走进重高培优讲义数学八年级上册-(浙教版)

基础巩固篇I

第一讲认识三角形

思维导图

重难点分析

重点分析：

1.三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接而成的图形，是最简单、最基本

的几何图形，是学习其他几何图形的基础.

2.三角形的边的性质有：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这一性质可

用“两点之间线段最短”来说明，若三角形的两边长分别为a和b,那么第三边长c的取值

范围是Ia-b|<c<a+b.

3.三角形的角的性质有：三个内角的和为180°,三个外角的和为360°,每个外角等于与

它不相邻的两个内角的和.

4.三角形按边可以分为等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）和不等腰三角形，按角

可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.

难点分析：

1.判断三条线段能否组成三角形时，一般先确定最长的一条线段，然后将另外两条线段的和

与最长的一条线段作比较，如果两条线段的和大于最长的线段，则这三条线段可以组成三角

形，反之则不能.

2.三角形角的性质主要是关于角的等量关系，常应用于角度计算，解题时要注意把已知角和

未知角统一到一个三角形中.

例题精析

例1、有四条线段，长度分别为4cm,8cm,10cm,12cm,选其中三条组成三角形，试问

可以组成多少个三角形？

思路点拨：四条线段中选三条线段共有4种选法，可以将每种情况列举出来，再根据三角形

的三边关系进行判断，如果两条较短线段的和大于最长线段，则可以组成三角形.

解题过程：有3种情况可以组成三角形：①12cm,10cm,8cm；②12cm,10cm,4cm；

③10cm,8cm,4cm.

方法归纳：判断三条线段能否组成三角形分两步：（1）确定最长的一条线段；（2）检验两条较

短线段的和是否大于最长的线段.

易错误区：四条线段中选三条共有四种选法，用枚举法将各种情况列举出来，注意不重不漏.

例2、如图，在△ABC中，点D为AABC内一点，已知NBDC=100°,Zl=30°,Z2=20°,

求/A的度数.

思路点拨：要求NA的度数，只需要求出/ABC+NACB的度数.根据NBDC=100°,利用三角

形的内角和定理可求出/DBC+/DCB的度数，从而可求得NABC+/ACB的度数.

解题过程：VZBDC=100°,且NDBC+NDCB+NBDC=180°,

AZDBC+ZDCB=1800-NBDC=80°.

ZABC+ZACB=ZDBC+ZDCB+Z1+Z2=13O°.

又,.•/A+/ABC+/ACB=180°,

.\ZA=50°.

方法归纳：本题也可延长BD或CD分割aABC,然后利用三角形的内角和及外角的性质计算.

易错误区：本题NDBC与NDCB的度数不能确定，要把它们看成一个整体，即求它们的和.

例3、如图，在aABC中，已知点D,E,F分别是边BC,AD,CE上的中点，且SAB仔=1,求S

△ABC.

思路点拨：根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.

解题过程：•.♦点E是AD的中点，.—SAABD,SZ\ACE=-SAACO.

22

SAABB+SZ\ACE=-SAABC.SABCH=-SAABC.

22

:点F是CE的中点，；.SABE尸一SABCE=-SAABC.•,.S&\BC=4SzSBBF=4.

24

方法归纳：本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等

的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等.

易错误区：题中三角形面积的倍半关系比较复杂，注意三角形面积相等的条件.

例4、如图：⑴图1是一个五角星，求/A+/B+NC+ND+NE的度数;

⑵将图1中的点A向下移到BE上（如图2）,五个角的和有无变化？说说你的理由;

（3）将图2中的点C向上移到BD上（如图3）,五个角的和有无变化？说说你的理由.

思路点拨：要求/A+NB+NC+ND+/E,需要将这些角转化为一个三角形的内角或外角，如

图4,根据三角形的外角的性质可得NA+/C=/2,ZB+ZE=Z1,所以NA+NB+NC+/D+/

E=Z1+Z2+ZD,其他两个图形用同样的方法即可解决.

解题过程：(1)如图4,：/A+/C=N2,ZB+ZE=Z1,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=Z1+Z2+ZD.而Nl+/2+ND=180°,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=1800.

(2)不变，仍为180°,如图5,同(1)可证/CAD+NC=/2,ZB+ZE=Z1,

ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE=Z1+Z2+ZD=18O°.

(3)不变，理由同(2).

方法归纳：应用转化的数学思想，将问题转化为三角形的外角和内角的性质问题.

