2018年数学专题03导数与应用分项试题（含解析）理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE32学必求其心得，业必贵于专精专题导数与应用一、选择题1．【2018河南省南阳一中三模】关于函数fxA。x=2是fx的极小值点B。函数y=fC.存在正实数k，使得fx>kx恒成立D.对任意两个正实数x1,x2【答案】C∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；f（x）＞kx，可得k＜2x2+ln令g(x）=2x2则g′(x)=-4+x-x令h（x)=﹣4+x﹣xlnx,则h′（x）=﹣lnx，∴(0，1）上，函数单调递增，（1，+∞)上函数单调递减，∴h（x)≤h（1）＜0,∴g′(x）＜0，∴g（x）=2x2+lnxx在（∴不存在正实数k，使得f（x)＞kx恒成立,即C不正确；对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0,2)上，函数单调递减，（2，+∞)上函数单调递增,若f（x1)=f（x2），则x1+x2＞4,正确．故选：C．2．【2018河南省洛阳市尖子生联考】已知函数f(x)=(ax+lnx)(x-lnx)-x2有三个不同的零点x1，xA。1-aB。a-1C.-1D.1【答案】D当x∈(0，1）时,g′（x）＜0；当x∈（1，e）时，g′(x）＞0；当x∈（e，+∞)时，g′（x）＜0．即g（x）在（0，1），(e,+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=xx-lnx-lnxx=1则a=11-μ﹣μ,即μ2+（a﹣1）μ+1﹣μ1+μ2=1﹣a＜0,μ1μ2=1﹣a＜0,对于μ=lnxx，μ′=则当0＜x＜e时,μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时,μ恒大于0．画其简图，点睛：先分离变量得到a=xx-lnx-lnxx，令g（x）=xx-lnx-lnxx．求导后得其极值点,求得函数极值,则使g（x)恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x)=xx-lnx-lnxx=11-lnxx-lnxx，再令μ=lnxx,转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着3．【2018浙江省温州市一模】已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是（）A。B.C。D。【答案】C4．【2018吉林省百校联盟九月联考】已知当时,关于的方程有唯一实数解，则距离最近的整数为()A。2B.3C.4D。【答案】B【解析】由可得：，令，则，令，则，由可得，函数h(x)单调递增，函数h(x）的最小值为，则存在满足h（x）=0，据此可得：距离最近的整数为3.本题选择B选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减)，求参数范围问题，可转化为f′（x)≥0(或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．5．【2018辽宁省大连八中模拟】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有,当时，.若,则实数的取值范围是()A。B.C。D。【答案】A6．【2018辽宁省辽南协作校一模】已知函数在上满足,则曲线在点处的切线方程是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由可得，即代入可得，即，故，则切线的斜率，因为,所以切线方程为，即，应选答案D.点睛：解答本题的关键是求出函数的解析表达式，求解时充分利用题设中提供的函数解析式方程，巧妙运用变量替换得到方程，即,然后代入解得，即，然后再运用导数的几何意义从而使得问题巧妙获解。7．【2018江西省红色七校联考】已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是A.B.C。D。【答案】C【解析】即当x=时,函数f(x）取得极大值,同时也是最大值f（)==,即当0〈x<时,f(x）〈有一个整数解1，当x〉时，0〈f(x）〈有无数个整数解，若a=0,则+af(x)〉0得>0，此时有无数个整数解，不满足条件。若a〉0，则由+af（x）〉0得f(x)>0或f(x）<−a，当f(x）〉0时，不等式由无数个整数解，不满足条件。当a〈0时，由+af（x）>0得f（x）〉−a或f(x）<0,当f（x）〈0时，没有整数解，则要使当f（x)>−a有两个整数解，∵f（1）=ln2,f(2)==ln2，f（3)=,∴当f（x)⩾ln2时,函数有两个整数点1，2,当f(x)⩾时，函数有3个整数点1,2,3∴要使f（x）〉−a有两个整数解，则⩽−a<ln2，即−ln2〈a⩽−,故选C。点睛：本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的取值范围，把f(x)看做整体,利用数形结合结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．8．