补充自动控制原理chapter

1第八章

非线性系统理论8.1引言8.2典型非线性特性的数学描述

及其对系统性能的影响8.3描述函数法8.4相平面法28.1引言

8.1.1非线性系统特点8.1.2研究非线性系统的意义与方法38.1.1非线性系统特点非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点：

1.线性系统满足叠加原理，非线性控制系统不满足叠加原理。

带滤波器的非线性系统

4

例：对由非线性微分方程

描述的非线性系统，有两个平衡点，x1=0和x2=1。将上式改写为2.非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关。5设t＝0时，系统的初态为x0。积分上式可得

一阶非线性系统

x(t)t106

3.非线性系统可能存在自激振荡现象4.非线性系统在正弦信号作用下，输出存在极其复杂的情况：跳跃谐振与多值响应(1)跳跃谐振和多值响应

如图所示为非线性弹簧输出幅频特性。

7(2)分频振荡和倍频振荡

非线性系统在正弦信号作用下，稳态分量除产生同频率振荡外，可能产生倍频振荡和分频振荡。波形如图所示：倍频振荡与分频振荡88.1.2研究非线性系统的

意义与方法

1.研究非线性系统的意义

1)实际控制系统，存在大量非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。2)非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。9

1)相平面法用图解方法分析一阶，二阶非线性系统。通过绘制控制系统相轨迹，分析非线性系统特性。

2)描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。3)计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。2.研究非线性系统的方法108.2

典型非线性特性的数学描述

及其对系统性能的影响8.2.1饱和特性

8.2.2死区特性

8.2.3间隙特性

8.2.4继电特性118.2.1饱和特性电子放大器中常见一种非线性，如图所示，饱和装置输入特性数学描述如下：

饱和特性

xekbe0-e0128.2.2死区特性

死区特性也称为不灵敏区，如图所示。其数学描述如下：

死区特性

X(t)e(t)e0-e0k138.2.3间隙特性

如图所示，数学描述如下：间隙

e0-e0eb-bkkx148.2.4继电特性

使用继电特性时，有四种可供选择的形态，如图所示理想继电特性理想的继电特性15具死区的继电特性具死区的继电特性16具磁滞回环的继电特性具滞环的继电特性17具磁滞回环和死区的继电特性

具磁滞回环和死区的继电特性188.3描述函数法8.3.1描述函数的概念8.3.2典型非线性的描述函数8.3.3

多重非线性的描述函数8.3.4

用描述函数法分析非线性系统198.3.1描述函数的概念描述函数适用于具有以下特点的非线性系统。1.

系统线性部分和非线性环节可以分离。如图所示，图中NL为非线性环节，G为线性部分的传递函数。非线性系统典型结构202.非线性特性具奇对称特性，且输入输出关系为静特性。

3.线性部分应具良好的低通滤波特性。满足以上条件，描述函数可定义为非线性环节输出基波分量与输入正弦量的复数比。假定，给非线性环节的输入为正弦量

21一般情况下，输出为周期函数，展开成傅立叶级数式中，非线性为奇对称特性，所以A0＝022取基波分量，有则基波分量为23式中描述函数

描述函数是输入振幅A的函数，是一个可变增益的放大系数。

248.3.2典型非线性的描述函数

1.

饱和特性饱和特性输入

饱和特性及输入输出波形X(t)X(t)ttke(t)e(t)25当A>a时，饱和特性输出x(t)为式中输出波形为奇函数

A1＝0,26饱和特性描述函数求得如下：

272.死区特性当输入时，非线性特性输入输出波形如图所示。

死区特性及输入输出波形

X(t)X(t)e(t)e(t)ttk.-aa28输出为奇函数，A1＝0

，

由图所示，当时，且A>a，式中,死区输出为29死区描述函数30e(t)ta-akX(t)X(t)t间隙特性及输入输出波形

3.间隙31当输入时，由间隙数学描述可知，间隙输出x(t)为32式中33B1可求得间隙的描述函数N(A)为

3435x(t)maabe(t)e(t)x(t)4.继电特性具死区和磁滞回环继电特性及输入输出波形

36假定输入，继电特性输出为

式中,

37A1B1具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N(A)为

3839当a

＝

0

时，如图所示继电特性的描述函数为

理想继电特性40当m＝1，a≠0

时，如图所示具死区的继电特性的描述函数为

具死区继电特性41当m＝－1时，如图所示具滞环的继电特性的描述函数为

具滞环继电特性428.3.3多重非线性的描述函数1.串联非线性如图所示串联非线性的描述函数绝不等于两个非线性描述函数的乘积。

NL1NL2xyz串联非线性43假定图中NL1为死区非线性，NL2为饱和非线性，它们串联后复合非线性如图所示：XYZxyk1a1yzk2b1

(a)串联非线性

（b）复合非线性

XZk1k2a1a1+zx442.并联非线性并联非线性特性如图所示：

并联非线性

N(A)=N1(A)+N2(A)

