简化量子力学基础

简化量子力学基础第一页，共一百三十五页，2022年，8月28日一课程的主要研究内容研究材料的微观结构与组成粒子(原子、离子、电子)的运动规律及其相互之间的作用；研究材料在不同环境中表现出的现象与内在本质的联系，掌握关于材料的微观理论；解释材料的声、光、热、电、磁等物理性能重点章节：量子力学基础，晶体结合与晶体结构，晶格振动，能带理论。第二页，共一百三十五页，2022年，8月28日二课程在学科中的地位与作用公共基础课(大学物理等)学科基础课(材料科学基础等)材料的力学基础材料物理基础材料物理性能材料研究方法功能材料材料的力学性能工程材料第三页，共一百三十五页，2022年，8月28日三课程的任务1精心选择，适当补充补充初等量子力学基础补充固体物理基础2紧扣典型，化繁为简简化繁杂的量子力学与数学推导简化模型，从一维模型出发，推广至三维模型3结合专业，明确目标结合材料科学中的具体问题明确课程的学习目标第四页，共一百三十五页，2022年，8月28日四学习中要注意的几个问题1抓好五个环节2及时补漏拾遗3转变学习观念第五页，共一百三十五页，2022年，8月28日第一章振动与波振动谐振动位相与位相差阻尼振动受迫振动共振线性系统与叠加原理周期振动的傅立叶分析谐波质点速度、相速度与群速度横波与纵波波矢波的叠加原理线性介质第六页，共一百三十五页，2022年，8月28日第二章量子力学基础及应用§1量子力学的诞生§2波函数和薛定谔方程§3薛定谔方程的解§4量子力学中的力学量§5定态微扰理论第七页，共一百三十五页，2022年，8月28日一经典物理学的困难热辐射固体低温热容光电效应原子的线状光谱及其规律原子的行星模型第八页，共一百三十五页，2022年，8月28日1热辐射实验表明：一切物体是以电磁波的形式向外辐射能量。辐射的能量与温度有关，称之为热辐射。辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。单色辐出度单位时间、单位表面积、上所辐射出的，单位波长间隔中的能量。绝对黑体第九页，共一百三十五页，2022年，8月28日经典物理遇到的困难瑞利和琼斯用能量均分定理电磁理论得出：只适于长波，有所谓的“紫外灾难”。实验瑞利-琼斯维恩理论值T=1646k维恩根据经典热力学得出：这一问题在普朗克提出量子理论之后得到了满意的解释第十页，共一百三十五页，2022年，8月28日2光电效应康普顿效应光电效应的实验规律饱和光电流强度与入射光强度成正比。光电子的初动能与入射光强度无关，而与入射光的频率有关。光电效应具有瞬时性，或说响应速度很快，10-9秒。经典物理的困难1）光电效应第十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日

*经典认为光强越大，饱和电流应该大，光电子的初动能也该大。但实验上饱和电流不仅与光强有关而且与频率有关，光电子初动能也与频率有关。经典理论的困难：*只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流；频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。而经典认为有无光电效应不应与频率有关。

*瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收能量要时间，即需能量的积累过程。第十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日2）康普顿效应实验事实X射线7.1nm探测器C1C2A1A2WBS石墨晶体准直系统散射角I=0oI=45oI=90oI=135o0正常散射波长变长的散射称为康普顿散射第十三页，共一百三十五页，2022年，8月28日*波长的增加量与散射角有关。实验结果：*当散射角确定时，波长的增加量与散射物质的性质无关。*康普顿散射的强度与散射物质有关。原子量小的散射物质，康普顿散射较强，即正常峰较低。反之相反。经典电磁理论的困难而无法解释有的存在及其所存在的康普顿效应的实验规律。只能说明有正常散射存在，即散射光的频率与入射光频率相等。第十四页，共一百三十五页，2022年，8月28日1)原子的核式结构卢瑟福的核式模型或称行星模型4原子的稳定性和大小

