D正确.

故选：BCD

O\X

11.已知P是圆O:/+y2=4上的动点，直线4:xcos，+ysin6=4与4:xsin6-ycose=l交于点

。，则（）

A./,112

B.直线4与圆。相切

C,直线右与圆。截得弦长为26

D.|P@长最大值为。万+2

【答案】ACD

【解析】

【分析】由两直线垂直的条件判断A,由圆心0到直线4的距离判断B,由。到直线4的距离结合勾股定

理求弦长判断C,求出。到圆心。的距离的最大值加圆0半径判断D.

【详解】圆。半径为2,

cos6-sine+sin。•（一cos。）=0,所以/]_L4，A正确；

4

圆心。到4的距离为1==4>2,4与圆。相离，B错误;

Vcos26>+sin20

1

圆心。到直线4的距离为"'==1,所以弦长为2月手=26，C正确:

Jsin2。+(-cos6)2

xcos6+ysin8=4x=4cose+sin。

由，，得《,gp(2(4cos+sin^,4sincos0,

xsin。一ycos9=1y=4sin8-cose

所以=J(4cos6+sin8)2+(4sin8-cos6)2=V17，

所以|PQ|长最大值为J万+2,D正确

故选：ACD.

12.在长方体ABCO—AqCQ中，AB=4,BC=BBI=2,E,尸分别为棱A3,4。

的中点，则下列说法中正确的有（）

A.若P是棱G。上一点，且〃P=1,则E，C,P,/四点共面

B.平面CE尸截该长方体所得的截面为五边形

C.异面直线。CE所成的角为90。

D.若P是棱上一点，点P到平面的距离最大值为2叵

17

【答案】ABD

【解析】

【分析】A：G为G4的中点，由等比例性质可得Pb//4G,长方体性质有AG//EC,即可判断；

B：延长CE,D4交于“，连接FH交Ak于/,连接山，根据平面的基本性质作出面CEF截长方体所

得的截面判断；C：过8作BG//EC交。。延长线于G,过用作qFV/BG交2G延长线于b，可得

异面直线。4，CE所成的角为N。4尸，即可判断；D：P与C1重合时「到平面CEF的距离最大，

口尸,4G延长交于J，并连接JC，应用等体积法求点面距即可.

【详解】A：若G为G2的中点，又尸为棱4。的中点且Of=1,

D.PD.G1

易知：皆二=肃-=彳，则PF//AG,£为棱A8的中点，

D[F2Al2

由长方体的性质有4G//EC,故PF"EC,

所以E，C,P,尸四点共面，正确；

B：分别延长CE,D4交于“，连接切交于/,连接/后,

由A分析知：面C£V即为面EPCE/,故平面CEE截该长方体所得的截面为五边形，正确;

C：过8作3G//EC交。。延长线于G,则CG=5E=2,

过坊作87//BG交延长线于尸，则AF//EC且男尸=3G=2jL如下图示,

所以异面直线。耳，CE所成的角为而与。=2#,DF=2M，

显然872+旦。2故异面直线。瓦，CE所成的角不为90°，错误；

D：由题设及A分析，当P与C1重合时尸到平面CEF的距离最大,

所以只需求q到面FPCEI的距离d,

将延长交于J,并连接JC,而PG=3,CG=2，G=3,

所以PJ=3垃,PC=JC=屈,则Spcj=^^，又％"口=匕-长6,

11

A，CJ2

则PCJ=[x3x！x3x2=3,故叵，即尸到平面C£F的距离最大值为包亘，正确.

3321717

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：由线线平行判断四点共面；由平面基本性质作截面判断形状；将异面直线作平移，

找到对应平面角；判断点面距离最大时动点的位置，应用等体积法求距离.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数y=log2X-3的零点是一.

【答案】8

【解析】

【分析】根据零点定义解方程可得.

【详解】由1暇工一3=0得嘎2%=3,解得X=23=8,即y=log2%-3的零点为8.

故答案为：8

14.已知直线/过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，/与C交于A,B两点，|AB|=6,P为C的准

线上一点，则的面积为—.

【答案】9

【解析】

【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p>0）,写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径

|AB|=2〃，求出。，的面积是|AB|与IOPI乘积的一半.

【详解】设抛物线的解析式尸=2外（。>0）,

则焦点为尸（，0），对称轴为x轴，准线为尤=-勺

・・•直线/经过抛物线焦点，A,B是/与。的交点，

又轴,

.0.|AB|=2〃=6,

p=3,

又••・点尸在准线上，过点尸作/的垂线，垂直为。，

-'\DP\=2+~2=P=3,

••^P=1-W-M=1X3X6=9.

【答案】ln2

【解析】

lnx4-x-2,0<x<2

【分析】由题可得〃%)=■,然后分段求函数的最值即得.

