河南省商丘市永城乡重点中学2023年高三数学理期末试卷含解析

河南省商丘市永城乡重点中学2023年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案;点满足不等式组，向圆内均匀撒M粒黄豆，已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是N，则圆周率π为（）A.

B.

C.

D.参考答案：D2.下列函数中，最小值为2的是()．A.y=，x∈R，且x≠0 B.y=lgx+，1＜x＜10C.y=3x+3-x，x∈R D.y=sinx+，参考答案：C略3.已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是(

)A．（0，1） B．（0，） C．[，） D．[，1）参考答案：C考点：函数单调性的性质．专题：函数思想；综合法；函数的性质及应用．分析：根据条件便有，从而得到f（x）在R上单调递减，这样根据一次函数、对数函数及减函数的定义便可得到，这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围．解答：解：根据条件知，f（x）在R上单调递减；∴；解得；∴实数a的取值范围为[）．故选：C．点评：考查减函数的定义，根据减函数的定义判断一个函数为减函数的方法，以及一次函数、对数函数及分段函数的单调性4.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣8）]=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：A【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，从而得到g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，∴f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，∴g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣log33=﹣1．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5.函数的定义域是(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：B略6.对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的（▲）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要参考答案：B略7.设是三个不重合的平面，是不重合的直线，下列判断正确的是（

）

（Ａ）若则

（Ｂ）若则

（Ｃ）若则

（Ｄ）若则参考答案：B略8.已知，则A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。则不同的搜寻方案有（

）（第5题图）A．40种

B．70种

C．80种

D．100种参考答案：A10.函数y=（x﹣x3）?2|x|在区间[﹣3，3]上的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断函数的图形即可．【解答】解：函数y=（x﹣x3）?2|x|在区间[﹣3，3]上是奇函数，排除：C，又x=时，y=（）×=＞0．即（，）在函数的图象上，排除B，D，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数对于任意实数满足条件，若，则

。参考答案：略12.某脑科研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据X681012y2356由散点图可以看出x与y具有线性关系，若回归直线方程为，则= 参考答案：13.有关命题的说法中正确的是（

）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B．命题“若，则”的形式是“若，则”；C．若“”为真命题，则、至少有一个为真命题；D．对于命题存在，使得，则对任意，均有。参考答案：D略14.在△ABC中，，，，则______．参考答案：3【分析】通过余弦定理求出，然后利用向量的数量积求解即可．【详解】解：在中，，，，可得，则.故答案为：3．【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有

种（用数学作答）.参考答案：60016.的值为________.参考答案：1。17.设x,y的最小值为

。参考答案：答案:

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2017?莆田一模）已知曲线E：=1（a＞b，a≠1）上两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．（1）若点A，B均在直线y=2x+1上，且线段AB中点的横坐标为﹣，求a的值；（2）记，若为坐标原点，试探求△OAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用点差法求得直线的斜率公式，k==2，根据中点坐标公式，即可求得a的值；（2）设直线y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理及由向量数量积的坐标运算，根据弦长公式，点到直线的距离公式，根据三角的面积公式即可求得△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）由题意可知：①，②，两式相减得：+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由x1≠x2，则=﹣a2，由A，B在直线y=2x+1，则k==2，A，B中点横坐标为﹣，则中点的纵坐标为，∴﹣=2?，解得：a2=，又a＞0，则a=，（2）直线AB的方程为y=kx+m，则，（1+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2﹣1）=0，△＞0，即（2kma2）2﹣4a2（m2﹣1）（1+a2k2）＞0，则m2＜1+a2k2，由韦达定理可知：则x1+x2=﹣，x1x2=，由m⊥n，则?=0，x1x2+a2y1y2=0，从而（1+a2k2）x1x2+kma2（x1+x2）+a2m2=0，代入并整理得2m2=1+a2k2，由原点O到直线AB的距离d=，则△OAB的面积S=?d?丨AB丨=???丨x1﹣x2丨，=丨m丨?，=丨m丨?，=?，=?=，从而可得△OAB的面积，为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．19.（12分）已知椭圆过点，且离心率。（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。参考答案：解析：（1）由题意椭圆的离心率

∴椭圆方程为……2分又点在椭圆上

∴椭圆的方程为（4分）（2）设由消去并整理得……6分∵直线与椭圆有两个交点，即……8分又中点的坐标为……10分设的垂直平分线方程：在上即……12分将上式代入得

即或的取值范围为…………（8分）20.（2017?长沙模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，所以（2c﹣b）?cosA=a?cosB由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）?cosA=sinA?cosB．整理得2sinC?cosA﹣sinB?cosA=sinA?cosB．∴2sinC?cosA=sin（A+B）=sinC．在△ABC中，sinC≠0．∴，．（Ⅱ）由余弦定理，．∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．∴三角形的面积．∴三角形面积的最大值为．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用．21.设的内角的对边分别为，则总有.由正弦定理得.由导数公式：，可以得到结论：对任意有.上述结论是否正确？如果不正确，请举出反例，并指出推导过程中的错误.参考答案：上述结论不正确.

例如：当时，错误：求导运算不保证不等式关系不变.

22.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且满足()，，设，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若≥，，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成(且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1），，，当时，=2，所以为等比数列．，．（2）由（1）可得

；

，

，

所以，且．所以