易错误区：本题中三个图形虽然有变化，但其中角之间的数量关系没有变化，解题时要抓住

图形中的三角形特征.图中角比较多，要注意理清数量关系，不要混淆.

例5、将一块直角三角板DEF放置在锐角aABC上，使得该三角板的两条直角边DE,DF恰好

分别经过点B,C.

图1图2图3

(1)如图1,若/A=40°,点D在AABC内,则/ABC+NACB=度，ZDBC+ZDCB=度，

ZABD+ZACD=度；

(2)如图2,改变直角三角板DEF的位置，使点D在aABC内，请探究/ABD+/ACD与/A

之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；

(3)如图3,改变直角三角板DEF的位置，使点D在AABC外，且在AB边的左侧，直接写

出/ABD,ZACD,/A三者之间存在的数量关系.

思路点拨：(1)根据三角形内角和定理可得NABC+/ACB=180°-ZA=140°,ZDBC+

ZDCB=180°-ZBDC=90°,进而可求出NABD+NACD的度数；(2)根据三角形内角和定理有

90°+(ZABD+ZACD)+ZA=180°,则NABD+NACD=90°-ZA；(3)由(1)(2)的解题思

路可得：ZACD-ZABD=90°-ZA.

解题过程：(1)答案为：140；90；50.

(2)/ABD+NACD与NA之间的数量关系为：ZABD+ZACD=90°-ZA.

证明：,在AABC中，ZABC+ZACB=180°-NA,在ADBC中，ZDBC+ZDCB=90°.

ZABC+ZACB-(ZDBC+ZDCB)=180°-ZA-900.

/.ZABD+ZACD=90°-ZA.

(3)•.,在aABC中，ZABC+ZBCD+ZACD=180°-ZA,

在ADBC中，ZABD+ZABC+ZBCD=90°,

AZACD-ZABD=180°-NA-90".

/.ZACD-ZABD=90°-ZA.

方法归纳：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答本题的关键是沟通外角

和内角的关系.

易错误区：题（3）直角的位置发生了变化，所以结论与题（2）有区别，要注意图形的变化.

探究提升

例、已知如图1,线段AB,CD相交于点0,连结AD,CB,我们把形如图1的图形称之为“8

字形”.如图2,在图1的条件下，ZDAB和NBCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD,

AB分别相交于点M,N.试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出NA,ZB,ZC,ND之间的数量关系：；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数有个；

（3）在图2中，若ND=40°,NB=36°,试求/P的度数；

（4）如果图2中ND和NB为任意角，其他条件不变，试问NP与/D,/B之间存在着怎样的

数量关系.（直接写出结论即可）

思路点拨：（1）根据三角形内角和定理即可得出/A+ND=/B+/C；（2）根据“8字形”的定

义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个：（3）先根据“8字形”中的角的规律及角平

分线的定义可得NP与/D,/B之间的数量关系，进而求出NP的度数；（4）由（3）可得.

解题过程：⑴NA+ND=NB+NC

（2）6

（3）由（1）得，ZDAP+ZD=ZDCP+ZP,ZPAB+ZP=ZPCB+ZB,

/.ZDAP-ZDCP=ZP-ZD,ZPAB-ZPCB=ZB-ZP.

又•；AP,CP分别平分NDAB和/BCD,

ZDAP=ZPAB,ZDCP=ZPCB.

AZP-ZD=ZB-ZP,即2NP=NB+/D.

.,.ZP=（40°+36°）4-2=38".

（4）2ZP=ZB+ZD.

方法归纳：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能

力.（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解

能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题.

易错误区：找基本图形“8字形”是本题难点及易错点，一般可以先确定“8字形”中的其

中一个三角形，然后根据“8字型”的特征找另一个与它相对应的三角形.

专项训练

拓展训练

A组

1.略

2.略

3.如图，在AABC中，ZACB=90°,沿CD折叠aCBD,使点B恰好落在AC边上的点E处.若

ZA=24°,则NBDC等于（）.

A.42°B.66°C,69°D.77°

B，―if-------〜亚第3题）4题）

4.如图是一块三角形木板的残余部分，量得NA=100°,ZB=40°,则这块三角形木板的另

外一个角是度.