粒子是快速运动的二次电离的氦原子。偶极振荡要辐射电磁波，能量会逐渐减少，导致电子会落到原子核上。偶极辐射电磁波，应为连续光谱。第十五页，共一百三十五页，2022年，8月28日2)氢原子的线光谱当m一定时，由不同的n构成一个谱系；不同的m构成不同的谱系。原子具有线光谱；实验表明：各谱线间具有一定的关系每一谱线的波数都可表达为两个光谱项之差。第十六页，共一百三十五页，2022年，8月28日氢原子的线光谱称为里德伯常数对于确定的组成一个线系。称为巴耳末系第十七页，共一百三十五页，2022年，8月28日赖曼系帕邢系布喇开系普丰德系原子具有线光谱；实验表明：各谱线间具有一定的关系每一谱线的波数都可表达为两个光谱项之差。第十八页，共一百三十五页，2022年，8月28日5固体的低温热容1819年，杜隆－珀替发现一切固体在温度充分高的情况下，摩尔热容都近似等于3R，这个实验规律可由热力学理论解释。1872年，韦伯测出金刚石、石墨、硼、硅等固体物质的摩尔热容只有在温度较高时接近这个值，在低温条件下用能量均分定律解释热容遇到了很大困难。第十九页，共一百三十五页，2022年，8月28日二量子理论的提出普朗克的量子理论

1900年12月14日柏林物理学会量子诞生之日爱因斯坦光的量子假说玻尔的氢原子理论第二十页，共一百三十五页，2022年，8月28日1普朗克能量子假说辐射物体中包含大量谐振子的能量是取特定的分立值

存在着能量的最小单元（能量子=h);

h=6.62610-34焦耳。振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量从理论上推出：分别是玻尔兹曼常数和光速。普朗克假说不仅圆满地解释了绝对黑体的辐射问题，还解释了固体的比热问题等等。它成为现代理论的重要组成部分。第二十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日实验瑞利-琼斯维恩理论值T=1646k瑞利-琼斯普朗克理论值普朗克能量子假说普朗克的理论结果第二十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日2爱因斯坦的光子学说爱因斯坦在能量子假说的基础上提出光子理论：认为光不仅在与物质相互作用时（发射和吸收），具有粒子性，而且在传播过程中也有粒子性。一个频率为的光子具有能量它的能流密度：不仅取决于单位面积上的光子数

n

，还决定于频率。由此，可解释饱和光电流强度与光强成正比；可以解释截止电压与频率成线性关系以及红限频率的存在。第二十三页，共一百三十五页，2022年，8月28日3玻尔原子理论：定态假设：原子处于一系列不连续稳定态。角动量量子化

跃迁假设氢原子的计算：将守恒的角动量量子化带入上式得：玻尔的基本假设:第二十四页，共一百三十五页，2022年，8月28日说明轨道、速度、能量都是量子化的。氢原子的能级公式：氢光谱的解释：第二十五页，共一百三十五页，2022年，8月28日n=4n=3n=2n=1r=a1r=4a1r=9a1r=16a1赖曼系巴耳末系帕邢系里德伯常数的理论值：第二十六页，共一百三十五页，2022年，8月28日126534赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系En=hcR/n2hcR/25hcR/16hcR/9=-1.51eVhcR/4=-3.39eVhcR=13.6eVT=R/n2109677cm-12741cm-112186cm-16855cm-14387cm-1氢原子能级图第二十七页，共一百三十五页，2022年，8月28日对玻尔理论的评价：成功地解释了原子的稳定性、大小及氢原子光谱的规律性。为人们认识微观世界和建立近代量子理论打下了基础。构造了经典物理达到量子力学的桥梁——旧量子论。对应原理：当量子数n趋于无限大时，量子理论得出的结果与经典理论的结果相一致，这是玻尔提出的。玻尔理论是经典与量子的混合物，它保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动。它不能解释稍微复杂的问题，正是这些困难，迎来了物理学的大革命。第二十八页，共一百三十五页，2022年，8月28日三量子力学的建立1德布罗意物质波2薛定谔方程（波动力学）3海森堡矩阵力学第二十九页，共一百三十五页，2022年，8月28日1德布罗意波物质波的思想：微观粒子和光一样具有波粒二象性，与微观粒子相联系的波叫德布罗意波，或物质波。1927年，戴维森和革末用有一定能量和动量的电子射向金属镍单晶表面，观察到电子衍射现象，并证实了德布罗意关系的正确。第三十页，共一百三十五页，2022年，8月28日2薛定谔方程（波动力学）薛定谔接受了物质波的思想后，积极寻找物质波的运动方程。将力学与光学进行类比。1926年找到了表示波函数时空变化的偏微分方程，完成了描述微观粒子运动规律的数学框架。以该方程为主体形成的理论——波动力学——解释了氢原子不连续能级，证实了波尔理论中的量子化条件。第三十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日3海森堡矩阵力学1925年海森堡考察了波尔理论对原子状态的描述，认为观测原子内部的电子轨道实际上是不可能的，必须以频率、光强等可观测量来取代。提出用矩阵来表述微观粒子的运动规律。（矩阵力学）1926年薛定谔证明了矩阵力学与波动力学实际上是一致的——统称量子力学。1926年波恩提出波函数的统计解释，赋予量子理论明确的物理意义。1927年海森堡提出了不确定度关系。为微观粒子的波粒二象性提供了严格的数学表达。1928年狄拉克提出了相对论波动方程，实现了相对论和量子力学的统一。至此，建立了量子力学理论的基础。第三十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日§2波函数和薛定谔方程一微观粒子的波粒二象性1德布罗意波的概念：物质波

