高中数学知识点总结(第五章 平面向量 第一节 平面向量的概念及线性运算)

第五章面向量第节平向量概及性算一基知1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示既有大又有方向的量叫做向量A起点为点的向量―→记作AB，可用黑体的单个小写字母，，，来示向量．―→――(2)向量的长度模：量的大小即向量AB的度模，为AB2．几种特殊向量名称零向量单位向量平行向量相等向量相反向量

定义长度为0的量长度等于个位的向量方向相同或相反的非零向量(也共线向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的两个向量

备注零向量记作0，其方向是任意的a单位向量记作a，＝000与意向量共线相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量若，相反向量，则＝b单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平的单位向量有两个，aa即向量和.3．向量的线性运算向量运算加法

定义求两个向量和的运

法则(或几何意义)

运算律(1)交律：＋＝＋；(2)结律＋＝＋算求a与b的相反向量减法－的和的

三角形法则

平行四边形法则

(b＋ab＝＋(－运算叫做与b的

三角形法则

数乘

求实数向量a的的运算

λa|＝|λ；当＞0时a方向与的方向相同＜时a的向与a的向相反；当＝时，a＝

λa)＝λ)a；＋λ＋a；λ＋λa＋b向量加法的多边形法则多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接＋＋表从始点指向终点的向量，只关心始点、终.4．共线向量定理向量0)与b共，当且仅当有唯一一个实数，使得b＝a.只有才证实数的存在性和唯一.二常结1→→(1)若P为段AB的中点O为面任一点，则OP＝(OA＋．2→→→(2)OA＝OBμOC(，μ为实数，若点A，C三共线，则＋＝考一平向的关念[典例]给出下列命题：①若＝，＝，＝；―→→②若CD是共线的四点，则＝DC是边ABCD为行四边形的充要条件；③＝的充要条件是|＝且a∥b；④若∥，∥，∥其中正确命题的序号________．[解析]①正确∵＝，∴a，长度相等且方向相同，又b＝，b，的度相等方向相同，∴，的度相等且方向相同，故＝―→――→→―②正确．∵AB＝DC，|＝DC且∥DC，又A，，，是共线的四点，∴四边形ABCD为行四边形；

00000000反之，若四边形ABCD为行四边，―→――→―→―→→则AB∥DC且＝|DC，此，AB＝DC③不正确．当∥且方向相反时，即|＝，不能得到＝，|＝且∥是a＝的充要条件，而是必要充分条件．④不正确．考虑＝这种特殊况．综上所述，正确命题的序号是①.[答案]①②[解题技法向有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长．(2)非零共线向量的关键是方向同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是个单位长度．(5)零向量的关键是长度是，定零向量与任意向量共线．[题组训练1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②aλ为数，则必零；③，实数，若λ＝，则a与共．其中错误的命题的个数为)A．C2

B1D．解析选①误向量共线要看其方向而不是起点或终点错误当a＝时，不论为值＝③误当＝＝时a＝＝此a与可是任意量错误的命题有3个故选D.2设a为位向量下列命题中①若为面内的某个向量则＝|a|·a②若与00a平行，则＝|a|a；若a平行|＝，则＝，命题的个数()0000A．C2

B1D．解析：D向量是既有大小又有方向的量a与a|a的相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a平，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反，反向时a＝－|a|a，②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是

＝＋(AD＋DC＝＋AD＝＋(AD＋DC＝＋AD＋＝＋AD.考二平向的性算[典例](1)(2018·国卷ⅠABC中，为边的中线E为AD的中点，则―→＝)3―→1―A.AB－AC443―→1C.AB＋AC44

1―→3B.－441→3→D.＋AC44―→1―→―→―→(2)如图，在直角梯形ABCD中DC＝，BE＝，且AE4―→―→＝AB＋AD，2＋＝)A．C3

B2D．―→→―1――[解析]作示意图如图所示．EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝211→―3―→1→×(AB＋)＋(－AC)＝－AC.故22244―→―→―→2→―2―――→(2)根据图由题意可得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝＋(＋＋331―→―1→21―2→33342―→―→―→12因为AE＝AB＋AD，所以＝，＝，r＋s＝＋＝2[答案](1)A(2)C[解题技法向线性运算的解题策略(1)常的法则是平行四边形则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量线向量所向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用几个基本向量表示某个向问题的基本技巧：①观察各向量的位置找应的三角形或多边形用法则找关系简果．(4)与向量的线性运算有关的参问题般是构造三角形用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．

[题组训练―→1．设为ABC所在平面内一点，BC＝，)―→1→4→A．＝－＋AC33―→―→1―CAD＝＋AC3

―→→4→B＝－AC33―→4―→1―→D．AD＝－AC33―→――→1――→1―→―→―→解析由意得AD＝＋CDAC＋＝AC＋AC－＝AB33334―→＋AC.3―→―2．太模在方形ABCD中，分别是BCCD的点，若＝AM―→＋AN，实数＋＝―→―→――1―→―→1―→解析：图，∵AB＋BM＝AB＋BC＝DC＋BC，①2―→→―→AN＝AD＋DNBC＋DC，②2―→42→―4―→2―→由①②BC＝AN－AM，DCAM－AN，3333―→―――→4―→2―→2―→2→2―→∴AC＝AB＋BC＝＋BC＝AM－AN＋－AM＝AM＋AN，3333―→→―24∵AC＝AM＋AN，λ＝μ＝＋μ.3334答案：3考三共向定的用[典例]设两个非零向量a与共线，―→―→(1)若AB＝＋，BC＝＋，CD3a－，求证：，，三共；(2)试确定实数k，使＋＋k同．―→―→[解]证明∵＝＋，BC＝＋，CD＝－，―→―→―→∴＝＋CD＝＋＋－＝＋＝5，―→―∴AB，BD共．又∵它们有公共点B，∴，，三共线．(2)∵a＋与＋b同，

