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17二月20231第四节无穷小量与无穷大量

第一章到目前为止，我们已经阐明了数列与函数的极限．下面我们再来研究一类比较简单但十分重要的函数，即所谓的无穷小量．二、无穷大量（InfinitelyLargeQuantity）一、无穷小量（InfinitelySmallQuantity）17二月20232一、无穷小量当定义1

若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;为时的无穷小

.需要指出的是，

（1）不要认为无穷小量是一个很小很小的数；（2）除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!（3）一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势17二月20233其中为时的无穷小量.证:当时,有注：对自变量的其它变化过程类似可证.定理1(无穷小与函数极限的关系)例如：有其中17二月20234二、无穷大量定义2

若任给

M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在17二月20235注意:1.按函数极限定义来说，

无穷大的函数f(x)的极限是不存在的.但为方便起见，我们也说“函数的极限是无穷大”

.2.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.3.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,

函数当但所以时,不是无穷大!17二月20236证:

任给正数

M

,要使即只要取则对满足的一切x,有所以例1证明思考题证明（习题1－41（3））提示：要使即就要即只要取（其中M>3）17二月20237定理2（无穷小与无穷大的关系）若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自学)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.在自变量的同一变化过程中,说明:17二月20238内容小结1、主要内容:两个定义;两个定理.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代

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