河南省南阳市内张县高级中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

河南省南阳市内张县高级中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A． B．2 C．2 D．4参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc?sinA=c?，∴c=2=b，故B==30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．3.如上图，已知函数与轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，若随机向圆O：x2+y2=2内投入一米粒，则该米粒落在区域M内的概率是

A．

B．

C．

D．参考答案：B易知：圆的面积为，区域M的面积为，所以该米粒落在区域M内的概率是。4.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【

】.A.

B.

C.

D.参考答案：D由三视图知：三棱锥的底面为直角三角形，两直角边分别为5和4，三棱锥的高为4，所以三棱锥的体积为。5.在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC参考答案：C略6.已知A、B、C是球O的球面上三点,三棱锥O-ABC的高为,且,,,则球O的表面积为(

)A.24π

B.32π

C.48π

D.192π参考答案：C7.某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）456789销量V（件）908483807568由表中数据．求得线性回归方程为=﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，則它在回归直线右上方的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】线性回归方程．【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件在回归直线右上方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．【解答】解：=（4+5+6+7+8+9）=，=（90+84+83+80+75+68）=80∵=﹣4x+a，∴a=106，∴回归直线方程=﹣4x+106；数据（4，90），（5，84），（6，83），（7，80），（8，75），（9，68）．6个点中有3个点在直线右上方，即（6，83），（7，80），（8，75）．其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，故这点恰好在回归直线右上方的概率P==．故选：C．【点评】本题考查的知识是等可能性事件的概率及线性回归方程，求出回归直线方程，判断各数据点与回归直线的位置关系，并求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键8.已知集合，，则A∩B=A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据函数的定义域化简集合，利用对数函数的单调性化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由二次根式有意义的条件可得，解得，所以.由对数函数的性质可得，解得，所以，所以.故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.9.设集合,集合,则等于（

）A．

B．

C． D．参考答案：C10.如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若则（）A.2 B. C. D.参考答案：D试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以又，所以，即.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线方程直接求解抛物线的焦点坐标即可．【解答】解：抛物线y=4ax2（a≠0）的标准方程为：x2=，所以抛物线的焦点坐标为：．故答案为：．12.函数的图像上关于原点对称的点有（

）对A.0 B.2 C.3 D.无数个参考答案：C略13.已知函数f（x）=（a∈R）的图象与直线x﹣2y=0相切，当函数g（x）=f（f（x））﹣t恰有一个零点时，实数t的取值范围是．参考答案：{0}【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先利用函数f（x）=（a∈R）的图象与直线x﹣2y=0相切，求出a，再作出f（x）的图象，利用当函数g（x）=f（f（x））﹣t恰有一个零点时，即可实数t的取值范围．【解答】解：由题意，f′（x）=，取切点（m，n），则n=，m=2n，=，∴m=，a=e．∴f（x）=，f′（x）=，函数f（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）上单调递减，f（1）=0，x→+∞，f（x）→0，由于f（e）=1，f（1）=0，∴当函数g（x）=f（f（x））﹣t恰有一个零点时，实数t的取值范围是{0}，故答案为：{0}．14.双曲线﹣y2=1的焦距是

，渐近线方程是

．参考答案：2；y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．15.△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，满足．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件，利用两角和的正弦公式即可得出sinA=sinC，从而得到A=C，再根据b=c，从而△ABC为等边三角形．根据即可得到，这时候可以表示出，S△AOB=sinθ，从而可得到，可说明最大值为1，从而便可得出平面四边形OACB面积的最大值．【解答】解：解：∵△ABC中，；∴sinBcosA=sinA﹣sinAcosB；∴sinBcosA+cosBsinA=sinA；∴sin（A+B）=sinC=sinA；∴A=C；又b=c；∴△ABC为等边三角形，如图所示：则：；∴=1+4﹣4cosθ=5﹣4cosθ；∴=；；∴S四边形OACB=S△AOB+S△ABC==；∵0＜θ＜π；∴；∴，即时，sin取最大值1；∴平面四边形OACB面积的最大值为．故答案为：．16.已知，则的最小值是__________．参考答案：17.命题“”的否定是__

_

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0：50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．参考答案：【考点】：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）通过概率的和为1，求出a，求出50个样本中空气质量指数的平均值，即可得到由样本估计总体推出结果．（Ⅱ）利用样本估计总体，推出ξ～B（2，0.3）．ξ的可能取值为0，1，2，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望，得到一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．

解：（Ⅰ）由题意，得（0.03+0.032+a+0.01+0.008）×10=1解得a=0.02…（3分）50个样本中空气质量指数的平均值为=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6．由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6

…（6分）（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[0，20]内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ：B（2，0.3）．ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．∴ξ的分布列为：…（8分）Eξ=．（或者Eξ=2×0.3=0.6），…（10分）一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为30×0.3=9天．…（12分）【点评】：本题考查实数值的求法，考查平均值的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．19.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．平面向量=（cosA，cosC），=（c，a），=（2b，0），且?（﹣）=0（1）求角A的大小；（2）当|x|≤A时，求函数f（x）=sinxcosx+sinxsin（x﹣）的值域．参考答案：【分析】（1）由?（﹣）=0，结合平面向量的坐标运算可得（c﹣2b）cosA+acosC=0，化边为角得cosA=，进一步求得A的大小；（2）利用两角差的正弦、倍角公式及辅助角公式化简f（x）=sinxcosx+sinxsin（x﹣），再由|x|≤A求得x的范围，进一步求得相位的范围，可得函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵=（cosA，cosC），=（c，a），=（2b，0），∴由?（﹣）=（cosA，cosC）?（c﹣2b，a）=（c﹣2b）cosA+acosC=0，得（sinC﹣2sinB）cosA+sinAcosC=0，得﹣2sinBcosA+sinB=0．∵sinB≠0，∴cosA=，得A=；（2）f（x）=sinxcosx+sinxsin（x﹣）===．∵|x|≤A，A=，∴，得，∴，则∈[]．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．20..（本小题满分13分）设椭圆的方程为,点为坐标原点,点的坐标为，点的坐标为,点在线段上,满足,直线的斜率为.（1）求椭圆的离心率；（2）设点的坐标为,为线段的中点,点关于直线的对称点的纵坐标为,求椭圆的方程.参考答案：(1)；(2).故,所以椭圆的方程为.考点：椭圆的有关知识及运用．21.已知函数f（x）=+，（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=?[f2（x）﹣2]+f（x）（其中a为参数），求F（x）的最大值g（a）．参考答案：【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求得函数的定义域；把函数解析式两边平方，求出f2（x）的范围后得函数值域；（2）把f2（x）、f（x）的解析式代入F（x）=?[f2（x）﹣2]+f（x），然后令t=f（x）=+换元，化为关于t的二次函数，然后结合二次函数的性质分类求得F（x）的最大值g（a）．【解答】解：（1）由，得﹣1≤x≤1，∴函数f（x）的定义域为[﹣1，1]；又f2（x）=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得值域为[，2]；（2）∵F（x）=?[f2（x）﹣2]+f（x）=a++，令t=f（x）=+，则=t2﹣1，∴F（x）=m（t）=a（t2﹣1）+t=at2+t﹣a，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线mt=at2+t﹣a的对称轴，当a=0时，m（t）=t，∴g（a）=2；当a＞0时，m（t）=at2+t﹣a，t∈[，2]递增