5.略

6.略

7.如图，△ABC三边的中线AD,BE,CF交于点G,若SA械=12,则阴影部分的面积是.

k

B/一/FC（第7题）（第8题）

8.如图，BM是aABC中AC边上的中线,AB=5cm,BC=3cm,那么与ABCM的周长之差为

cm.

9.略

10.如图所示,已知DFJ_AB于点F,ZA=40°,ND=50°,求NACB的度数.

A

zl

BCD

（第10题）

11.如图,在△ABC中,ZA=ZABC,直线EF分别交aABC的边AB,AC和CB的延长线于点D,

E,F.

(1)求证：ZF+ZFEC=2ZA；

(2)过点B作BM/7AC交FD于点M,试探究NMBC与NF+NFEC的数量关系，并证明你的结

论.

1B（

（第11题）

12.略

13.如图，AABC的两条中线相交于点F,若AABC的面积是45cm2,则四边形DCEF的面积是

().

A.30cm'B.15cmJC.20cm'D,不能确定

父

BDCr（第13题）B%（第14题）EX，（第16题）

14.如图，在△ABC中，ZA=52°,NABC与NACB的平分线交于点D”NAB»与/ACDi的平

分线交于点D”依次类推，/ABD”与/ACD,的平分线交于点Ds,则/BD5c的度数是().

A.60°B.56°C.94°D.68°

15.略

16.如图，点G是aAFE的两外角平分线的交点，点P是4ABC的两外角平分线的交点，点F,

C在AM上，又点B,E在AN上，如果/FGE=66°,那么/P=.

17.略

18.aRtAABC中，zX=90°,点D,E分别是边AC,BC上的点，点P是一动点，令/PDA=/1,

ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

(1)若点P在线段AB上，如图1,且/a=50。，则Nl+/2=；

(2)若点P在边AB上运动，如图2,则Na,/1,N2之间的关系为；

(3)如图3,若点P在斜边BA的延长线上运动(CEVCD),请写出/a,/I,N2之间的

关系式，并说明理由.

p―^图］A图3

(第18题)

走进重高

1.【绵阳】如图，在4ABC,ZABC,ZACB的平分线BE,CD相交于点F,ZABC=42°,

ZA=60°,则NBFC等于().

A.118°B.119°

2.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E,如果4CDE的面积为3,ZSBCE的面积

为4,4AED的面积为6,那么aABE的面积为（）.

A.7B.8C.9D.10

3.略

4.略

5.【临海】如图，若/B=40°,A,C分别为角两边上的任意一点，连结AC,NBAC与NACB

的平分线交于点Pi,则NP产,D,F也为角两边上的任意一点，连结DF,ZBFD

与NFDB的平分线交于点P2……按这样的规律，则NP2。所.

6.如图是一张三角形纸片ABC,其中NA=NC.

（1）把4ABC纸片按如图1所示折叠，使点A落在AC边上的点F处,DE是折痕，说明BC〃DF；

（2）把AABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时（如图2）,探索NC与/1+N2

之间的大小关系，并说明理由；

（3）当点A落在四边形BCED夕卜时（如图3）,NC与Nl,N2的关系是.

（直接写出结论）

（第6题）

高分夺冠

1.如图，在4ABC中，已知点P,Q分别在边AC,BC上,BP与AQ相交于点0,若△BOQ,AAB0,

△AP0的面积分别为1,2,3,则△PQC的面积为（）.大

皿A

B.22.5%、

C.23B邛——

D.23.5（第1题）

2.将长度为25cm的细铁折成边长都是质数（单位：cm）的三角形，若这样的三角形的三边的

长分别是a,b,c,且满足aWbWc,则（a,b,c）有组解，所构成的三角形都

是三角形.

3.已知AABC中，/A=a.如图1,ZB,ZC的平分线交于点0”则可计算得NB0£=90°+-a；

2

如图2,ZB,/C的两条三等分角线分别对应交于点0.02,则/B0£=；请你猜

想，当NB,NC同时n等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于点6,02,0；如图2,

ZB,NC的两条三等分角线分别对应交于点0”则NB0£=；请你猜想，当NB,NC同

时n等分时,（n-l）条等分角线分别对应交于点0,02,…,0向,如图3,则NB0eC=（用

4.如图，点D,C,G在同一直线上，BE平分/ABD交AC于点E,CF平分NACG,BE延长线

与CF相交于点F,若NBDC=160°,ZA=100°,则/F=度.