【2018海南省八校联考】已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是()A。B.C。D.【答案】B【解析】因为，所以由题设在只有一个零点且单调递减，则问题转化为，即，应选答案B.点睛：解答本题的关键是如何借助题设条件建立不等式组，这是解答本题的难点，也是解答好本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解。9．【2018陕西西工大附中六模】若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是(）A。B。C。D。【答案】D设g(t）=(t−2e）lnt，为增函数,∵，∴当t>e时,g′(t）>0，当0<t〈e时,g′（t）<0，即当t=e时,函数g(t）取得极小值为：g（e)=（e−2e）lne=−e,即g（t)⩾g(e）=−e，若有解，则,即，则a<0或，实数的取值范围是本题选择D选项。10．【2018陕西西工大附中六模】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数,等式成立，若数列满足,且,则下列结论成立的是（）A.B。C。D。【答案】D设，则,因此为单调减函数，从而,,，,,选D。点睛：（1）运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.（2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究。如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系,对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.11．【2018河北石家庄二中八月模拟】对任意的实数，都存在两个不同的实数,使得成立，则实数的取值范围为(）A.B。C。D.【答案】A点睛:，可以理解为任意取定一个x值,y=a与都有两个不同的交点，因为左右平移不影响交点个数，即考虑y=a与的交点个数即可.二、解答题12．【2018河南省南阳一中三模】设函数fx(1)若fx在点e,fe处的切线为x-ey+b=0，求(2）求fx（3）若gx=ax-ex，求证：在【答案】(1）切线方程得：b=-2e,(2）当a≤0时，fx的单调减区间为0,+∞；当a>0时，fx的单调减区间为0,1【解析】试题分析：（I）通过f（x）在点（e，f（e）)处的切线为x﹣ey+b=0,可得f′（e）=1e,解得a=2e,再将切点（e，﹣1)代入切线方程x﹣ey+b(II）由（I）知：f′(x）＝ax-1x(x＞0），结合导数分①a≤0、②a（III）通过变形，只需证明g（x)=ex﹣lnx﹣2＞0即可，利用g′(x）=ex-（1）∵fx=ax-2-lnx又fx在点e,fe的切线的斜率为1e,∴f'∴切点为e,-1把切点代入切线方程得:b=-2e;（2）由（1）知：f'x=a-1x=ax-1x∴fx在0,+∞上是单调减函数,②当a>0时，令f'x=0，解得：x=1a，当x变化时，f'x,fx随x变化情况如下表:当x∈0,1a时,f'x<0,fx单调减，当x∈1a(3）当x>0时，要证fx-ax+ex>0，即证ex-lnx-2>0，令hx=ex-lnx-2x>0,只需证hx>0，∵h'x=ex-1x由指数函数及幂函数的性质知:h'x=ex-1x在0,+∞上是增函数又h'1=e-1>0,h'13=e1点睛：本题考查求函数解析式，函数的单调性,零点的存在性定理，(1)利用导数的几何意义；（2）研究单调性,即研究导函数的正负;（2)：证明恒成立，转化为函数最值问题．13．【2018河南省南阳一中三模】已知函数fx（1）当a=1时，求fx（2）若函数fx在0,12【答案】（1)fx的单调减区为0,2，单调增区间为2,+∞，（2）a的最小值为2-4（1）当a=1时,fx则fx=1-2x,由fx>0，得故fx的单调减区为0,2，单调增区间为2,+∞（2）因为fx<0在区间故要使函数fx在0,12上无零点，只要对任意的x∈0,12，fx>0恒成立，即对x∈0,12,a>2-2lnxx-1恒成立,令lx=2-2lnxx-1,x∈0,12，则l'x=2ln14．【2018浙江温州一模】已知函数f(x)=x-3（1)求f(x)的单调递增区间；（2)当0<x≤3时，求证：x2【答案】(1）f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞)；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出f'x，f'x>0（2）x2+2x-3≤4xlnx等价于试题解析:（1)∵f'(x)=1+3x2-4令f'(x)>0,解得x>3或x<1，又由于函数f(x)的定义域为x|x>0,∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和（2）由（1)知f(x)=x-3x-4lnx所以，当0<x≤3时，f(x)因此,当0<x≤3时，恒有f(x)=x-3x-415．【2018天津市滨海新区八校联考】已知函数.（1）若函数在定义域单调递增，求实数的取值范围;(2）令，,讨论函数的单调区间；（3)如果在（1）的条件下,在内恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）(2）见解析（3）试题解析：（1)，因为在定义域单调递增，所以恒成立即而（当且仅当时等号成立），故即为所求.