河南省商丘市民权县城关镇联合中学2023年高三数学文月考试题含解析

河南省商丘市民权县城关镇联合中学2023年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若变量满足约束条件，则的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0参考答案：B2.对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．分析：不等式的基本性质，“a＞b”?“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．解答： 解：主要考查不等式的性质．当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选B点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3.命题“?x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是()A．?x∈R，x2－2x＋1≥0 B．?x∈R，x2－2x＋1>0C．?x∈R，x2－2x＋1≥0

D．?x∈R，x2－2x＋1<0参考答案：C略4.某生产厂商更新设备，已知在未来年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限为（）A．3B．4C．5D．6参考答案：B.试题分析：平均话费为，当且仅当，时，等号成立，故选B.考点：基本不等式求最值.5.设都是正实数，且满足，则使恒成立的的范围()A．(0,8]

B．(0,10]

C．(0,12] D．(0,16] 参考答案：D略6.设命题p：“若对任意，｜x＋1｜＋｜x－2｜＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角，使”，则A、为真命题B、为假命题

C、为假命题D、为真命题参考答案：C7.设函数,则满足的的取值范围是A.

B. C.[1,+

D.参考答案：D略8.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：C【考点】函数的值；偶函数；函数的周期性．【分析】本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：由题意定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），得f（x）=﹣f（x﹣4），此式恒成立，故可得f（x）=f（x﹣8），由此式恒成立可得，此函数的周期是8．又当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），由此f=f（2）+f（3）=log2（2﹣1）+log2（3﹣1）=1．故选C9.是虚数单位,复数=(

)A． B． C． D．

[.Com]参考答案：A10.设不等式组所表示的区域为M，函数y=的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：画出图形，求出区域M，N的面积，利用几何概型的公式解答．解答： 解：如图，区域M的面积为2，区域N的面积为，由几何概型知所求概率为P=．故选B．点评：本题考查了几何概型的运用；关键是求出区域的面积，利用几何概型的公式解答．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________.参考答案：略12.（5分）（2015?哈尔滨校级二模）在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．参考答案：【考点】：余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】：综合题；解三角形．【分析】：利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b?=3??c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以bc，得﹣3×﹣1=0，③，解③得=或=（舍），所以=．故答案为．【点评】：本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．13.在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点．若△PQM是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是

．参考答案：

14.已知函数的图象在点处的切线方程是，则

。参考答案：315.已知全集，集合，则=

．参考答案：｛0｝16.是定义在实数有R上的奇函数，若x≥0时，，则___参考答案：-117.函数的定义域为

.参考答案：

【知识点】函数的定义域B1解析：由题意得,故答案为.【思路点拨】函数的定义域应满足条件得不等式组取其交集即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=|x2﹣2|+x2+ax．（1）若a=3，求方程f（x）=0的解；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：＜+＜2．参考答案：考点：带绝对值的函数．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）若a=3，f（x）=|x2﹣2|+x2+3x=，即可求方程f（x）=0的解；（2）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，﹣a=g（x）=在（0，2）上有两个零点x1，x2，作出函数g（x）的图象，由图求实数a的取值范围；②由①得，=﹣k，=﹣k，可得+=x2，利用＜x2＜2，即可证明：＜+＜2．解答： 解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x2﹣2|+x2+3x=所以当x或x≥时，得x=﹣2，或x=（舍去）当﹣＜x＜时，2+3x=0得x=﹣所以a=3时，方程f（x）=0的解是x=﹣2或x=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，﹣a=g（x）=在（0，2）上有两个零点x1，x2，作出函数g（x）的图象，由图可知：当且仅当＜﹣a＜3，即﹣3＜a＜﹣时，g（x）在（0，2）上有两个零点所以，﹣3＜a＜﹣时，函数（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（②由①得，=﹣k，=﹣k，所以+=x2，而＜x2＜2所以＜+＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查带绝对值的函数，考查函数的零点，考查函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．19.已知函数f（x）=lnx﹣x2+ax，（1）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；（2）设f'（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1＜x2，求证（3）证明当n≥2时，．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为即a≤2x﹣恒成立，求出a的范围即可；（2）求出a，得到f′（）=﹣，问题转化为证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，根据函数的单调性证明即可；（3）令a=1，得到lnx≤x2﹣x，得到x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，累加即可．【解答】（1）解：∵x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，∴f′（x）=﹣2x+a≤0在（1，+∞）恒成立，即a≤2x﹣恒成立，而y=2x﹣在（1，+∞）递增，故2x﹣＞1，故a≤1；（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），∴方程lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则lnx1﹣+ax1=0，①，lnx2﹣+ax2=0，②，两式相减得a=（x1+x2）﹣，又f（x）=lnx﹣x2+ax，f′（x）=﹣2x+a，则f′（）=﹣（x1+x2）+a=﹣，要证﹣＜0，即证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，∵u′（t）=，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知﹣＜0，故f′（）＜0成立；（3）证明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+∞）递减，∴f（x）=lnx﹣x2+x≤f（1）=0，故lnx≤x2﹣x，x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，故++…+＞++…+=1﹣，∴++…+＞1﹣，即左边＞1﹣＞1，得证．20.已知常数a、b满足a>1>b>0，若(1)求y＝f(x)的定义域；(2)证明：y＝f(x)在定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg2，求a、b的值．参考答案：(1)(0，＋∞)(2)见解析(3)解析：解：(1)在R上递增．的定义域为(0，＋∞)．(2)证明：任取又∵y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，即．∴)在定义域内是增函数．(3)解由(2)得，y＝f(x)在定义域内为增函数，又恰在(1，＋∞)内取正值，∴f(1)＝0.又f(2)＝lg2，略21.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．参考答案：（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.【分析】解：解法一：（1）过A作，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，?3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（?4，?3），直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（?13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（?4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<9