5.已知aABC的面积是60,请完成下列问题：

（1）如图1,若AD是AABC的BC边上的中线，则4ABD的面积（填或“="）

△ACD的面积；

（2）如图2,若CD,BE分别是AABC的AB,AC边上的中线，求四边形AD0E的面积可以用

=

如下方法：连结A0,由ADDB得：SAAM=SABD0,同理：SACE0=SAAH>.设SABKFX,SACE0=y,贝！ISAAD0=X>

S=X,SAAEO-y.由题意得：SAABE=—S^ABC=30,SiAI）C=—SAABC=BO,可列方程组为：，,

22[x+2y=30,

解得,通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为；

（3）如图3,AD:DB=1：3,CE：AE=1：2,请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由.

（第5题）

第二讲命题与证明

思维导图

重难点分析

重点分析：

1.利用命题的定义来判断语句是否为命题，关键看语句是否为一个判断句，对一个命题，要

准确找出命题的题设和结论部分，并写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后

写题设，“那么”后写结论.

2.判断一个命题是真命题，主要依据已知的定理、公理或相关数学性质，而判断一个命题是

假命题，只要举一个反例即可.

3.证明一个命题，要根据题意，分析命题的条件和结论，有条理的写出证明过程，证明的每

一步都要有依据，这些依据可以是定义、定理、公理、已知等.

4.反证法的基本步骤：（1）假设，否定待证命题的结论；（2）推理导出矛盾；（3）肯定原命题

的结论.

难点分析：

1.探求证明的途径，一般有两种思考方法：一种是从已知出发，推出可能的结果，并与要证

明的结论作比较，直至得到要证明的结论，另一种是从要证明的结论出发，探索要使结论成

立的条件，并与已知对照，直至找到所需要并己知的条件.对于比较复杂的证明，常常把这

两种思考方法综合运用，称为分析综合法.

2.有以下特征的命题宜用反证法证明：（1）结论涉及唯一性；（2）结论涉及“至多或至少”；

（3）结论为否定形式；（4）结论涉及无限形式等.

3.作辅助线是证明命题常用的手段，要会作简单的辅助线解决证明题.常见的辅助线有：分

割图形，作平行线，截长可补短等.

例题精析

例1、把下列命题写成“如果……，那么……”的形式.

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）周长相等的两个三角形全等；

（3）等角的补角相等.

思路点拨：先找出命题的题设和结论，然后改写成“如果……，那么……”的形式.其中“如

果”后面跟命题的题设，“那么”后面跟命题的结论.

解题过程：（1）如果两条平行线被第三条直线所截，那么所得的同位角相等.

（2）如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等.

（3）如果两个角分别是两个相等角的补角，那么这两个角相等.

方法归纳：将命题改写成“如果……，那么……”的形式更容易分清命题中的条件和结论.

易错误区：第（3）题的结论是两角相等，所以条件应该是满足何种条件的两角，为了命题的

证明方便一般不改写成“如果两个角相等，那么它们的补角相等”.

例2、（1）如图,若N1=N2,则AB〃CD,试判断命题的真假:（填

“真”或"假”）;

（2）若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你

再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由.

思路点拨：（1）利用平行线的判定方法进而判断即可；（2）利用平行线的性质结合判定方法

添加合理的条件.

解题过程：（1）假

（2）添加条件：BE/7DF,则NEBD=NFDN.

又AZABD=ZCDN.AABCD.

方法归纳：本题主要考查了命题与定理以及平行线的判定，正确把握平行线的判定方法是解

题关键.

易错误区：注意本题是添加条件而不是修改条件，切不可把原来的条件改掉.

例3、在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小胡和小杜分别给出了下列证法.

小胡：在△ABC中，延长BC到点D（如图1）.

•；/ACD=/A+NB（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.

又,.,/ACD+NACB=180°（平角定义）,

ZA+ZB+ZACB=180°（等量代换）.

B不"图］B七图2

小杜：在ZkABC中,作CDJ_AB于点D（如图2）.

•.'CDJLAB（已知），

.,.ZADC=ZBDC=90°（直角定义）.

AZA+ZACD=90°,ZB+ZBCD=90°（直角三角形两锐角互余）.

ZA+ZACD+ZB+ZBCD=180°（等量加等量和相等）.

AZA+ZB+ZACB=180°.

请你对上述两名同学的证法给出评价，并另给出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理

的方法.