一切微观粒子都具有波动性。从波动特性而言，应有波长λ、频率γ（ω）作为一个质量为m的粒子，以速度v运动，具有能量E和动量p。2微观粒子波动性与粒子性的联系

第三十三页，共一百三十五页，2022年，8月28日德布罗意波的波长直接由粒子的动量或能量来确定，而与空间坐标无关，这种关系对于经典波而言是不存在的。这也是物质波与经典波的重要差别之一。第三十四页，共一百三十五页，2022年，8月28日物质波的提出例1：有一枚飞行的子弹，质量m=10-2Kg，速度V=5.0102m/s，请计算对应的德布罗意波长。太小测不到！第三十五页，共一百三十五页，2022年，8月28日例2：试计算一个电子在V＝150v，V=104v的加速电压下的德布罗意波长。(m=9.110-31Kg，

e=1.610－19C)第三十六页，共一百三十五页，2022年，8月28日1德布罗意波的数学表达2德布罗意波的实验证实3波函数的物理意义4统计诠释对波函数提出的要求二德布罗意波的数学表达及物理意义第三十七页，共一百三十五页，2022年，8月28日

波函数一维：三维：1德布罗意波的数学表达第三十八页，共一百三十五页，2022年，8月28日例3用德布罗意波理论解释波尔提出的圆周轨道量子化条件。

电子的稳定状态，波绕原子核传播一周后，首尾应光滑的连接起来，这才能形成稳定的波，否则叠合的波将因相互干涉而抵消。第三十九页，共一百三十五页，2022年，8月28日电子驻波氢原子中电子的圆轨道运动，它所对应的物质波形成驻波，圆周长应等于波长的整数倍。再根据德布罗意关系得出角动量量子化条件德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。光速c是个“大”常数；普朗克常数h是个“小”常数。第四十页，共一百三十五页，2022年，8月28日2

物质波的实验验证戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。英国的G.P.汤姆孙做了高能电子穿过金属薄片的实验。结果发现，投射的电子在屏上形成的花样是一个明暗交替的同心圆环，而不是模糊角。这种花样和透射晶体X射线在屏上形成的衍射花样相像。汤姆孙证实了电子波动性的存在。原子、分子的波动性在1930年由施特恩和他的同事通过实验得到证实。第四十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X射线一样产生衍射现象。戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性。由于电子波长比可见光波长小10-310-5数量级，从而可大大提高电子显微镜的分辨率。我国已制成80万倍的电子显微镜，分辨率为，能分辨大个分子,有着广泛的应用前景。第四十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日3波函数的物理意义（波函数的统计诠释）子弹的双缝实验声波的双缝实验电子的双缝实验第四十三页，共一百三十五页，2022年，8月28日第四十四页，共一百三十五页，2022年，8月28日电子双缝衍射的结果起初：感光时间较短，底片上出现一些点子，分布看起来没什么规律。感光时间足够长：底片上感光的点子越来越多，就会发现有些地方点子很密，有些地方几乎没有什么点子。最后：感光点子的密度分布将构成一个有规律的花样。与X光衍射光花样完全相似，就强度分布而言，与经典波相似，而与子弹在靶上的密度分布完全不同。第四十五页，共一百三十五页，2022年，8月28日波函数的统计意义在底片上r点附近衍射花样的强度正比于在r点附近感光点的数目正比于在r点附近出现的点子数目

