一类函数最值问题的解法探究

一类函数最问题的解法究浙江省衢州市教育局教研室324000)兴余形如

f

px

是一种特殊形式的函数，研究该函数的单调性，在解题中有十分重要的作用。一问例：求

y

2

4sin

(

的最小值原解:

y

4sin

≥2

4

×2=4

∴

y

min二、探这是学生在练习中常见的一种解法个结论正确吗？我们知道在应用算术平均数与几何平均数定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——积或和是定值；三等——等号能否取得值时，若忽略了某个条件，就会导致解题的失败。在本题中，当

sin

2

4

，即sin

时不等式取=”，但|sin

，显然

>1故不能使用定理怎么办呢？我们不妨换一个角度思考问题，利用函数单调性来解决，设sin

2

，其中

，则0<t而

y

4t

在

（可证明

y

4定义域是故ytt

在t=1时最小值时

，∴

y

2

4

的最小值为5由此可见，有些题目尽管形式是

x

1x

型的式子，即两数之积为常数，但由于定义域的限制，不能使等号成立。如

y

1（x≥）的最小值，尽管x≥2但当xxx

，即时“=”，却不在其定义域数的单调性求解。三、质

内，因此不能使用定理。此时，我们可利用函函数

f

px

（p）有如下性质：/

p2t10p2t101当P＜，

f

px

在(－

0)和(

)上为增函数当0时f在，】和【－x留给读者）

p

，0)上为减函数，在

和四、用有些数学问题，可通过换元将原问题转化成

f

x

x

px

型的函数最值问题，求解这类问题通常有两种思考方法一是用基本不等式求解要注意等号成立的条件二是当等号不能成立时，则可利用函数的单调性求解。例1求函数

f

2sinx

的最大值。解析：设

t

sin

x

，则

f

1t

，

12

，由性质1知

ft在0,上增函数，

122例2若不等式x－－＜（x－）对于x∈[，恒立，求的值围。解析：由x∈[－1知x－＜则原问题等价于对x∈[－，时<

x

2

x

恒成立。设t=4x，则t∈[3时＜－

t

恒成立，令f，性质1得t

f在x∈，上单调递增，∴

0f

13

故只要＜时,原不等式对于∈[－，1]恒成立。例k在么范围时，对于θ[0，

]总有不等式cos

2θ＋θ＜成？1993年尔滨市高中数学竞赛题）解析：当=

时，对任意实数k原等式恒成立当[0，

]时，原不等式等价于2(1-k)＜

2

，

设1-Sinθ=t/

minmin则t∈，1)，原不等式等价于2(1-k)t+

2t

令f(t)=t+

2t

，由性质2知f(t)在(0，1)上单调递减f(t)=f(1)=1+1(-，∞2

=3，∴2(1-k)＜恒立。∴＞-

12

∴的值范围是例：已知a0，求:

a

417≥aa简证：原不等式可转化为

a

4a

1a

4a

≥

174，∵＞，∴a4

4≥=4，当a且仅当a=2时等号，设

t

41则（≥4性质知tatt

在

上为增函数，而

f

=

174a，即4aa2≥

174例5：求实的取值范围，使对任意实数x和任意

都有

2si

cos

1≥（年全国高中数学竞赛题8解析：令

t

，则

t

，且

2sin

原式左=

2

≥

12

2

=

≥

18恒成立，即等价于

≥

153。解得，at或≤42tt5若a≥t,由性质知ft=t在减数，而t2t

f

的定义域为

，故

f

77，∴a≥22若a≤

t

33则由基本不等式得t≥2t6当且仅当t2tt22时取等号，故

/

bvv=bvv=综上所得，取值范围为

6

∪

72

,

例6甲两地相距s千汽从甲地匀速行驶到乙地速度不超过千∕已知汽车每小时的运输成(元为单由可变部分和固定部分组,变部分与速v（千米小）的平方成正比比例系数为固定部分为元为使全程运输成本最,车应以多大速度行驶？解析：设全程运输成本为y元,

y

s2v

(0<v≤∵s,a,b,v均正故s

≥

当且仅当

av

bv

即

v

ab

时上式中等号成立①若

aa≤则当v时,全运输成本y最b②若

ab

>c时则y=s

sb

a由质2知y在

上为单调递,而y=

sb

的定义域为

0,

∴时

全程运输成本y最综上所知为使全程运输成本y最,

aa≤c时行驶速度b

；当

ab

>c时行速度v=c评注：例5,例6两题都有两种情况,其中一部分使用基本不等