思路点拨：两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”

与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导得到的，这种用结论来说明的错

误称为“循环论证”，不符合推理论证的逻辑规律.

解题过程：评价：两位同学都巧妙地通过作辅助线将问题转化，作辅助线

的思路对解题有帮助，但证明过程用到的理论依据是由本命题的结论推导

出来的，所以证明方法不正确，

陷入了“循环论证”的错误之中.图3

正确的证法如下：如图3,

过点A作直线MN,使MN〃BC.

VMN/7BC,.*.ZB=ZMAB,/C=NNAC（两直线平行，内错角相等）.

VZMAB+ZNAC+ZBAC=180°(平角定义)，

AZB+ZC+ZBAC=180°(等量代换).

方法归纳：要证明三角形的内角和等于180°,即三角形三个内角的和是平角，可以通过作

辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和.平行线是几何证明中常

用的辅助线.

易错误区：“循环论证”是初学几何证明者比较容易出现的一种错误，即用命题的结论推导

得到的性质来证明命题本身，做证明题时对每一步的说理依据要认真考证，以避免出现“循

环论证”.

(1)在图1中，作/BAC的平分线AD,分别交CB,BE于点D,F,求证：ZEFD=ZADC；

(2)在图2中，作AABC的外角NBAG的平分线AD,分别交CB,BE的延长线于点D,F,试

探究(1)中结论是否仍成立？为什么？

思路点拨：(1)首先根据角平分线的性质可得/BAD=NDAC,再根据内角与外角的性质可得

ZEFD=ZDAC+ZAEB,ZADC=ZABC+ZBAD,进而得到NEFD=NADC；(2)首先根据角平分线

的性质可得NBAD=NGAD,再根据等量代换可得/FAE=NBAD,然后再根据内角与外角的性质

可得NEFD=NAEB-NFAE,ZADC=ZABC-ZBAD,进而可得NEFD=NADC.

解题过程：(1)；AD平分/BAC,.-.ZBAD=ZDAC.

ZEFD=ZDAC+ZAEB,ZADC=ZABC+ZBAD,

又：NAEB=NABC,ZEFD=ZADC.

(2)探究(1)中结论仍成立.

理由：；AD平分/BAG,ZBAD=ZGAD.

ZFAE=ZGAD,，ZFAE=ZBAD.

ZEFD=ZAEB-ZFAE,ZADC-ZABC-ZBAD,

又•.•/AEB=NABC,.*.ZEFD=ZADC.

方法归纳：本题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相

邻的两个内角的和.

易错误区:利用三角形外角的性质要注意找准三角形及相应的内角，看清并读懂图形很重要.

例5、在aABC中，BO平分NABC,点P为直线AC上一动点，POJ_BO于点0.

(1)如图1,当/ABC=40°,ZBAC=60°，点P与点C重合时，ZAP0=

(2)如图2,当点P在AC的延长线上时，求证：ZAP0=-(ZACB-ZBAC)；

2

(3)如图3,当点P在边AC上如图所示位置时，请直接写出/APO与/ACB,NBAC之间的

等量关系式.

思路点拨：(1)根据三角形的内角和定理求出NACB,再根据角平分线的定义求出NOBC,然

后求出/OCB,再根据/APO=/ACB-NOCB计算即可得解；(2)作射线A0,根据三角形的一

个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得/4=N1+N2,Z3=Z5+ZP,从而得到

Z3+Z4=Z1+Z2+Z5+ZP,再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义用/ACB和

NBAC表示出/2,代入整理即可得解；(3)用NACB和NBAC表示出NOBC,然后根据三角

形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解.

解题过程：(1)VZABC=40°,ZBAC=60°,

.-.ZACB=1800-ZABC-ZBAC=180°-40°-60°=80°.

；BO平分/ABC,AZOBC=-ZABC=20°.

2

VPO±BO,.,.Z0CB=90°-Z0BC=90°-20°=70°.

AZAP0=ZACB-Z0CB=80°-70°=10°.

(2)如图4,作射线AO.

则N4=/l+/2,Z3=Z5+ZP,

Z3+Z4=Z1+Z2+Z5+ZP.

VP01B0,；./3+N4=90°.

.,.Z1+Z2+Z5+ZP=9O°,即NBAC+N2+NP=90°.

；B0平分NABC,.*.Z2=-ZABC.

2

ZABC+ZBAC+ZACB=180°,

AZABC=180°-ZBAC-ZACB.

