2021-2022学年北京市顺义区高二下学期期末考试数学试卷（含详解）

北京市顺义区2021-2022学年高二下学期期末数学试题

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.A；的值为（）

A.20B.10C.5D.2

2.（1一%）4的展开式中，无2的系数为（）

A.12B.-12C.6D.-6

3.己知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E（X）等于（）

A.0.3B.0.8C.1.2D.1.3

4,设函数/*）=」一，则（⑴=（）

x+l

1

A.0B.---C.1D.-

44

5.已知函数y=f（x）的部分图象如图所示，其中A（玉,/（玉））,8（/,/（々）），。（七，/（七））为图上三个不

同的点，则下列结论正确的是（）

A../（石）＞,广（工2）＞/'（玉）B.

c./'（X3）＞r（xj＞r（w）

D.ra）＞r（F）＞r（w）

6.已知某居民小区附近设有4,B,C,D4

个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测

点的选择共有（）

A.64种B.81种C.7种D.12种

7.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：

“我羊食半马、"马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃

了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马

所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（）

斗粟

520510

A.-B.—C.-D.—

7727

8.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生

物密度（c）随开窗通风换气时间（/）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均

速度最快的是（）

C.[5,20]D.[5,35]

9.已知数列｛〃“｝为各项均为整数的等差数列，公差为d,若q=l,4=25,则〃+d的最小值为（）

A.9B.10C.11D.12

10.已知毛（毛。°）是函数/（为=/+办2+陵+，的极大值点，则下列结论不正题的是（）

A.axGR,/（x）＞/（x0）B./a）一定存在极小值点

C.若。=0,则一/是函数/（X）的极小值点D.若6=0,则。＜0

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知等差数列｛«„｝，4=3,%=7,则%=.

12.某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法

有种.

13.已知某品牌只卖A,B两种型号的产品，两种产品的比例为8:2,其中A型号产品优秀率为75%,B

型号产品优秀率为90%,则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为.

14.函数/（幻=6.—x的最小值为.

15.已知数列｛4｝,满足不等式<怎_1+4向（其中〃eN*,〃22）,对于数列｛4｝给出以下四个结

论：

①a4-a3>a3-a2；

②数列｛"“｝一定是递增数列；

③数列｛凡｝通项公式可以是为=2"；

④数列｛凡｝的通项公式可以是勺=〃2-6〃.

所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.

16.已（知x+3士、"展开式中第2项与第5项的二项式系数相等.

Ix）

（1）求”的值；

（2）求展开式中各项系数的和；

（3）判断展开式中是否存在常数项，并说明理由.

17.已知函数/（x）=V一f.

（1）求f（x）单调区间；

（2）求“X）在区间［0,2］上的最值.

18.下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在［65,75）分数段内的学

生数为14人.

分数段[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,1001

频率0.120.160.20.180.140.1a

（1）求测试成绩在［95,100］分数段内的人数；

3

（2）现从［95,100］分数段内的学生中抽出2人代表该班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为彳,

求［95,100］分数段内男生的人数;

（3）若在［65,70）分数段内的女生有4人，现从［65,70）分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻

炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望E（X）.

19.已知数列｛4｝为等差数列，前〃项和为S“，数列｛〃｝是以式q>0,4Hl）为公比的等比数列，且

a｝=b｝=1,53=9,55=仇+4+5.

（1）求数列｛q｝,｛年｝通项公式；

（2）求数列出｝的前〃项和7；；

（3）数列｛c,｝满足c“=log«a一4,记数列｛%｝的前〃项和为求”"的最小值.

20.已知函数/（x）=xlnx.

（1）求曲线y=『（x）在点（1,/⑴）处的切线方程；

（2）若函数g（x）=/（x）+£/在区间（。，田）上单调递减，求实数。的取值范围.

（3）证明：/（无）+/+2>0.

21.若存在某常数M（或胆），对于一切“GN*，都有44M（或则称数列｛%｝上（或下）

界，若数列｛4｝既有上界也有下界，则称数列｛4｝为“有界

（1）已知4个数列的通项公式如下：①4=2e；②"=4+,；③c“=2〃+l；④d“=（一1）用.请写出

n

其中“有界数列”的序号；

⑵若出=察^,判断数列｛4｝是否为“有界数列”，说明理由；

（3）在（2）的条件下，记数列｛%｝的前〃项和为S“，是否存在正整数鼠使〃2%,都有S,,<〃一1成

立？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.

北京市顺义区2021-2022学年高二下学期期末数学试题

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.A；的值为（）

A.20B.10C.5D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由排列数定义计算.

【详解】A；=5x4=20

故选：A.