NL1NL2xy1y2y++45例8-1:求如图所示非线性特性的描述函数。

多重非线性解：Y=X23X1X2X0Y++h-h显然，46求N1

(A)：

∴

求N2(A)：输入输出为线性关系

N2

(A)=3h2求N3(A)：

47因此，多重非线性的描述函数为

求N4

(A)：488.3.4用描述函数法分析非线性系统一非线性系统结构如图所示，假定输入为零，图中N(A)为非线性环节的描述函数，若,则

非线性系统G1N(A)G2HX1X2YR=0-49假定:如果等于X2(t)，意味着产生自激振荡，即：式中:则：50系统产生自激振荡的条件为乃奎斯特判据推广应用于非线性系统，可判断系统运动稳定性：线性部分为最小相位系统，若轨线不包围轨线，则系统是稳定的，若轨线包围轨线，则系统是不稳定的，若与相交，则意味着系统会产生自激振荡，51交点处曲线所对应的角频率为自激振荡的角频率，交点处所对应的幅值A为自激振荡的振幅值。下图所示与的相互关系曲线

52自激振荡的振幅和振荡频率由下面二式求得

曲线与曲线相互关系(c)ImImReRe(d)53例8-2一继电控制系统结构如图所示。继电器参数a＝1，b＝3，试分析系统是否产生自激振荡，若产生自激振荡，求出振幅和振荡频率。若要使系统不产生自激振荡，应如何调整继电器参数。

继电控制系统bar=054解：带死区的继电特性的描述函数为

ImRe55令,求得极值点将a＝1，b＝3

代入下式又令虚部为零求得56求得两个振幅值

A1

＝1.11，A2

＝

2.3

所以自激振荡的振幅为2.3，振荡频率为。为使系统不产生自激振荡，可令将代人实部求得令可求得继电器参数比57例8-3

已知一多环控制系统如图所示

多环控制系统58当G1(s)=1

时，该系统工作在饱和特性线性段时的无阻尼自然振荡频率，阻尼。当时，求使系统稳定的最小比。

解：

当G1(s)

＝1时，多环系统的闭环传递函数为：

∴

T1＋T2

＝

1

∴令59由于T1和T2参数未知，曲线有三种可能性，如图中虚线①、②、③，曲线也画在图中。

当时，由闭环系统的特征方程

1＋G(s)＝

0，可知：

60和曲线

为确保系统能稳定运行，我们所选择的参数T1和T2应能使曲线具有曲线3的形状。

ImRe61曲线3和曲线2、曲线1的最大区别在于它与负实轴没有交点。为此令的虚部等于零：

求得

只要

62而

T1

+T2=1

∴

于是，求得使系统稳定时的最小比值为

则所求值为虚数，即能确保曲线与负实轴没有交点。638.4相平面法

8.4.1

相平面图的基本概念8.4.2相轨迹及其绘制方法8.4.3奇点与极限环8.4.4用相平面法分析非线性系统64相平面法(Phase-planetechnique)是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一种用图解法用来求一阶、二阶微分方程的解它实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用，适合于研究给定初始状态的二阶自由系统和给定初始及非周期输入信号(阶跃、斜坡或脉冲信号等)的二阶系统。8.4.1相平面图的基本概念65二阶线性系统令x1=x,x2=x.设系统仅由初始条件激励66以相变量x1和x2为坐标构成平面，称为相平面(phaseplane)。在相平面上，由(x1，x2)以时间为参变量构成的曲线，称为相轨迹(phasetrajectory)。ACBx1=xx2=x.67对于二阶系统f(x,)x..x.+=0(x,)以x,为相变量，可得到相轨迹通过点的斜率x.x.x.=dxdx.f(x,)x.－8.4.2相平面图的绘制68x.a.关于轴对称即f(x,)是关于x的奇函数。x.x.=f(x,)x.f(-x,)x.－x.f(x,)x.=f(-x,)x.－或1、对称性一：相平面图的特点69b、关于x轴对称即f(x,)是的偶函数。x.x..f(x,-)x.x.=f(x,)x－x.f(x,)x.=f(x,-)x.或70c、关于原点对称即f(x,)=-f(-x,-)x.x..x.=f(x,)x－x.f(-x,-)x.－71奇点相平面上，同时满足=0和f(x,)=0的点。x.x.普通点相平面上不同时满足=0和f(x,)=0的点。x.x.2.奇点和普通点72所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。在x轴上，所有点都满足=0。除奇点外相轨迹在x轴上的斜率为x.x.=dxdx.f(x,)x.－=∞3.相轨迹通过x轴的斜率73在相平面的上半平面，系统状态沿相轨迹由左向右运动；在下半平面，系统状态沿相轨迹由右向左运动。系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示。4.相轨迹移动的方向74x.=g(x)二：绘制相平面图的解析法若系统的微分方程比较简单,对式x.=dxdx.f(x,)x.－直接积分,可求得相轨迹方程不能直接积分求解的话,可先求得x(t),