.♦.N2=12(180°-ZBAC-ZACB).

ZAP0=90°-ZBAC-Z2=900-ZBAC--(1800-ZBAC-ZACB)(ZACB-ZBAC).

22

(3)；B0平分/ABC,AZAB0=12(180°-ZBAC-ZACB).

VP01B0,AZAP0=90°+(ZABO+ZBAC)=90°+-(180°-ZBAC-ZACB)+ZBAC=180°+-

22

(ZBAC-ZACB),即/AP0=180°+-(ZBAC-ZACB).

2

方法归纳：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，难度中等，熟记性质并准

确识图是解题的关键.

易错误区：本题中涉及的角较多，要准确表示出各角度之间的等量关系，运用三角形外角的

性质时要注意对应的角度关系不要混淆.

探究提升

例、如果一个数能表示成x?+2xy+2y“X,y是整数)，我们称这个数为“好数”.

⑴判断29是否为“好数”；

⑵写出1,2,3,…，20中的“好数”；

(3)如果m,n都是“好数”,求证：mn是“好数”.

思路点拨：⑴根据x?+2xy+2y2=(x+y)2+y2可以得到好数特征，根据“好数”定义判断29是

否为“好数”；(2)根据好数的定义判断1,2,3,…，20中的“好数”；(3)设m=x2+2xy+2y，

n=p2+2pq+2q)化简得至mn=L(x+y)(p+q)+qy]2+Lq(x+y)-y(p+q)]2,令u+v=(x+y)(p+q)+qy,

v=q(x+y)-y(p+q),于是可以判断出mn为“好数”.

解题过程：(Dx2+2xy+2y2=(x+y)2+/,

特征：“好数”就是两个整数的平方和，

而29=5.22,故29是“好数”.

(2)1,2,3,20中的“好数”有1,2,4,5,8,9,10,13,16,17,18,20.

(3)m=x2+2xy+2y2,n=p'+2pq+2q2.

则mn=(x'+2xy+2y‘)(p'+2pq+2q‘)

=[(x+y)WJ[(p+q)Vl

=[(x+y)(p+q)+qy]2+[q(x+y)-y(p+q)]2,

令u+v=(x+y)(p+q)+qy,v=q(x+y)-y(p+q).

那么mn=(u+v)2+V2=U'+2UV+2VJ,

；x,y,p,q均为整数，...(x+y)(p+q)+qy,q(x+y)-y(p+q)也为整数.

Au+v,v为整数.••.u,v为整数.为“好数”.

方法归纳：本题是代数证明题，解答本题的关键是掌握“好数”的定义，并能将此定义作为

依据利用完全平方式的知识进行推理证明.

易错误区：题(3)中代数式的变形是本题难点，要注意正确利用完全平方式对式子进行恒等

变形.

专项训练

拓展训练

A组

1.略

2.下列命题中，正确的是().

A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

B.相等的角是对顶角

C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

D.和为180°的两个角叫做邻补角

3.略

(第4题)

4.如图，点A,B,C,D,E,F是平面上的6个点，则NA+/B+NC+ND+NE+/F的度数是（）.

A.180°B.360°C.540°D.720°

5.略

6.略

7.如图，已知AB〃CD,Zl=50°,Z2=110°,则N3=.

(第7题)(第8题)

8.如图，CD,CE分别是AABC的高和角平分线,ZA=30°,ZB=60°，则NDCE=

9.如图，有三个论断：①/1=/2；②NB=/D；③NA=NC.请从中任选两个作为条件，另一

个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性.

（第9题）

10.略

11.如图，已知NEGF=/E+/F,求NA+/B+/C+ND的度数.

（第11题）

B组

12.略

13.如图，BE是NABD的平分线，CF是/ACD的平分线，BE与CF交于点G,若/BDC=140°,

NBGC=110°,则/人为（）.

A.70°B.75°C.80°D.85°

（第13题）（第14题）

14.如图，AB1AC,CD,BE分别是aABC的角平分线，AG〃BC,AG1BG,下列结论：①/

BAG=2ZABF；②BA平分NCBG；③/ABG=NACB；④NCFB=135°.其中正确的结论是（）.

A.①③B.②④C.①③④D.①②③④

15.略

16.略

17.在学习中，小明发现：当n=l,2,3时，nJ6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任

意正整数时，n?-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.