Inx—x+2,x>2

lnx+x-2,0<x<2

【详解】函数/(%)=3一卜_2|=4

lnx-x+2,x>2

.•.当0<xW2时，/(x)=lnx+x—2单调递增，所以/(耳,而=ln2,

1]—x

当x>2时，,f(x)=lnx-x+2,./(力=——1=―-<0,函数单调递减，

所以/(x)<ln2；

综上，函数的最大值为ln2.

故答案为：ln2.

16.如图，点尸是半径为2的圆。上一点，现将如图放置的边长为2的正方形A3。(顶点A与P重

合)沿圆周逆时针滚动.若从点月离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为

正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了轮，此时点4走过的路径

的长度为.

【答案】①.3②.（&+2）乃

【解析】

【分析】将问题化为4和6的最小公倍数问题求A第一次回到点尸的位置正方形滚动的轮数，再求滚动1

轮点A走过的路径长度，即可求此时A走过的路径的长度.

【详解】正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B—CfO-

顶点两次回到点尸时，正方形顶点将圆周正好分成六等分，

由4和6的最小公倍数：3x4=2x6=12,

所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮.

这一轮中，点A路径AfAfA是圆心角为弓，半径分别为2,2五,2的三段弧，故路径长

/=3（2+20+2）=（夜+2）万,

63

点A与P重合时总路径长为（72+2）%.

故答案为：3,（、历+2）万.

【点睛】关键点点睛：将A第一次回到点尸位置所滚的轮数转化为求4和6的最小公倍数，注意滚动一

轮4的圆周运动特点求路径长.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①%=5,%+%=22；②q=1,S5=25；③S“="2,这三个条件中任选一个，补充在下面问

题中，然后解答补充完整的题目.

已知S“为等差数列｛%｝的前〃项和，若.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若G、=---求-数列｛c“｝的前〃项和T..

a/向

【答案】（1）%=2〃—1

1

Tn=

⑵2/J+I

【解析】

【分析】(1)选①②，用基本量法即可求出通项公式，选③，根据4和S“的关系即可求解.

(2)利用裂项相消法，即可求解.

【小问1详解】

4+2d=5

解：若选①%=5，4+%=22,则＜

24+104=22'

a=1

解得《,c，所以。“=2〃-1；

d-2

q=1

4=1

若选②6/1=1,S5=25,则<5(5-1),解得《,c,所以%=2〃-1；

54+-^4=25a=2

若选③S〃=〃2,当〃=1时q=S=F=1,当〃22时S〃_]=(九一，所以

2

an=Sn—Sn^=H—(n—1)"=2n—l,当〃=]时=2〃-1也成立，所以=2n—1

【小问2详解】

因为Cn

%4+1(2n-l)(2n+l)2(2九一12〃+17

所以＜=:11111

1-------1-------------k4---------------------------

335…2〃—12〃+1

1一备

2

I兀JI\

18.已知函数/(%)=2sin(/x+co>^-—<(p<—\的部分图象如图所示.

在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,若/（A）=百，b=2,且“IBC的

面积为地，求

2

【答案】(1)/(x)=2sin2x--；(2)a=y/l.

3

【解析】

【分析】（1）根据图形求出最小正周期可求得。=2,代入点（葛,2）可求得。；

（2）根据/（A）=JJ求得A=（,根据面积求出c,即可由余弦定理求得a.

713万

【详解】解：（1）据图象可得k=/,故丁=万，

由7="=万得：（0-1.

CD

5%<57乃r[.(57r

由/2sin[2x五+夕)=2得：sin—+=1.

7112

,nn.7t5乃4万

由一,＜夕＜5知，—<——+(p<——,

363

57171.71

»解nz得n9=一彳

623

/(x)=2sin(2x-yj；

71

(2)•••/(A)=2sin2A-?=V3,，/.s一in2A---

I3

7i27r

vAe(0,-),2A--e

23~2>,~

入A冗汽、冗

2A--——,A.——

333

由题意得AABC的面积为4*2xcxsin2=迪，解得c=3,

232

由余弦定理得/=/+C?—2bccosA=2?+3?—2x2x3cos^=7,解得：a-V7.

3

19.学校组织数学解题能力大赛，比赛规则如下：要解答一道导数题和两道圆锥曲线题，先解答导数题,

正确得2分，错误得0分；再解答两道圆锥曲线题，全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得

3

0分，小明同学准备参赛，他目前的水平是：每道导数题解答正确的概率是,；每道圆锥曲线题解答正确

的概率为:2•假设小明同学每道题的解答相互独立.

（1）求小明同学恰好有两道题解答正确的概率;

（2）求小明同学获得的总分X的分布列及均值E（X）.