x(t).然后消去t,求得相轨迹方程。如果消t有困难或太复杂，则可求得不同t时的x(t),

x(t)，.据此数值关系画出相轨迹曲线75补充例题1试绘制二阶系统的相平面图解：系统方程改写为积分得相轨迹方程xx.0x076图解法是通过逐步作图的方法，不必解出微分方程，而把结果直接描绘在相平面上。常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。在等倾线法中，首先用等倾线来确定相平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相轨迹曲线。绘制相平面图的图解法——等倾线法(Isoclinemethod)77所有相轨斜率=常量a的点，构成了等斜率线即等倾线。dxdx./相轨迹的斜率方程为给定一组a值，可求得一组等倾线族。利用等倾线族，可以确定相平面中任意一点相轨迹的斜率。x.=dxdx.f(x,)x.－等倾线方程为x.a=-f(x,)x.78例：设系统方程为得等倾线方程：令=a

dxdx./x.a=-1a=-1.2a=-1.4a=-1.6a=-1.8a=-2a=-2.5a=-3a=-4a=-6a=-11a=9a=4a=2a=1a=0.5a=0a=-0.2a=-0.4a=-1xABCDE改写为：79补充例题2xx.解：

+a+x=0x..x.

-

a+x=0x..x.x.>0x.<0的相平面图求

+a||+x=0x..x.上半平面的等倾线方程：x.1a+a=-x80三：由相轨迹求时间响应曲线根据系统的相轨迹可以采用图解计算的方法，从相轨迹逐步求出时间信息，从而获得系统的时间响应曲线x(t)。这里我们介绍一种称为按平均速度求时间信息Dt的方法。由x.=dxdtx.=dxdt81ΔxBCΔxCDΔtCDΔtABΔtBCtΔxABxABCDxABCDΔxABΔxCDΔxBCx.CDx.BCx.ABx.82

8.4.3奇点与极限环相轨迹的斜率可表示为x.x.=dxdf(x,)x.－.x.+f(x,)x.=0在奇点处，相轨迹的斜率不确定，即同时满足x.=0f(x,)x.=0一、奇点(Singularpoint)二阶系统83二、奇点的类型只要在奇点邻域内满足线性化条件，则系统方程可表示为：f(x,)x.84(1)0＜x＜1jωσ两个实部为负的共轭复根系统的奇点为稳定焦点(Stablefocus)xx.85(2)0＞x＞-1两个实部为正的共轭复根jωσ系统的奇点为不稳定焦点(Unstablefocus)xx.86(3)x＞1两个负实根jωσ系统的奇点为稳定节点(Stablenode)xx.87(4)x＜-1两个正实根σjω系统的奇点为不稳定节点(Unstablenode)xx.88(5)x＝0两个实部为零的共轭复根系统的奇点为中心点(Center)xx.jωσ89两个异号实根jωσ(6)系统的奇点为鞍点(Saddlepoint)xx.90三、极限环极限环(limitcycle)是非线性系统所特有的自激振荡现象，在相平面图中表现为一个孤立的封闭轨迹。91(1)稳定极限环(2)不稳定极限环极限环内外的相轨迹曲线都从极限环发散。xx.极限环内外的相轨迹曲线都收敛于该极限环。xx.92xx.(3)半稳定极限环极限环分割的两个区域都是稳定的，或都是不稳定的。xx.93补充例题3分析如下系统的稳定性.x.x.+0.5+2x+x2=0解：x.=0f(x,)x.=0求得奇点(0,0)和(-2,0).x.x.+0.5+(2+2xi)x=0在(xi,0)奇点附近，系统的线性化方程为24-224-4xx.在奇点(-2,0)处，系统的线性化方程为.x.x.+0.5-2x=0在奇点(0,0)处，系统的线性化方程为.x.x.+0.5+2x=094例8-4