(2），①若，,则在单调递增②若，令，，，则在单调递增，在单调递减（3）由题意，须对任意恒成立，设，∵，，∴,，∴即在上单调递增，若对任意恒成立,则应令综上所述，即为所求。16．【2018天津市滨海新区八校联考】设函数.（1)求在点处的切线方程;（2）求函数的单调区间；（3）当时，使得不等式能成立的实数的取值范围。【答案】(1）（2）在区间，上单调递增，在区间上单调递减。（3）【解析】试题分析：（1)先根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程（2）先求导函数零点得两个零点0,—2,再列表分析导函数符号，得函数的单调区间；（3）先将不等式恒成立转化为对应函数最值，再根据（2）单调性得,即得实数的取值范围。试题解析:（1)∵，∴，切线方程为。（2）令，即，得在区间，上单调递增，在区间上单调递减.（3）由（2）知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，.当时，不等式能成立,须，即,故17．【2018辽宁省大连八中模拟】已知函数，函数.(Ⅰ）求函数的单调区间;（Ⅱ)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若,求证:不等式：。【答案】（1）略（2）（3）略(Ⅰ),当时，增区间，无减区间当时，增区间,减区间（Ⅱ）即在上恒成立设，考虑到,在上为增函数，当时，在上为增函数，恒成立当时,，在上为增函数，在上，,递减，，这时不合题意，综上所述，(Ⅲ)要证明在上，只需证明由（Ⅱ）当a=0时，在上，恒成立再令在上，，递增，所以即，相加，得所以原不等式成立。18．【2018湖南两市高三调研】设函数.（1）若直线是函数的图象的一条切线，求实数的值；（2）当时，（i)关于的方程在区间上有解,求的取值范围,（ii）证明:当时,。【答案】(1）；（2）见解析。（ii）令,，令，求导可得函数在上递增,存在唯一的零点，，由得可得即可证得。试题解析：（1),设切点，则，又，即得：。(2）当时，(i）方程即为令，则。当时，随变化情况如下表：极大值，当时，，的取值范围为.（ii）证明:令,则.令，则当时，，函数在上递增，，存在唯一的零点，且当时，,当时，，则当时，；当时，。在上递减，在上递增，从而。由得,两边取对数得,，从而证得.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：(1）直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2)分离参数法:先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.19．【2018辽宁省辽南协作校一模】已知函数f（x）=x2++alnx。(Ⅰ）若f(x）在区间［2,3］上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f(x)的导数f'（x)的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1,y1),B（x2,y2）所在直线的斜率为k，求证:当a≤4时,｜k|〉1。【答案】（Ⅰ）a≥—7；（Ⅱ）证明见解析。(Ⅰ）由f(x）=x2++alnx,得f'(x）=2x-+，由已知得2x—+≥0在x∈[2，3］上恒成立,即a≥-2x2恒成立.设g(x)=—2x，则g'(x)=-—4x<0,所以g(x)在x∈［2，3]上单调递减,g（x)max=g(2)=—7，所以a≥—7.（Ⅱ）证明：｜k|＞1等价于||＞1，等价于｜｜＞｜x1-x2｜,而｜｜=｜=|x1-x2｜·|2+—|所以只需要证明|2+-|＞1.即a＜x1+x2+或a＞3x1+x2+，而a＞3x1+x2+，显然不可能对一切正实数x1x2均成立，所以只需要证a＜x1+x2+成立.因为x1+x2+＞x1x2+，设t=,M(t)=t2+（t＞0)得M’(t）=2t-当t=时M'(t)=0在t∈（0，）上,M（t）递减；在t∈(，+∞）上，M（t)递增所以M(t）≥3=＞4≥a，所以a＜x1x2+所以｜|＞1,即当a≤4时,｜K|＞1.20．【2018广西柳州模拟】已知为实数，函数。（1）若是函数的一个极值点，求实数的取值；（2）设，若,使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1）,（2)。解析：(1）函数定义域为,.∵是函数的一个极值点，∴,解得。经检验时，是函数的一个极小值点，符合题意，∴.（2)由,得,记,∴，∴当时,，单调递减；当时，,单调递増。∴，∴，记，∴。∵，∴，∴，∴时,，单调递减；时，，单调递增，∴，∴。故实数的取值范围为。点睛：本题考查函数的导数的综合应用,函数的最值的求法,极值的求法，用到了变量集中的方法.21．【2018海南省八校联考】设函数,其中。(1）若直线与函数的图象在上只有一个交点，求的取值范围;（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；(2）．解析：(1)当时，，令时得；令得，递增；令得，递减，∴在处取得极小值，且极小值为,∵，,∴由数形结合可得或.