112112121111211212112∴存在实数λλ，k＋＝(a＋，即a＋＝＋λkb.∴kλ＝λk1)b.∵，是不共线的非零向量，∴解得又∵∴＝1.1.向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中两向量共线时常有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题用量共线来解决应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．[题组训练―→―→1在四边形ABCD中，＝＋2b，BC＝4a－，CD－－四边形ABCD的形状是)A．形C梯形

B平行四边形D．以上都不对―→――→―→解析：C由知，得AD＝＋BC＋CD＝8a－＝－－＝BC，―→―→―→AD∥BC.又为AB与不行，所以四边形ABCD梯形．2．已知向量e，∈，a＝＋e，2e，若向量a与向量b共，则112A．＝Ce∥12

Be＝2D．∥或＝12解析：D因向量e，∈，a＝e＋e，＝，因为向量和共，存在实数，使得a＝，所以＋e＝k，以＝k－，所以∥或λ＝1→→――3．已知O为△ABC内一点，且＝(＋OC)，＝AC，B，，D三2共线，则t＝)1A.41C.2

1B.32D.3

1→→→→→解析：B设是边中点，则(＋OC)＝OE，题意得AO＝，所2→1―→1―→1―→―1以＝AE＝AB＋AC)＝＋AD又因为B三共线以＋＝，2444t441解得t＝，故B.3―→4．已知O，三点不共线为平面内一点，且OP＝OA＋，()―→||A．P在线段上B点在段的长线上C点在段的向延长线上D．P在射线上―→→→→→―1―→解析：选D由OP＝＋，得OP－OA＝，AP＝·AB，点―→―→―|AB||||P在射线上故D.[课时跟踪检测―→―1．设D，，分为ABC的边，，的点，则＋＝)―→A．1―→C.BC2解析：选A―→AD.

1―→B.AD2―→D．―→→1―→―――→由题意得EB＋＝(＋CB)＋(AC＋BC)＝(＋)＝2222．已知向量a，不线，且c＝＋，＝＋－若与共线反向，则实数λ的为)A．1C1或2

1B－21D．－或2解析：由与共反向，存在实数k使c＝k＜，于是λ＋＝[

a＋

2－]

.整理得a＋＝k＋(2λk－)b.由于，不线，所以有1整理得2－－＝，解得λ＝或＝－2

1431431又因为k＜，所以＜，故＝－.2―→3．设向量a，不线，AB＝2apb，BC＝＋，CD＝－，A，D三共线，则实数p的为)A．2C1

B－1D．―→→―解析选B因＝＋，a2b以BD＝＋CD＝－又为，―→―――B三共线所AB，共线AB＝BD所以＋b＝(2ab)所以＝λ，p＝－，＝，＝－1.―→→―4．甘诊设D为ABC所平面内一点，BC＝4CD，＝)1―→3―A.AB－AC443―→1C.AB－AC44

1―→3B.＋443→1→D.＋AC44―→―→――→――→解析法AD＝＋ACBC＝－CD可得，＋＝4CA―→―――－AD即－－AC＝4xAB－yAC则

－x－，－y－，

，解，4

―→即AD＝1―→3―＋AC，选B.4―→→1→→―→―1法二：eq\o\ac(△,在)中，BC＝－4CD，－BC＝则AD＝AC＋CD＝－44―→―→―→1―3BC＝AC－(＋＝＋AC，选44→31→5．在平面直角坐标系中，为标原点A，，三点满足OC＝OA＋OB，44―→||等于()―→||A．C3

B23D.2―→→→31→→―→―→→解析因BC＝OCOB＝OA＋－OBAC＝OC－＝444―→3→→→1―→|BC|OA＋－＝，以＝故C.44―→|AC|

λAM＋AN＝λAM＋AN.∵λAM＋AN＝λAM＋AN.∵MN三共线∴λ＋λ＝则＝.故选―→――→→―→6．已知ABC的BC中点为D，G满足GA＋BG＋CG＝，且AG＝，则的是)1A.2C－

B21D．－2―→―→―解析：C由GA＋＋CG＝，G为AC为邻边的平行四边形的第四―→→个顶点，因此AG＝－，则＝－故选C.7．下列四个结论：―→―――→→――①AB＋＋CA＝；②AB＋MB＋BO＋＝；―→――→→→――③AB－＋BD－CD＝；④＋P＋MN－MP＝，其中一定正确的结论个数()A．C3

B2D．―→→―――――→―解析选①＋＋CA＝AC＋CA＝①正确＋＋＋OM―→―→→――→→――→→―＝＋MO＋OM＝AB，②错误③AB－＋－CD＝＋BD＋＝―→―→―→―――＋DC＝③确④NQ＋QP＋－MP＝NP＋＝④正确故①③正确．8.如图，在平行四边形ABCD中，分别为AB，上的点，且―→3―→―2―――AM＝，AN＝AD，，交于点.若＝AC，的43为)3A.5

3B.73C.16

D.

617解析：选D

―→3→2―――→―→∵AM＝AB，AN＝AD，∴＝λ＝λ＋AD)＝4

4→―4―3―436323232179．设向量a，不行，向量λ＋与a＋平，则实数λ＝________.解析：为向量λa＋与＋平，所以可设＋＝k，则1答案：2

1所以λ＝.2

1212121121212121212121211212121212―→1―→―→―10．若AP＝，AB＝λ＋，＝2―→1→解析：图，由AP＝PB，可知点是线段靠近点的等分点，2―→3→35则AB＝，结合题意可得＋＝－所以