2.（1-工）4的展开式中，/的系数为（）

A.12B.-12C.6D.—6

【答案】C

【解析】

【分析】写出展开式的通项，再代入计算可得;

【详解】解：二项式（1一x）4展开式的通项为*=G（—X）',

所以n=C：（—X）2=6/,即以的系数为6；

故选：c

3.已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E（X）等于（）

X012

P0.2a0.5

A.0.3B.0.8C.1.2D.1.3

【答案】D

【解析】

【分析】根据分布列的性质求出再根据期望公式计算可得；

【详解】解：依题意可得0.2+a+0.5=l,解得a=0.3,

所以E(X)=OxO.2+lx().3+2xO.5=1.3；

故选：D

4.设函数/（x）=—1—，则/"）=（）

x+1

11

A.0B.一一C.1D.-

44

【答案】B

【解析】

【分析】求出导函数，直接代入求解.

【详解】因为函数/“）=」一，所以r（x）=一1三，所以广⑴:一4.

x+l（尤+1）4

故选：B

5.已知函数y=f（x）的部分图象如图所示，其中4（%,/（王））,8（々,/（尤2）），。（七，/（毛））为图上三个不

同的点，则下列结论正确的是（）

A./'（石）＞/'（工2）＞/'（玉）B./'（七）＞/'（£）＞r（xj

c./'（玉）＞/'（百）＞/'（々）D.,f（x1）＞.f（A3）＞.f（x2）

【答案】B

【解析】

【分析】结合函数图形及导数的几何意义判断即可；

【详解】解：由图可知函数在A点的切线斜率小于0,即/'（玉）＜0,

在O点的切线斜率等于0,即/'（/）=0，

在。点的切线斜率大于0,即/'（七）＞0,

所以/'（玉）＞/'（々）＞/'（玉）;

故选：B

6.已知某居民小区附近设有A,B,C,04个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现

该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（）

A.64种B.81种C.7种D.12种

【答案】A

【解析】

【分析】由分步计数原理计算.

【详解】3位居民依次选择检测点,方法数为43=64.

故选：A.

7.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主目：

“我羊食半马、"马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃

了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马

所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（）

斗粟

520八510

A.-B.—C.—D.—

7727

【答案】B

【解析】

【分析】牛主人应偿还x斗粟，由题意列方程即可解得.

VV

【详解】设牛主人应偿还X斗粟，则马主人应偿还一斗粟，羊主人应偿还一斗粟，

24

所以XH---1——5,解得：X=—.

247

故选：B

8.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生

物密度（c）随开窗通风换气时间U）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均

速度最快的是（）

C.[5,20]D.[5,351

【答案】C

【解析】

【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可;

【详解】解：如图分别令，=5、1=1()、f=15、r=20、f=35所对应的点为A、B、C、D、E,

由图可知0>怎B>kAC>kAE>kAD<

所以［5,20］内空气中微生物密度变化的平均速度最快;

9.已知数列｛q｝为各项均为整数的等差数列，公差为d,若q=l,q=25,则〃+4的最小值为()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

24

【分析】由题意可得(〃-l)d=24,得d=——，由于等差数列的各项均为正整数，得到公差d也为正整

n-1

数，即为24的约数，从而可求出相应的〃的值，进而可求出〃+d的最小值

【详解】因为4=1,4=25,

所以=q+(〃一l)d=l+(n-l)d=25,

所以(〃-1对二24,

24

所以d=一,

n-1

因为数列｛4｝为各项均为整数的等差数列，

所以公差d也为正整数，

所以d只能是1，2,3,4,6,8,12,24,

此时”的相应取值为25,13,9,1,5,4,3,2,

所以〃+4的分别为26,15,12,11,11,12,15,26,

所以〃+d的最小值为11,

故选：C

10.已知是函数/(刈=/+如2+法+。的极大值点，则下列结论不事聊的是()

A.3XGR,/(X)>/(X0)B.f(x)一定存在极小值点

C.若。=0,则一/是函数Ax)的极小值点D.若匕=0,则。<0

【答案】D

【解析】

【分析】求出导函数/'(x),/'(x)=0有两个不等实根，然后由极值点、单调性与/'(x)=0的根的关系

判断各选项.

【详解】f'(x)=3x2+2ax+b,%是极大值点，/'(幻=0有两个不等实根，

△=4/_i2Z?>0，即。2>3人，

设/'(x)=0有两不等实根％和演，X。是极大值点，则x<Xo时，f'(x)>0,而<%<々时，

/'(x)<0,从而x>x,时，/。)>0,4是极小值点.B正确；

由于X->+8时，f(x)f+oo,因此A正确；

若。=0,则八x)=3f+8,/7<0"'(x)=0的两解互为相反数，即超=一%,C正确；

8=0时，a2>0>。。()，D错.