(2)当时,，，令得;令得，递增；令得，递减，∴在处取得极小值,且极小值为，∵,∴，∵当即时，,∴，即，∴无解，当即时，，∴，即,又，∴，综上,。点睛：函数交点问题，研究函数的单调性找函数最值，求参；恒成立求参，对于分段函数来讲，分段讨论最值即可．22．【2018湖南省永州市一模】已知函数.（1）若在区间有最大值,求整数的所有可能取值；（2)求证：当时,.【答案】（1)；(2）证明见解析.，只需证明即可.试题解析：（1）f′(x）＝(x2＋x－2）ex,当x〈－2时,f′（x）＞0，f(x）单调递增，当－2＜x＜1时，f′（x）＜0,f(x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0,f(x)单调递增，由题知:a＜－2＜a+5，得：－7＜a＜－2，则a＝－6、－5、－4、－3，当a＝－6、－5、－4,显然符合题意，若a＝－3时，f(－2)＝5e―2，f（2)＝e2,f(－2）＜f（2)，不符合题意，舍去．故整数a的所有可能取值－6,―5，－4．（2)f（x）＜－3lnx＋x3+（2x2－4x）ex+7可变为(－x2＋3x－1)ex＜－3lnx＋x3+7,令g(x）＝(－x2＋3x－1）ex，h(x）=－3lnx＋x3+7，g′(x）＝(－x2＋x＋2)ex，0＜x＜2时，g′(x)＞0,g(x）单调递增,当x＞2时，g′（x）＜0,g(x)单调递减，g（x)的最大值为g（2）＝e2，h′（x）＝,当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)单调递减,当x＞1时，h′（x)＞0,h（x）单调递增，h（x）的最小值为h(1）＝8＞e2，g(x)的最大值小于h(x)的最小值，故恒有g（x）＜h（x)，即f（x）＜－3lnx＋x3+（2x2－4x)ex+7．23．【2018广东省珠海六校联考】设函数有两个极值点,且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：【答案】：（Ⅰ)因为，设,依题意知得,所以的取值范围是由得，由得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间，其中，且。（Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知，设，所以在递减,又在处连续，所以，即。24．【2018广东省珠海九月模拟】函数(1）讨论的单调性；(2）若函数有两个极值点,且,求证：【答案】(1）时，在上单减，在上单增；时，在上单减,在和上单增;时,在上单增;（2）见解析.试题解析：解：的定义域是，（1）由题设知，令,这是开口向上，以为对称轴的抛物线．在时，当，即时，,即在上恒成立．②当，即时,由得令，则，1）当即，即时，时，,即，时，,即2）当时，即，即时时，,即或时，，即综上:时,在上单减,在上单增;时,在上单减，在和上单增;时，在上单增．(2）若函数有两个极值点，且则必是，则，则，且在上单减，在和上单增,则、是的二根，即，若证成立，只需证即证对恒成立设当时,,，故，故在上单增故对恒成立25．【2018吉林省长春一模】已知函数fx=e(Ⅰ）若函数fx与gx的图像在点0,1处有相同的切线，求（Ⅱ）当b=0时,fx-gx（Ⅲ)证明：ln2+(ln【答案】（Ⅰ）1,1；（Ⅱ）2；(Ⅲ）证明见解析。试题解析：（Ⅰ)由题意可知,f(x)和g(x)在(0,1即在(0,1)处f(1)=g(1)且解得a=1,b=1.（Ⅱ）现证明ex≥x+1，设令F'(x)=e因此F(x)min=F(0)=0即ex同理可证lnx≤x-1由题意,当a≤2时,ex≥x+1且即ex即a=2时,f(x)-g(x)>0成立.当a≥3时，e0<ln因此整数a的最大值为2。(Ⅲ）由ex>ln即e-n+1n由此可知，当n=1时，e0当n=2时,e-1当n=3时，e-2……当n=n时，e-n+1综上：e1>ln即ln2+(ln26．【2018陕西省西工大附中六模】已知函数.(1）求的极值;(2）当时,求证：【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析。试题解析：（1)∵，时，递增；时,递减，∴在时取极小值，极小值为,无极大值。(2）因为,所以只需证明.设,则，所以递增，又，所以有且只有一个根，记为，∴。在递减，在递增，所以∵，设，∵,∴递增。，∴，∴，故结论成立。27．【2018湖北武汉市调研】已知函数（）（…是自然对数的底数）。（1)求单调区间；（2)讨论在区间内零点的个数.【答案】(1)当时,，单调增间为，无减区间；当时，单调减间为，增区间为（2）所以或或时，有两个零点;当且时，有三个零点试题解析：（1）当时，，单调增间为,无减区间;当时，单调减间为，增区间为（2）由得或先考虑在区间的零点个数当时，在单调增且，有一个零点；当时，在单调递减，有一个零点；当时，在单调递减，单调递增。而，所以或时，有一个零点，当时,有两个零点而时，由得所以或或时,有两个零点；当且时，有三个零点.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点,属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间;令，解不等式得的范围就是递减区间.28．【2018陕西省西工大附中七模】