利用导函数画函数图像

本文格式为Word版，下载可任意编辑——利用导函数画函数图像本文介绍用查看函数图像的方法来理解其在不成导点的极值状况.函数；查看图像；不成导点；极值在高等数学一元微积分的内容里，函数在某x点的连续性、可导性和函数在该点是否存在极值这三者有如下结论，即函数在某x点不连续那么其在该点必不成导也无极值，因此本文仅就连续函数在不成导点的各种情形的极值状况举行探讨解读.

在高等数学教材中判断函数在某x0点的极值状况时，主要是根据函数在x0点两侧邻近区域内其导数的正、负状态来判断函数在该x0点是否取得极值.又由于函数在某x点的导数值即为其曲线在该x点切线的斜率值，而某区间上函数在x点的极大（小）值即为函数在该x点邻域内的最大（小）值，因此，根据导数理论和函数的极值概念，我们可以由函数曲线在不成导点x0两侧的切线与x轴的夹角处境，直观地判断出函数在x0点的极值状况.下面用图像举行解读.

一、x0点处左导数与右导数都存在但不相等的情形

根据导数理论，下面将由不成导点x0邻域内的、x0点左右邻近切线斜率的状况，直接在各图中给出函数极值的解读结果.

图1中，函数在x0点的左导数和右导数都存在但不相等，即x0点是不成导点（f′（x0）不存在）.而由于在x0点邻近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左正右负”状态，故f（x0）为极大值.

图2中，函数在x0点的左导数和右导数也都存在但不相等，即x0点也是不成导点.而由于在x0点邻近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左负右正”状态，故f（x0）为微小值.

图3中，函数曲线在x0点的右侧呈现直线外形，且函数在x0点的左导数和右导数也都存在但不相等，即x0点是不成导点.而由于在x0点邻近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左正右负”状态，故f（x0）是极大值.

图4中，函数在x0点的左导数和右导数亦都存在但不相等，即f′（x0）不存在.而由于在x0点邻近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左负右也负”，即“同负值”状态，故f（x0）不是极值.

下面各图中，用图1至图四的分析方法，读者可以自己得出图中文字标示的极值结论.

二、x0点处左导数与右导数中有一个不存在的情形

三、x0点处左导数、右导数都不存在的情形

在上面图11、图12中的x0点，函数的左导数和右导数均为无穷大（f′（x0-0）=∞、f′（x0+0）=∞），即该点是不成导点（f′（x0）=∞）.函数曲线的切线与x轴垂直，但在图11的函数曲线上呈现出：x0点左侧邻近的切线斜率大于0，x0点右侧邻近的切线斜率小于0；故根据导数理论，f（x0）为函数的极大值；而在图12中呈现出：x0点左侧邻近的切线斜率小于0，x0点右侧邻近的切线斜率大于0；故f（x0）为函数的微小值.

四、实例解读

下面再举两个实例来说明不成导点处切线斜率与函数极值的关系.

例1求函数y2=x=-xx0xx≥0的极值.

由上面知，左导数和右导数均不存在，x=0是不成导点.而由于在x=0点邻近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左负右正”状态，故f（0）=0=0为微小值.

例2、求函数y=sinxx≤π23π-2x2πx>π2的极值.

由上面知，左导数和右导数不相等，x=π2是不成导点.而由于在x=π2点邻近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左正右负”状态，故fπ2=sinπ2=1为极大值.

在上面例一的求解中得到一个结论，即还可以直接利用不成导点处左导数和右导数正负符号是否一致，来判断不成导点的极值状况.如例一中，在不成导点处函数的左导数为负值而右导数为正值，故可以判断例一中不成导点处的函数值为微小值.但假设在不成导点处，左导数和右导数中有一个值为0，那么不能根据不成导点处左导数和右导数正负符号的异同来判断不成导点的极值状况，这时需根据函数在x0点两侧邻近区域内其导数的正、负状态，来判断该x0点是函数的什么极值点.如例二的解答即说明这一点.

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