故选：D.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知等差数列{《,},%=3,%=7,则4=.

【答案】5

【解析】

【分析】由等差数列的性质计算.

【详解】由题意2%=4+%=1°，4=5.

故答案为：5.

12.某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法

有种.

【答案】6

【解析】

【分析】从剩下的四位家长中选2位即可得.

【详解】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为C；=6.

故答案：6.

13.已知某品牌只卖A,B两种型号的产品，两种产品的比例为8：2,其中A型号产品优秀率为75%,B

型号产品优秀率为90%,则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为.

【答案】78%##078

【解析】

【分析】根据全概率公式直接求解.

Q2

【详解】根据题意，购买一件该品牌产品为优秀品的的概率为：—x75%+—x90%=78%.

1010

故答案为：78%.

14.函数/(x)=eAi—x的最小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】求出导函数，确定单调性可得最小值.

【详解】八幻=冷—1,由/'(x)>0得x>-l,/'(幻<0得乂<一1,

/（x）在（Y,-l）上递减，在（-1,+8）上递增，

所以/（X）的极小值也是最小值为了（—1）=1.

故答案为：1.

15.已知数列｛4｝,满足不等式2%4%_1+。向（其中2）,对于数列｛可｝给出以下四个结

论：

①a4-a3>a3-a2-

②数列｛凡｝一定是递增数列；

③数列｛凡｝通项公式可以是4=2"；

④数列｛凡｝的通项公式可以是勺=/-6〃.

所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】求得%一。3与。3一%的大小关系判断①；举反例否定②；利用题给条件证明数列｛%｝的通项

公式可以是q=2"肯定③；利用题给条件证明数列｛”“｝的通项公式可以是q=〃2-6〃肯定④.

【详解】数列｛a“｝满足不等式2%Wa“T+a”+1（其中〃eN*,〃22）,

则有。“一。,14。用一。“（其中〃eN*,〃N2）,

①由24a4一%,可得4一％之田一々•判断正确；

②当4=6时，满足2an<%+an+i,数列｛4｝为常数列.

则数列｛4｝不一定是递增数列.判断错误；

③当4=2"时，由2'"'>0>可得2*2"V2"T+2向，

即不等式2。“成立，则数列｛《,｝的通项公式可以是4=2".判断正确；

2

④当an=n-6n时，

2a222

„+a„+1）=2（n-6H）-［（n-l）-6（n-l）+（n+l）-6（7?+l）］=-2<0

则不等式2%<an^+an+i成立，则数列｛an｝的通项公式可以是勺="-6〃.判断正确;

故答案为：①③④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.

16.已知［x+3］的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等.

(1)求〃的值；

(2)求展开式中各项系数的和；

(3)判断展开式中是否存在常数项，并说明理由.

【答案】(1)5；(2)1024；

(3)不存在.

【解析】

【分析】(1)利用第2项与第5项的二项式系数相等，列方程C：=C：,即可解得；(2)利用赋值法令

x=l代入可得；(3)利用通项公式列方程求解即可.

【小问1详解】

X+』］的展开式的通项公式为T.M=3'C：x"-2r.

Ix)\x)

因为展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，所以C；=C：,解得：“=5.

【小问2详解】

要求展开式中各项系数的和，只需令x=l代入可得：(1+3)5=1024.

即展开式中各项系数的和为1024.

【小问3详解】

要求展开式中的常数项，只需在(+i=3'C"5-2,中，令5—2r=0,而reN*,所以无解，即展开式中不

存在常数项.

17.已知函数f(x)=x3-x2.

(1)求f(x)单调区间；

(2)求f(x)在区间［0,2］上的最值.

【答案】(1)/*)单调递增区间为(—8,0),+e),单调递减区间为

4

(2)最小值为-一，最大值为4

27

【解析】

【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比

较端点值求出最大值.

【小问1详解】

/（x）=-x2定义域为R,

f'（x）-3x2-2x,

2

令r（x）>0得：%>—或x<o,

3

2

令/'（x）<0得：0<%<—，

3

所以f（X）单调递增区间为（—8,0）,+e）,单调递减区间为

【小问2详解】

由（1）可知：/（X）在％=2处取得极小值，且为最小值，故/•"）.

3、小⑶⑶27

又因为"0）=0,,”2）=23—2?=4,而4>0,

所以/（£h=4,

4

所以Ax）在区间［0,2］上的最小值为———，最大值为4

27

18.下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在［65,75）分数段内的学

生数为14人.