正比于电子出现在r点附近的几率电子在空间出现的概率分布显示了电子运动的波动性。即德布罗意波或物质波。是一种抽象的概率分布波，或叫概率波。电子衍射条纹就是概率波叠加的结果。粒子在空间r处附近单位体积内出现的概率正比于该点波函数振幅绝对值的平方。

12第四十六页，共一百三十五页，2022年，8月28日波函数的统计意义

是微观粒子于t时刻在r点附近单位体积内出现的概率，即概率密度。例4.与所描述的几率波是否相同？为什么？第四十七页，共一百三十五页，2022年，8月28日4统计诠释对波函数提出的要求

取有限值

单值波函数及其各阶微商的连续性要根据体系所处的势场V(r)的性质来分析。一般要求及其微商连续是不正确的。例如无限深方势阱中波函数在全空间是连续的，但微商在势阱边界处就不连续。第四十八页，共一百三十五页，2022年，8月28日例5有一微观粒子，沿x轴方向运动，描述其运动的波函数为：1）将此波函数归一化；2）求出粒子坐标的概率分布函数；3）求在何处找到粒子的概率密度最大。第四十九页，共一百三十五页，2022年，8月28日三态的叠加原理1态的概念：

微观粒子的运动服从统计规律，因此微观粒子的力学性质将由一组力学量及它们的分布概率来表征。所谓微观粒子的态就是这些力学量的可能值及分布概率所确定的物理状态。各力学量的分布概率和它们的平均值也都可由得到。不同的表达了不同的运动状态；随时间的变化，表达了态的变化，描述了微观粒子的运动过程。所以是描述微观粒子运动状态的函数，也称态函数。第五十页，共一百三十五页，2022年，8月28日2态的叠加原理：叠加性是一切类型的波动的共有特征。两个概率波，相遇时：当，是微观体系可能存在的两个状态时，则他们的线性叠加也是体系的一个可能状态。当，，…，为体系可能的状态时，它们的线性叠加也是体系的一个可能状态。第五十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日四薛定谔方程1薛定谔方程的地位2建立薛定谔方程要满足的物理条件1）波函数满足线性叠加原理，因此它所满足的方程应是一个线性方程；2）方程应具有各种粒子都满足的普遍性质，要求各系数只为普适量和表示粒子一般属性的量如质量等，而不包含表征特殊状态的量如动量、能量等。3建立的思路1）自由粒子的薛定谔方程2）一维势场中运动的薛定谔方程3）定态薛定谔方程第五十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日1）自由粒子2）一维势场V(x)中运动的粒子3）定态薛定谔方程第五十三页，共一百三十五页，2022年，8月28日§3薛定谔方程的解一一维无限深方势阱中的粒子二一维线性谐振子三氢原子中的电子四多电子原子结构第五十四页，共一百三十五页，2022年，8月28日本节的研究目的及内容了解微观粒子在不同势场下的行为得到有关量子力学现象的有趣预言一维定态薛定谔方程的解一维线性谐振子氢原子中的电子一维有限深方势阱中的粒子一维无限深方势阱中的粒子方势垒的反射与透射效应本节的研究方法建立粒子在不同势场下的定态薛定谔方程求解讨论诠释物理意义获得结论第五十五页，共一百三十五页，2022年，8月28日一一维无限深方势阱中的粒子引言确定势场建立定态薛定谔方程求解讨论结论重点:势阱的意义

薛定谔方程的求解

阱内能量及波函数的特征第五十六页，共一百三十五页，2022年，8月28日1引言金属块中的导电电子的势能一个离子三个离子排成一行许多密集离子排成一行有限深方势阱无限深方势阱第五十七页，共一百三十五页，2022年，8月28日2确定势场质量为m的粒子，局限在0<x<a

范围内作一维运动。在这些范围内粒子势能为零，而在此范围外，势能为无穷大。即有：具体的例子：匣子里的粒子理想气体分子第五十八页，共一百三十五页，2022年，8月28日3建立定态薛定谔方程