4

【答案】（1）-

134

（2）分布列见解析'E（X）F

【解析】

【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解;

（2）分析X可能取值，求出对应概率后得分布列，再由均值的公式求解;

【小问1详解】

解：由题意导数题解答正确的概率是一3，圆锥曲线题解答正确的概率为2：，

53

故小明同学恰好有两道题解答正确的概率

P=lx2x(l_23^22t_32x2=A+±+±=4

5335335334545459

【小问2详解】

解：由题意得X的可能取值为0，1，2,3,5,

匕_In/xzr\\2112八/__2,2II2、8

所以尸(X=0)=—x—x—=—,P(X=I)=—x(—x—I—x—)=—

533455333345

3113

P(X=2)==x±x2=-1

5334515

P(X=3)3(2/+'2)+M"Z2/

53333533459

P(X=5)=-x-x-=—=—

5334515

则X的分布列为

X01235

28144

P

454515915

8144134

所以£(X)=0+£+2x-5-+3x2+5x：=U；

451591545

20.如图，四棱锥E—中，四边形ABCD为菱形，/84。=60,且BF=DF，BC1CF.

(1)求证：6_1_平面48。。；

(2)若BC=2,CF=V2.求二面角5—AF—C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵画

10

【解析】

【分析】(1)连接AC交8。于点0,连接OF,证明出30,平面ACE,可得出CF_L8O,再由

BC1CF结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；

(2)取8C的中点£,连接。E,分析得出DEL8C,然后以点。为坐标原点，CF.BC，前的方

向分别为x、》、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角8—A尸一C的余弦

值.

【小问1详解】

证明：连接AC交30于点0,连接。尸，则。为80的中点，

因为四边形A3CD为菱形，则8O_L4C,

因为BF=DF，。为BO的中点，则0/_1_80，

•.•OFDAC=O，.•.班)，平面ACT7，Qbu平面ACF,则CF_L6Z),

-,-CFIBC,BCCBD=B,.•.仃_1平面488.

【小问2详解】

解：取的中点E，连接£>E，

因为四边形ABC。为菱形，N84£>=60'，则ZBCO=60。，且5c=CD,

故△BCD为等边三角形，

因为£为8C的中点，则OEJ_3C,

因为CF,平面A8CZ），以点。为坐标原点，CF，BC，访的方向分别为x、y、z轴的正方向建立

如下图所示的空间直角坐标系，

则3（0,—2,0）、C（（）,（）,0）、A（0,—3,6）、F（72,0,0）,

设平面ABF的法向量为，”=（5,昨4）,BA=（0,-l,G）,BF=（近,2,0）,

m-BA=-y.+v3z.=0厂一/斤广、

则〈l，取y=G，则m=（一"，石』），

7

m-BF=V2x1+2y1=0'

设平面ACF的法向量为3=（%,%，Z2），CF=（V2,0,0）,C4=（0,-3,A/3）,

n・CF=V2X=0-/\

则《_2-厂，取%=1，则〃=0,14r3,

n-CA--3y2+V3z2=0'

mn_273

cos<m,n>=

|m|-|n|V10x210，

由图可知，二面角8—A/一C为锐角，则二面角6-A/一C的余弦值为迫°.

10

21.在平面直角坐标系xOy中，已知点"（一⑺，0）,尸2（G，0），点M满足附6|+也可=4,记

M的轨迹为C以轨迹。与y轴正半轴交点T为圆心作圆，圆丁与轨迹。在第一象限交于点A

，在第二象限交于点艮

(1)求C的方程；

(2)求瓦・历的最小值，并求出此时圆T的方程;

(3)设点P是轨迹C上异于A,3的一点，且直线南，PB分别与y轴交于点M,N,。为坐标原点，求

证：|0w卜|0叫为定值.

r2

【答案】(1)—+y2=l

4

⑵.”+(5卡

(3)证明见详解

【解析】

【分析】(1)根据椭圆定义和几何性质可得。、以然后可得；

(2)设点A坐标，利用坐标表示出所求，然后消元转化为二次函数最值问题可得最小值，再求得点4坐

标，然后可得；

(3)设点P坐标，写出直线刑、方程，然后求得例、N坐标，用坐标表示出所求，然后化简可得.

【小问1详解】

由题可知，c=6,2。=4,即a=2,所以匕=J4-3=1，

v-2

所以曲线C的方程为工+y2=i.

4-

【小问2详解】

由题知7(0,1)，设A(m,n)(0<m<2,0<n<l),则B(-m,n)

则E4•TB=(m,〃一1)•(一加,〃-1)=-m2+(H-1)2

2

又^-+“2=1,即/7?=4—4”?

4

所以毒.方=4也2_4+(“_1)2=5〃2—2〃一3

当〃=!时，瓦.花取得最小值-日

此时，m=14二4/?2=^4—^-=9所以圆丁的半径r=,而+(〃—1)?=4^7

所以圆T的方程为：x2+（y-l）2=^

【小问3详解】

设PCWo)，

y—fiy一〃

则直线PA的方程为yf==（xf），直线PB的方程为〉f=京力x-x。）

可得M…（0八,“3）一一小弛'0）、，N（0,叫3一+冲弛0、）

x