分数段[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]

频率0.120.160.20.180.140.1a

（1）求测试成绩在［95,100］分数段内的人数；

3

（2）现从［95,100］分数段内的学生中抽出2人代表该班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为

求［95,KX）］分数段内男生的人数；

（3）若在［65,70）分数段内的女生有4人，现从［65,70）分数段内的学生中随机抽出3

人参加体质提升锻炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望£（X）.

【答案】（1）5（2）4

（3）分布列见解析，E（X）=1

【解析】

【分析】（1）利用在［65,75）分数段内的学生数为14人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求

出两数相乘可得答案;

C23

（2）设男生有x人,根据抽出2人这2人都是男生的概率为-f=-,解得X可得答案;

C53

（3）求出在［65,70）分数段内的学生人数及男生人数，可得X的取值及对应的概率，可得分布列和期望.

【小问1详解】

14

高二年级某班学生共有一=50人，

0.28

因为0.12+0.16+0.2+0.18+0.14+0.1+4=1,所以a=0.1,

所以测试成绩在［95,100］分数段内的人数为5（）x（）.1=5人.

【小问2详解】

由（1）知在［95,100］分数段内的学生有5人，设男生有x人，

3

若抽出2人这2人都是男生的概率为g,

则*=|,解得x=4,所以在［95,100］分数段内男生有4人.

【小问3详解】

在［65,70）分数段内的学生有50x0.12=6人，所以男生有2人,

X的取值有0,1,2,

C31

1

-4

-_

C35

6

X的分布列为

X012

2_2

P

55

13I

E（X）=Ox—+lx—+2x—=1.

''555

19.已知数列｛a,,｝为等差数列，前"项和为S"，数列｛〃｝是以以4>0国工1）为公比的等比数列，且

4=4=1,S3=9,S5=4+4+5.

（1）求数列｛4｝,｛2｝通项公式；

（2）求数列｛〃｝的前〃项和小

（3）数列｛%｝满足％=log,*,-4,记数列｛c“｝的前〃项和为M“，求的最小值.

【答案】（1）a,,=2n-\,b„=2"-'

（2）T“=2"-1

（3）-10

【解析】

【分析】（1）根据$3=9,求出公差，从而求出通项公式，结合$5=4+a+5求出公比，得到等比数列

的通项公式；（2）利用等比数列求和公式求解；（3）先求出c“=〃-5,结合｛5｝的增减性和正负性求出

当〃=4或5时，取得最小值，求出最小值

【小问1详解】

S3=3q+3d=9,因为6=1,所以d=2,

故〃〃=1+2（〃-=,

所以=5q+10d=5+20=25,故4+4+5=25,

1

又题意得:b5=如4=夕"也=如?=q,

所以44+,一20=0,解得：,2=4或一5（舍去），

因为乡>0,所以夕二2,

所以么=2"

【小问2详解】

数列低｝的前〃项和Tn==2"-1

1—2

【小问3详解】

c„=logq么-4=log,2n-l-4=n-5,

可以看出匕｝为递增数列，且当“€[1,4]时，c„<0,当〃=5时，%=0,当n>5时，C„>0,

所以当〃=4或5时，取得最小值，最小值为T—3—2—1=—1()

20.已知函数/(x)=xlnx.

(1)求曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)若函数g(x)=/(x)+]x2在区间(0,+8)上单调递减，求实数。的取值范围.

(3)证明：/(尤)+炉+2>0.

【答案】(1)y=x-l；

(2)a<-\；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)求出导函数/'(x)，计算/'⑴得切线斜率，计算/(I)，由点斜式得切线方程；

(2)由g'(x)K0在(0,+°。)上恒成立，然后分离参数转化为求新函数的最值；

(3)由导数求得/(x)的最小值后，由不等式性质得证.

【小问1详解】

尸(x)=lnx+l,尸(1)=1,又/(1)=0,

所以切线方程为y=x-i；

【小问2详解】

g(x)=xlnx+^Y,由题意8'(%)=111%+1+6<0在(0,+00)上恒成立，

lnx+1

Q<--------9

X

、「，/、lnx+1、1—(lnx+1)Inx

设〃(x)=--------，则l(x)=——J-=

XXX

0cx<1时，h'(x)<0,/z(x)递减,x>l时，h\x)>0,〃(x)递增,

所以入Wmin=版D=T，

所以aW-l

【小问3详解】

由（1）/'（x）=lnx+l,0<x<!时，f\x）<0,/（X）递减，x>1时，f\x）>0,f（x）递增，

ee

所以=/（1）=—1，

ee

所以/（x）+x?+2>---F+2>0.

e

21.若存在某常数M（或M,对于一切〃eN*，都有44M（或小），则称数列｛q,｝的上（或下）

界，若数列｛%｝既有上界也有下界，则称数列｛q｝为“有界

（1）已知4个数列的通项公式如下：①a“=2"+'