一维定态薛定谔方程：粒子的势能：

则一维无限深方势阱中的粒子满足：第五十九页，共一百三十五页，2022年，8月28日4求解A值可利用归一化条件确定第六十页，共一百三十五页，2022年，8月28日5讨论1)束缚态在无限深方势阱外，波函数，粒子被束缚于阱内，故通常把无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚状态，一般来说，束缚态的能级是分立的。2)基态体系的最低能量的状态称为基态，在一维无限深势阱中的基态是n=1的基本征态，粒子所具有的最小能量不为零。这与经典理论结果完全不同，经典理论认为粒子最低能量必须为零。3)粒子的运动方式量子力学仅提供了所有可能的运动方式第六十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日4）能量量子化

束缚于势阱中的粒子，它的能量只能取由n决定的一系列不连续的值，即能量量子化，这是一切束缚粒子状态的特征。5）能级分布不均匀

能级越高，能级差越大，而能级密度越小。

6）量子化现象与势阱宽度之间的关系

例题

当a很小，能量量子化现象显著，当a较大时，能量量子化不显著，能量基本连续7）波函数在全空间连续，但微商在x=0，a处不连续。第六十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日例6估算电子在下列无限深方势阱中的能级差，势阱宽度分别为：a1=10－9米，a2=10－2米。

M=9.1×10-31kg解：第六十三页，共一百三十五页，2022年，8月28日8）粒子在阱中各处出现的几率

第六十四页，共一百三十五页，2022年，8月28日6小结一维无限深方势阱中的粒子为束缚态基态能量不为零能量量子化粒子在阱壁上出现的几率为零。在势阱内部找到粒子的几率分布有起伏。第六十五页，共一百三十五页，2022年，8月28日7二维、三维无限深方势阱中的粒子第六十六页，共一百三十五页，2022年，8月28日三维无限深方势阱中的粒子波函数表面第六十七页，共一百三十五页，2022年，8月28日无限深方势阱有限深方势阱第六十八页，共一百三十五页，2022年，8月28日二一维谐振子1引言2确立势函数3建立定态薛定谔方程4求解5分析与讨论6结论重点:谐振子模型的意义

能量及波函数的特征

与经典情况的区别

第六十九页，共一百三十五页，2022年，8月28日1引言什么是谐振子为什么研究线性谐振子

任何体系在平衡位置附近的小振动，在选择适当的坐标之后，往往可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动；简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似。第七十页，共一百三十五页，2022年，8月28日2确立势函数3建立定态薛定谔方程第七十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日4求解第七十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日5讨论一维线性谐振子能量量子化条件：一维线性谐振子能级均匀分布；量子振子的概率密度与经典振子概率密度的区别第七十三页，共一百三十五页，2022年，8月28日经典振子的概率密度

设经典振子的振动周期为，在区间内，振子出现在内的时间为，则此时经典振子的概率为第七十四页，共一百三十五页，2022年，8月28日一维线性谐振子的概率密度第七十五页，共一百三十五页，2022年，8月28日第七十六页，共一百三十五页，2022年，8月28日经典振子的概率密度的曲线是U形的，而量子的则在一定范围内起伏。n越大，起伏越密集；当n较大时，两种曲线接近，n很大时，即能量很大时，量子振子的行为可由经典振子来代替；量子振子可能出现在经典振子不可能出现的地方。第七十七页，共一百三十五页，2022年，8月28日三氢原子中的电子引言确定势场建立定态薛定谔方程求解讨论结论重点:氢原子能量以及波函数的特征

氢原子核外电子的几率分布

第七十八页，共一百三十五页，2022年，8月28日1引言在自然界中，广泛碰到物体在中心力场中运动的问题。例如，地球在太阳的万有引力场中运动，电子在原子核的Coulomb场中运动等，无论在经典力学中或在量子力学中，中心力场问题都占有特别重要的地位，Coulomb场(以及屏蔽Coulomb场)在原子结构研究中占有持别重要地位。氢原子是最简单的原子，其薛定谔方程可以严格求解，根据所得出的能级和能量本征函数，可以解释氢原子光谱线的规律，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。第七十九页，共一百三十五页，2022年，8月28日2确定势场设电子质量远远小于原子核，假定原子核静止，将坐标原点选在原子核上，则电子的势能为：

电子在离核无穷远处的势能为零。中心力场球对称势场氢原子体系类氢体系Z为核电荷数第八十页，共一百三十五页，2022年，8月28日3建立定态薛定谔方程定态薛定谔方程为：

