河南省南阳市西峡县第二高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

河南省南阳市西峡县第二高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；（4）y=1+x和y=表示相等函数．其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【分析】举出反例函数f（x）=，可判断（1）；举出反例函数f（x）=2，即a=b=0，可判断（2）；求出函数的单调区间，可判断（3）；化简第二个函数的解析式，可判断（4）．【解答】解：（1）函数f（x）=在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，但f（x）不是增函数，故错误；（2）当a=b=0时，函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，故错误；（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）和[﹣1，0]，故错误；（4）y=1+x和y==|1+x|不表示相等函数，故错误．故正确的命题个数为0，故选：A．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数的单调性，函数的图象和性质，相等函数，难度中档．2.12支足球队(含甲、乙、丙)平均分成三个小组，甲、乙、丙三个球队中至少有两支球队被分在同一小组的概率是(

)

A、

B、

C、

D、参考答案：答案:B3.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为(

)(A)直角三角形

(B)等边三角形

(C)钝角三角形

(D)等腰直角三角形参考答案：B4.若，且，则的最小值等于（

）A．9

B．5

C．3

D．2参考答案：C略5.在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（）A．﹣2 B．0.0625 C．0.25 D．4参考答案：C【考点】程序框图．【分析】框图在输入a=﹣4后，对循环变量a与b的大小进行判断，直至满足条件b＜0算法结束．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=﹣4≤0，b=2﹣4=＞0，a==4，不满足条件b＜0，继续循环，b==﹣2，a=2﹣2=，满足条件b＜0，退出循环，输出a的值为0.25．故选：C．6.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧AP的长为l，弦AP的长度为d，则函数的图象大致是参考答案：C略7.设A、B是函数的定义域集合的两个自己，如果对任意，都存在，使得，则称函数为定义在集合A、B上的“倒函数”，若函数，为定义在两个集合上的“倒函数”，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D，则由，得函数增区间为，减区间为、，则，，由此可知的图象，如图所示．设集合，，则对任意，都存在，使得等价于，显然．当，即时，，不满足；当，即，即时，，．由于，有在上的取值范围包含在内，满足；当，即时，有，在上递减，所以，，不满足．综上可知选D．8.已知，向量与的夹角为，，则的模等于（）A、

B、

C、2

D、3参考答案：A略9.若定义在上的函数满足：对任意有，且时有，的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=（

）

A.2009

B.2010

C.

4020

D.4018

参考答案：D10.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A．所有不能被2整除的数都是偶数

B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数是偶数

D.存在一个能被2整除的数不是偶数参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数则的值为

.参考答案：12.过点（-1,2）的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为__________。参考答案：

本题主要考查了直线与圆的位置关系以及圆心距与弦长之间的关系.同时也考查了理解能力、应用能力和转化与化归的数学思想.属中等题。设直线方程为：，又因为圆是以（1,1）为圆心1为半径的圆，弦长为，所以.13.已知为锐角，为钝角，，，则的值为

.参考答案：14.已知向量=（1，﹣2），=（﹣2，y），且，则|3+2|=

．参考答案：【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由于可得1×y=（﹣2）×（﹣2），解可得y的值，即可得向量的坐标，由向量加法的坐标运算法则可得3+2的坐标，进而计算可得|3+2|，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（1，﹣2），=（﹣2，y），且，则有1×y=（﹣2）×（﹣2），解可得y=4，则向量=（﹣2，4）；故3+2=（﹣1，2）；则|3+2|==；故答案为：．15.已知数列是递增的等比数列,,则数列的前5项和等于_________参考答案：3116.已知点A是曲线上任意一点，则点A到直线=4的距离的最小值是________.参考答案：17.的值为

．参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点．（1）求证：BC⊥平面AEC；（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．参考答案：（1）证明：在图1中，过C作CF⊥EB∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD=1，∴EF=1．∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1．∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．连接CE，则CE=CB=，∵EB=2，∴∠BCE=90°，∴BC⊥CE．

在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，∴AE⊥平面BCDE．∵BC?平面BCDE，∴AE⊥BC．

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．

（2）解：用反证法．假设EM∥平面ACD．

∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，∴EB∥平面ACD．∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD

而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．∴假设不成立，∴EM与平面ACD不平行．略19.如图，已知椭圆的上顶点为,离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案：（1）（2）略

解析：解：（1）解：∵椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，离心率为，∴=，解得a2=3，∴椭圆C的方程为．（2）解：由=0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0，1），直线AP的斜率为1，得直线AP的方程为y=x+1，直线AQ的方程为y=﹣x+1，将y=x+1代入椭圆C的方程，并整理得：4x2+6x=0，解得x=0或x=﹣，因此P的坐标为（﹣，﹣），同理，得Q（，﹣）．直线l的方程为y=﹣．代入椭圆的方程并整理得,

设直线与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而

…………………7分

由得，整理得：由知. 此时,因此直线过定点.

………14分

略20.设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1），设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），又切线为y=x﹣1，可得，消a，再利用函数的单调性即可得出x0，a．（2）令，所以，可得其单调性．g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，进而证明结论．【解答】（1）解：，设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），即，又切线为y=x﹣1，所以，消a，得，设，易得g（x）为减函数，且g（1）=0，所以x0=1，a=1（2）证明：令，所以，当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）为单调递增；当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）为单调递减；所以g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x∈（1，2）时，f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以，①因为1＜x＜2，所以，所以，即，②①+②得：，故当1＜x＜2时，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、研究切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查,问应在第三批次中抽取教职工多少名？（3）已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.参考答案：解:(1)由,解得.

……………3分

(2)第三批次的人数为,

设应在第三批次中抽取名，则，解得.

∴应在第三批次中抽取12名.

……………6分

（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为，第三批次女教职工和男教职工数记为数对，由（2）知，则基本事件总数有：

，共9