18.探究发现

探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一

个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

如图1,ZFDC,ZECD为4ADC的两个外角，贝U/A与/FDC+/ECD的数量关系为.

探究二：在四边形ABCD中，ZF为四边形ABCD的内角NABC的平分线及外角NDCE的平分

线所在的直线构成的锐角，设/A=a,ZD=P.

(1)如图2,若a+B>180°,求NF；(用a,B表示)

(2)如图3,若a+P<180°,请在图中画出/F,并求/F=；(用a,B表示)

(3)一定存在NF吗？如有，直接写出NF的值，如不一定，直接指出a,B满足什么条

件时，不存在/F.

走进重高

1.略

2.如图，把AABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记/AEB

为/I,ZADC为N2,则下列NA,Z1与N2的数量关系中，正确的是().

A.Z1=Z2+ZA

B.Z1=2ZA+Z2

C.Z1=2Z2+2ZA

D.2Z1=Z2+ZA(第2题)

3.略

4.在A,B,C三个盒子里分别放一些小球，小球数依次为a。,bo,co,记为G0=(a。，bo,c0).

游戏规则如下:若三个盒子中的小球数不完全相同，则从小球数最多的一个盒子中拿出两个,

给另外两个盒子各放一个(若有两个盒子中的小球数相同,且都多于第三个盒子中的小球数,

则从这两个盒子序在前的盒子中取小球)，记为一次操作.若三个盒子中的小球数都相同，游

戏结束，n次操作后的小球数记为G,=(a„,b,„c„).

(1)若G产(5,8,11),则第次操作后游戏结束；

(2)小明发现：若G0=(1,5,12),则游戏永远无法结束，那么麻方.

5.如图，在AABC中，AD1BC,AE平分/BAC.

(1)若/B=30°,ZC=70°,求NDAE的度数；

(2)在4ABC中，若/B=a,ZC=P(a<p),请你根据(1)问的结果大胆猜想NDAE

与a,B间的等量关系，并说明理由.

6.已知△ABC,aDEF是两个完全一样的三角形，其中/ACB=NDFE=90°,ZA=ZD=30°.

(1)将它们摆成如图1的位置(点E,F在AB上，点C在DF上，DE与AC相交于点G).

求NAGD的度数；

(2)将图1的4ABC固定，把aDEF绕点F按逆时针方向旋转n°(0<n<180).

①当ADEF旋转到DE〃AB的位置时(如图2),n=；

②若由图1旋转后的EF能与AABC的一边垂直，则n的值为.

(第6题)

高分夺冠

1.如图，A,B,C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上穿有三个大小不同的圆片，下面

的直径总比上面的大.现想将这三个圆片移动到B柱上，要求每次只能移动一片（叫移动一

次），被移动的圆片只能放入A,B,C三根立柱之一，且较大的圆片不能叠在较小的圆片上

面，那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是（）.

A.6B.7C.8D.9

2.如图，^ABC内有三个点D,E,F,分别以A,B,C,D,E,F这六个点为顶点画三角形，

如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么这些三角形的所有内角之和为

（）.

A.360°B.900°C.1260°D.14400

3.如图，平面镜A与B之间夹角为120。，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反

射出去，若/1=N2,则/1=度.

4.（1）阅读理解:如图1是二环三角形，可得S=/Ai+NAz+…+/Ae=360°.

理由:连结A向.

o

VZl+Z2+ZAl0A.1=l80,ZA5+ZA6+ZA5OA6=180°,

又：ZA.OAFZAJOAS,Z1+Z2=ZA5+ZA6.

O

VZA2+Z3+Z1+Z2+Z4+ZA3=360,

O

AZA2+Z3+ZA5+ZA«+Z4+ZA3=360,即$=360°.

（2）延伸探究：

①如图2是二环四边形，可得S=/Ai+NAz+…+/A8=720°,请你加以证明；

②如图3是二环五边形，可得S=，聪明的你，请根据以上的规律直接写出二环n

边形（n23的整数）中，S=度.（用含n的代数式表示最后的结果）

图2

（第4题）

第三讲全等三角形

思维导图

重难点分析

重点分析：

1.能够完全重合的两个三角形全等，全等三角形对应边相等、对应角相等.

2.三角形全等的条件有:SAS（边角边）、SSS（边边边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）.

3.角平分线上的点到角两边的距离相等，线段中垂线上的点到线段两端的距离相等.