第八十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日4求解：1）坐标变换

2）分离变量

3）各方程求解

第八十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日1）坐标变换(1)第八十三页，共一百三十五页，2022年，8月28日2）分离变量(2)(3)(4)(5)第八十四页，共一百三十五页，2022年，8月28日3）用解析法解各方程(3)(4)(5)Φ方程的解Θ方程的解R方程的解第八十五页，共一百三十五页，2022年，8月28日磁量子数主量子数角量子数能量量子化条件波尔半径第八十六页，共一百三十五页，2022年，8月28日波函数径向波函数球谐函数第八十七页，共一百三十五页，2022年，8月28日一些径向波函数第八十八页，共一百三十五页，2022年，8月28日一些球谐函数第八十九页，共一百三十五页，2022年，8月28日第九十页，共一百三十五页，2022年，8月28日5讨论1)维数与量子数的关系：氢原子中的电子是三维波动问题，三维薛定谔方程有3组量子数，3个量子数代表一个确定的运动状态。量子数是在求解薛定谔方程的过程中自然产生的，其数学涵义就是本征值，而本征是固有的意思。也就是说，量子数是量子天然、固有的东西。

2)不同量子数的物理意义：

n：主量子数，反映了电子的能级和电子活动平均范围的大小。主量子数n越小，越小，系统越稳定，因此电子的活动平均范围越小，即越靠近原子核。

l：角量子数，反映了电子轨道运动的形状；

m：磁量子数，反映了电子轨道运动的角度。3)量子数之间的关系：当n值一定时，允许的l、m值组合起来共有n2个，即一个n值可以对应n2个不同的状态。我们称这n2个不同的状态为简并状态，而能级n的简并度为n2。第九十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日

简并度：第九十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日6氢原子核外电子的几率分布1)类氢问题核外只有1个电子，原子核的核电荷数，电子波函数可以很方便地通过氢原子波函数求得。只要将表2-1中所有的替换为，就能得到含Z个核电核的类氢问题的电子波函数。2)电子云：黑点较密处就是电子出现概率较大的地方。显然，越靠近中心(即原子核)，电子出现的概率越大，因此黑点也越密。电子云有时称为轨道。通常将l=0，1，2，3的轨道分别称为s、p、d、f轨道。n=n时，轨道数为n2

个。第九十三页，共一百三十五页，2022年，8月28日3)氢原子核外电子的概率分布电子波函数：称为为径向部分，而称为角度部分。由于波函数的这种划分，给几何分析带来很多方便。第九十四页，共一百三十五页，2022年，8月28日第九十五页，共一百三十五页，2022年，8月28日a）电子的径向分布概率设电子在核外厚度为dr的球壳空间内出现的概率为dω，则

称为径向概率密度或径向分布函数。第九十六页，共一百三十五页，2022年，8月28日l=0l=1第九十七页，共一百三十五页，2022年，8月28日例7当氢原子处于基态时，试求在何处电子的径向概率密度最大？解：氢原子基态的波函数为：第九十八页，共一百三十五页，2022年，8月28日b）电子的角度分布概率设电子在核外方向的立体角中出现的概率为dω，则角分布与

无关，即几率分布对Z轴是旋转对称的

称为角度概率密度或角度分布函数,第九十九页，共一百三十五页，2022年，8月28日l=0,m=0l=1,m=0,1l=2,m=0,1,2l=3,m=0,1,2,3第一百页，共一百三十五页，2022年，8月28日第一百零一页，共一百三十五页，2022年，8月28日4)S电子云的径向分布概率与角度分布概率近处的概率密度虽然较大，但因球面积很小，电子出现的总概率反而不如适当的远处。

