河南省南阳市第四高级中学校2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

河南省南阳市第四高级中学校2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图像可能是 A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.设，若,实数a的取值范围是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D3.若直线不过第二象限，则实数的取值范围是A．

B．

C．k≥1

D．

参考答案：C4.在区间[﹣1，5]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】几何概型．【分析】在该几何概型中，其测度为线段的长度，根据P（|x|≤m）=得出m﹣（﹣1）=3，即可求出m的值．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，∵x∈[﹣1，5]，又|x|≤m，得﹣m≤x≤m，∴|x|≤m的概率为：P（|x|≤m）==，解得l=3，即m﹣（﹣1）=3，∴m=2．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，是事件发生的概率与构成该事件区域的长度成比例，是基础题．5.复数在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B． C．

D．参考答案：A6.设等差数列的前项和为，，则等于（

）A．10

B．12

C．15

D．30参考答案：C略7.在正方体上任取三个项点连成三角形，则所得的三角形是等腰三角形的概率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.若满足则的最大值为

A.

B.

C.

D.参考答案：D【考点】线性规划【试题解析】作可行域：

A(-2，0)，B(4，0)，C(1，3)，D（0，2）

由图知：目标函数过点D时，目标函数值最大，为9.已知R是实数集，集合，则A.(－∞,2]

B.[0,1]

C.(－∞,1]

D.[1,2]参考答案：B10.抛物线的焦点坐标为

；参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式．【分析】先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．12.已知a＞0，(x–)6的二项展开式中，常数项等于60，则(x–)6的展开式中各项系数和为

（用数字作答）．参考答案：1

【知识点】二项式定理的应用．J3解析：∵a＞0，(x–)6的二项展开式中，常数项等于60，∴通项Tr+1=C6r（﹣a）rx6﹣3r，当6﹣3r=0时，r=2，常数项是C6r（﹣a）r=60∴a=2，令x=1，得到二项式展开式中各项的系数之和是1，故答案为：1．【思路点拨】写出二项式的通项，令x的指数等于0，求出r的值，给x赋值，做出二项式展开式的各项系数之和．13.设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：①当c=0时，有f（﹣x）=﹣f（x）成立②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0，只有一个实数根③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称④当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）的最小值是c﹣．其中正确的命题的序号是．参考答案：①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】分不同情况画出函数图象，利用图象即可解答．【解答】解：对于①，当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx是奇函数，故①正确；对于②，当b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c，画出f（x）=x|x+c的图象，图象与横轴只有一个交点，方程f（x）=0，只有一个实数根，故②正确；对于③，∵f（x）+f（﹣x）=2c，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；对于④，当x＞0时；函数f（x）=x2+bx+c，f（x）的最小值有无要b而定，故④错﹣故答案：①②③【点评】本题考查了分段函数的图象及性质，属于中档题．14.下列命题：①命题：，满足，使命题为真的实数的取值范围为；②代数式的值与角有关；③将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数；④已知数列满足：，记，则；其中正确的命题的序号是

（把所有正确的命题序号写在横线上）．参考答案：①④略15.若的三边及面积满足,则

．参考答案：试题分析：由余弦定理得，所以，由，解得，（0舍去）考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.16.已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是_____________参考答案：17.已知全集，集合，则

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某企业计划生产A，B两种产品．已知生产每吨A产品需3名工人，耗电4kW，可获利润7万元；生产每吨B产品需10名工人，耗电5kW，可获利润12万元，设分别生产A，B两种产品x吨，y吨时，获得的利润为z万元．（1）用x，y表示z的关系式是；（2）该企业有工人300名，供电局只能供电200kW，求x，y分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？参考答案：解：（1）由题意，z=7x+12y；故答案为：z=7x+12y．（2）根据题意得作出可行域如右图，由解得，记点A（20，24）．当斜率为﹣的直线经过点A（20，24）时，在y轴上的截距最大．此时，z取得最大值，为×12=428（万元）．所以，x，y分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是428万元考点：简单线性规划．专题：计算题；应用题；作图题；不等式的解法及应用．分析：（1）由题意写出z=7x+12y；（2）由题意得到不等式组，从而作出可行域，z=7x+12y可化为y=﹣x，从而由几何意义找到最优解，解出最优解代入求最值．解答：解：（1）由题意，z=7x+12y；故答案为：z=7x+12y．（2）根据题意得作出可行域如右图，由解得，记点A（20，24）．当斜率为﹣的直线经过点A（20，24）时，在y轴上的截距最大．此时，z取得最大值，为×12=428（万元）．所以，x，y分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是428万元．点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及简单线性规划问题的处理方法，属于中档题19.（本小题满分12分）为预防病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于%，则认为测试没有通过），公司选定个流感样本分成三组，测试结果如下表：分组组组组疫苗有效疫苗无效已知在全体样本中随机抽取个，抽到组疫苗有效的概率是．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果，问应在组抽取样本多少个？（2）已知，30，求通过测试的概率．参考答案：（I）∵，∴

………………（2分）∵，

………………（4分）∴应在C组抽取样个数是（个）；

………………（6分）（II）∵，，，∴（，）的可能性是（465，35），（466，34），（467，33），（468，32），（469，31），（470，30），

………………（8分）若测试没有通过，则，，（，）的可能性是（465，35），（466，34），通过测试的概率是．

………………（12分）20.（本小题满分13分）

某次月考数学第Ⅰ卷共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分。”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，试求该考生：

（Ⅰ）得40分的概率；

（Ⅱ）得多少分的可能性最大？

（Ⅲ）所得分数的数学期望。参考答案：解：（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为，有一道题目做对的概率为，有一道做对的概率为，所以得40分的概率为

……………………4分（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为

……………5分得25分是指做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为

…6分得30分是指做对5题，其余3题只做对1题，所以概率为

………………7分得35分是指做对5题，其余3题做对2题，所以概率为………………8分得40分是指做对8题，，所以概率为

所以得30分的可能性最大…………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）得的分布列为：25303540所以

……13分略21.求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．参考答案：【分析】确定变换前后坐标之间的关系，代入椭圆方程，即可求出曲线的方程．【解答】解：设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），则，…则代入椭圆方程，得x2+y2=1，所以所求曲线的方程为x2+y2=1．…（10分）【点评】本题考查矩阵变换，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．22.浙江电视台2013年举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（I）将甲乙两班的大众评审的支持票数从小到大排列，根据众数、中位数与极差的定义和解法分别进行计算，即可求出答案．（II）根据已知求出：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（I）甲班的大众评审的支持票数：62，66，67，67，68，69，72，72，72，76，77，78，81，81，82，85，85，86，88，90．72出现了3次，出现的次数最多，故众数是72，从小到大排列最中间