难点分析：

1.找全等三角形的关键在于确定对应边、对应角，找对应边、对应角常用的方法有：公共边

或公共角一般是对应边或角；对顶角、角平分线、直角等得到的等角一般是对应角；最大（或

最小）的边或角是对应边或角；对应边的夹角是对应角，对应角的夹边是对应边；书写全等

时顶点字母要对应，便于我们找对应的边和角.

2.注意边边角（两边及一角对应相等）不能判定两个三角形全等，这是本节内容的易错点.

3.注意借助常见的全等基本图形以及对称、平移、旋转等变换来确定图形中的全等三角形.

例、如图，已知点A,E,F,（:在一条直线上，4AED丝ACFB,你能得出//

哪些结论？（答出5个即可，不需证明）8乙士）

思路点拨：根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等即可解答.

参考答案：AD=CB,AE=CF,ED=FB,ZADE=ZCBF,ZAED=ZCFB,NEAD=NFCB等.

方法归纳：本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角、对应边是解答本题的关键.

如果再根据全等三角形的判定定理，图形中还能再找出两对全等的三角形.

易错误区：要正确找出两个全等三角形的对应边和对应角，除了利用图形直观判断外，还要

能应用“AAED丝Z\CFB”中字母的对应关系来确定对应边及对应角.

例2、如图，已知点B,F,C,E在同一直线上，并且BF=CE,ZB=ZE.

（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使得aABC/Z^DEF.你添加的

条件是：;

（2）添加了条件后，请证明△ABCgADEF.

思路点拨：（1）根据全等三角形的判定定理AAS可以添加条件NA=/D；根据ASA可以添加条

件NACB=/DFE,根据SAS可以添加条件AB=DE；（2）根据题意可得BC=EF,再根据全等三角

形的判定定理即可证明结论.

解题过程：（1）/A=/D（或/ACB=/DFE,AB=DE）.

（2）以添力口NA=ND为例证明：VBF=CE,；.BF+FC=EC+FC,即BC=EF.

ZA=ND,

在aABC和aDEF中，＜ZB=NE,.,.△ABC丝△DEF(AAS).

BC=EF,

方法归纳：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，关键是理解全等三角形的判定定理,

全等三角形的判定定理是SAS,ASA,AAS,SSS.

易错误区：增加边相等的条件时，不可添加AC=DF,因为“SSA”不能判定两个三角形全等.

例3、如图，点C在线段AB上,AD〃EB,AC=BE,AD=BC.CF平分NDCE.求

证：

(1)AACD^ABEC；

(2)CF1DE.

思路点拨：(1)根据平行线的性质得出NA=NB,再根据SAS即可证明全等；(2)根据全等

三角形的性质推出CD=CE,根据角平分线的定义即可证明4DCF丝Z\ECF,从而可证结论.

解题过程：证明：(1)VAD^BE,.,.ZA=ZB.

AD^BC,

在Z\ACD和△BEC中,VZA=ZB,：.AACD^ABEC(SAS).

AC=BE.

(2)VAACD^ABEC,.*.CD=CE.又：CF平分NDCE,AZDCF=ZECF.

CD=CE,

在ADCF和4ECF中，：(ZDCF=ZECF,：.ADCF^AECF(SAS).

CF=CF

/.ZCFE=ZCFD=90"..\CF±DE.

方法归纳：本题考查了平行线的性质、全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应边相等，对应角相等.

易错误区：证明两个三角形全等需要三个条件，每个不是直接的已知条件都要先证明.

例4、如图，已知RtZXABC丝RtZ\ADE,NABC=/ADE=90°,BC与/7\\

DE相交于点F,连结CD,EB.

(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；

(2)求证：CF=EF.0

思路点拨：(1)可以从条件出发，根据图形特征，利用全等三角形知识进行探索；(2)实际上

就是要求证明(1)中列举出来的与CF,EF有关的那组全等三角形.

解题过程：(1)Z\ADC丝Z\ABE,ACDF^AEBF.

(2)证法一：；RtZ\ABC畛RtZ\ADE,；.AC=AE,AB=AD,ZCAB=ZEAD.

ZCAB-NDAB=/EAD-/DAB,即NCAD=ZEAB.

.,,△ACD^AAEB..\CD=EB,ZADC=ZABE.

又/ADE=ZABC,/CDF=ZEBF.

,

又•.,NDFC=NBFE,AACD