(1)随着主量子数的增大，壳层离开原子核更远。

(2)随着主量子数的增大，壳层的厚度增大。

(3)壳层的概念对于非球对称的p、d、f

等电子仍然适用，而且上述两个规律仍然存在。

5)P电子云的径向分布概率与角度分布概率第一百零二页，共一百三十五页，2022年，8月28日7电子自旋1）提出电子自旋的实验根据第一百零三页，共一百三十五页，2022年，8月28日无磁场有磁场NS第一百零四页，共一百三十五页，2022年，8月28日2）关于自旋的主要结论a自旋是一种独立的运动形式，它不能用上述薛定谔方程描述。凡是电子都有自旋。b自旋运动也是量子化的，描述自旋的总自旋角动量L是一个特殊矢量，它在任意方向上的投影只可能取两个值。如在z轴上为

mz

称为自旋量子数，它只有1/2和-1/2两个数值(而L本身的量子数S总是1/2)。也就是说，由于自旋只有两种状态，通常将它们分别称为自旋向上或自旋向下。显然，这里的向上、向下只有状态不同的含义，而没有方向的含义。c除电子外，原子核、中子等都有自旋运动，而且都是量子化的。第一百零五页，共一百三十五页，2022年，8月28日四多电子原子结构1屏蔽效应1）概念2）被屏蔽电子与屏蔽电子3）屏蔽系数的变化规律a如果屏蔽电子在内层，而被屏蔽电子在外层，且层数差大于等于2，则屏蔽系数。b当层数差为1时，当外层的被屏蔽电子为s电子或

p电子时，；当外层的被屏蔽电子为d

电子或f电子时，。第一百零六页，共一百三十五页，2022年，8月28日4）徐光宪规则a对原子的外层电子：n+0.7l数值越大，能级越高；

b对正离子的外层电子：n+0.4l数值越大，能级越高。

5）轨道膨胀2核外电子排布泡利不相容原理能量最低原理洪特规则3原子结构与性能第一百零七页，共一百三十五页，2022年，8月28日例8计算K的4s电子的能量，同时计算类氢问题的4s电子能量，计算结果说明了什么？解：类氢问题中4s电子的能量：。

第一百零八页，共一百三十五页，2022年，8月28日§4量子力学中的力学量一力学量的算符二算符的基本数学性质三力学量算符的性质四算符的应用第一百零九页，共一百三十五页，2022年，8月28日一力学量的算符1经典力学中的力学量的平均值

设力学量F在状态中的观测值如下：力学量值：出现次数：测量总次数：

F的平均值：第一百一十页，共一百三十五页，2022年，8月28日如果为坐标x的连续函数(这里只考虑一维问题)，则称为x点的概率密度，因此在dx区间内，力学量出现的概率为，所以力学量的平均值为

对三维空间则有第一百一十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日2量子力学中坐标及坐标函数的力学量平均值量子力学中的概率密度为量子力学中坐标x、y、z的平均值，和以坐标为自变量的力学量的平均值如下坐标算符第一百一十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日根据海森堡原理，粒子的坐标和动量不可能同时准确测量。因此，上述公式不能用于求动量的平均值。三个动量分量平均值的表达式：动量算符动量平均值第一百一十三页，共一百三十五页，2022年，8月28日动能T

和总能量E

的平均值动能算符(标量算符)总能量算符(标量算符)

薛定谔方程可写成如下的简单形式角动量算符（矢量算符）第一百一十四页，共一百三十五页，2022年，8月28日例9当粒子处于一维无限深方势阱的基态时，试求：1）粒子坐标和坐标平方的平均值；2）动量和动量平方的平均值。第一百一十五页，共一百三十五页，2022年，8月28日二算符的基本数学性质1算符相等2算符相加3算符相乘4线性算符5厄米算符6算符的本征方程第一百一十六页，共一百三十五页，2022年，8月28日算符的数学概念：对任意函数u，施加某种运算后得到一个新的函数v，用表示这一运算，则，称为算符。第一百一十七页，共一百三十五页，2022年，8月28日1算符相等设算符和分别作用在任意函数u上，若得到的两个新函数和总是相等，则称算符与相等，即=。第一百一十八页，共一百三十五页，2022年，8月28日2算符相加3算符相乘1）不可对易算符2）可对易算符3）反对易算符第一百一十九页，共一百三十五页，2022年，8月28日4线性算符设有算符，、为两个任意函数，当

称为线性算符，其中、是任意常数。第一百二十页，共一百三十五页，2022年，8月28日5厄米算符设u、v为两个任意函数，如果算符满足则称算符为厄米算符。第一百二十一页，共一百三十五页，2022年，8月28日例10证明动量算符是厄米算符。例11证明动能算符是厄米算符例12证明不是厄米算符第一百二十二页，共一百三十五页，2022年，8月28日6算符的本征方程设有算符，u为某一函数，为常数。若