已知一非线性系统运动方程

分析系统的运动特性。

解：令

经整理，得到以极坐标变量r

和描述的运动方程

95当x1=

0,x2

=

0

时，为系统平衡点，下面分析一下该平衡点的类型。

特征方程的根为

96由于特征方程的根是一对具有正实部的共轭复根，奇点(0,0)为不稳定焦点，附近相轨迹为发散振荡如图所示。

当x12+x22

=1

时，在相平面上为一封闭相轨迹，下面分析该相轨迹性质。

97假定r<1

，取R1，由于

因此，封闭相轨迹内面的相轨迹向单位圆逼近。

假定r

>1

，取r

＝

R2

。

由式

因此，单位圆外面的相轨迹也向单位圆逼近。

988.4.4用相平面法分析

非线性系统一、继电型控制系统的分析根据非线性的线性分段情况，把相平面分成几个区域。在各区域内，求出相应的线性微分方程，做出各自的相平面图。根据连续性，将相邻区域的相轨迹彼此连接成连续曲线，即得非线性系统的相平面图。99Ks(Ts+1)+M-Mmecr元件特性为：当e＞0时,m=M;当e＜0时,m=-M.因此分界线为直线e=0。它把相平面分成两个线性区Ⅰ区、Ⅱ区。

eⅠe.ⅡA0

eⅠe.ⅡA1A2在区域Ⅰ内T+=-KMe..e.等倾线方程：e.-KM/Ta+1/T=e>0,m=M，系统方程为：在区域Ⅱ内T+=KMe..e.e<0,m=-M系统方程为：与T+=-KMe..e.其相平面图对称于原点比较,100M-MΔ-Δem若继电元件有滞环特性

在＞0时的平面内，分界线为e=+D。在＜0时的平面内，分界线为e=-D。它们把相平面分为两部分。e&e&eⅠⅡe.其右半平面，系统在+M信号作用下，系统方程为：T+=-KMe..e.相轨迹为曲线族Ⅰ。其左半平面，系统在-M信号作用下，系统方程为：T+=KMe..e.相轨迹为曲线族Ⅱ。101M-MΔ-Δem若继电元件有死区

当e＞D,m=+M当e＜-D,m=-M当-D＜e＜D,m=0元件特性为：分界线为e=+D和e=-D，它们将相平面分为三个区域eⅠⅡe.III在区域Ⅰ内T+=-KMe..e.在区域Ⅱ内T+=KMe..e.在区域Ⅲ内T+=0e..e.相轨迹斜率为：102二、非线性增益控制系统分析在线性系统中，增益的选择需要兼顾调节时间，超调量及振荡次数等性能指标。在线性系统中只能选取折中方案。若采用非线性校正，则可能得到较好效果。0321xt系统阶跃响应103Ks(Ts+1)mecrGNmt10e0-e0k系统方程可写为T+=Kmc..c.ke|

e

|<e0e|

e

|>e0m=e

=r-cT++

Km=e..e.T+r..r.104(一)阶跃响应分析

AⅡⅠe0e0e0BCDEFe.在区域Ⅰ内

T++kKe=0e..e.在区域Ⅱ内T++Ke=0e..e.105(二)斜坡响应分析

BAeⅡⅠCDEp1p20e0e0(b)kKe0＜V＜Ke0,R=0e.p2p1ABe0-e0eⅠⅡ(a)V＜kKe0,R＞e0

0e.T++kKe=V|

e

|<e0

e..e.T++Ke=V|

e

|<e0

e..e.106三、二阶时间—最优控制系统的分析及综合er时间最优控制器直流电动机Js1icc.crRitImax-Imaxc.电动机Mmax=KmImax

加速度Cmax=Mmax/J107设电动机的传递函数为Km/s,则i(t)=±Imax

=±JKm.c.Imax=JKm.c.i在r(t)=R作用下，t＞0时,系统的误差方程=JKm.e.Imax±相轨迹方程为其中K=J2KmImax2=K(e-e0)±e.108Q-Imax0A+ImaxA′B′BpⅠⅡee.109例8-5：如图所示非线性控制系统在t＝0时加上一个幅度为6的阶跃输入，系统的初始状态为，问经过多少秒，系统状态可到达原点。解：列写运动方程

继电控制系统s+1rex1uy-1102y=u..e+e>0e+e<0..又

y=-e....于是有

-0.5,e+e>00.5,e+e<0e=..111区域①：..e=-0.5e=-0.5+c1e=-0.25t2+c1t+c2.代入初始条件有e=-0.5te=-0.25t2+6e=-e2+6112e=-2,e=2区域②

：

e=0.5e=0.5t2+c3e=0.25t2