2019-2021北京重点校高三（上）期中数学汇编：解三角形章节综合

9/92019-2021北京重点校高三（上）期中数学汇编解三角形章节综合一、单选题1．（2021·北京四中高三期中）在ΔABC中，“cosA<cosB”是“”A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为1,2,3,4,5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（）A．可能是锐角 B．一定是直角 C．可能大于2π3 D．一定小于二、填空题3．（2020·北京·人大附中高三期中）椭圆C：x2a2+y2b①△F②△F③线段F1F2④椭圆C上恰好有4个不同的点P．则椭圆C的离心率的取值范围是______．4．（2021·北京·一七一中高三期中）△ABC的内角的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3，则△三、解答题5．（2020·北京八中高三期中）1.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△（1）求sin∠（2）从①AD=1，②DC=22，③cosC=26．（2021·北京师大附中高三期中）在中，已知sinA=55，（Ⅰ）若ac=5，求的面积；（Ⅱ）若B为锐角，求sinC7．（2021·北京一七一中高三期中）已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3②a=13③c=15（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求△ABC的面积8．（2021·北京四中高三期中）如图，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1,CD=3（1）求AC的长；（2）若，求△ABC从①∠BCA=π3，9．（2020·北京·人大附中高三期中）已知f(x)=sin（1）求f(x)的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若fA2=0，10．（2021·北京·北京四中高三期中）在中，sinB=2sinC（1）若的面积为7，求c的值；（2）求ac的值.参考答案1．C【分析】由余弦函数的单调性找出cosA<cosB的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cosA<cosB【详解】∵余弦函数y=cosx在区间0,π上单调递减，且0<A<π，由cosA<cosB，可得，∴因此，“cosA<cosB”是“故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.2．D【分析】首先列出所有能够围成三角形的三边的组合，再分类讨论利用余弦定理计算可得；【详解】解：从长度分别为1,2,3,4,5的5根细木棒中选择三根有1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,5，2,3,4，2,3,5，2,4,5，3,4,5共10种取法，其中能够围成三角形的有2,3,4，2,4,5，3,4,5，若三边为2,3,4，设最大角为θ，则cosθ=2若三边为2,4,5，设最大角为θ，则cosθ=2若三边为3,4,5，设最大角为θ，则cosθ=3故最大内角一定小于5π6故选：D3．1【分析】由已知△F1F2P是以F1F2为腰的等腰三角形，即点P在以F1【详解】如图，根据椭圆的对称性知，点P及关于x轴，y轴，原点对称的其它3点，即为椭圆C满足条件的4个不同的点．根据题意可知△F1F2P是以F1F2，F1由题知以F1为圆心，2c为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足条件的等腰△此时必有F1P>AF1，即2c>a-又∠PF1F2为钝角，则cos整理得c2+2ac-a2<0综上，可知椭圆C的离心率的取值范围是1故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的基本性质，及椭圆离心率的取值范围，解题关键是找到关于a,c的不等关系，本题中△F1F2P是以F4．6【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用a,c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得b2所以(2c)即c解得c=23所以a=2c=43S【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．5．（1）1（2）选①②:BD=2，AC=1；选②③:BD=2，AC=1；选①③：BD=2，AC=1或BD=，AC=31414【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=AD⋅sin∠（2）若选①②，由（1）可求BD=2，过D作于M，作于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长；若选②③，由（1）知BD的值，在△ABC中，由正弦定理可得c=2b，由余弦定理可得2b2+b若选①③，由正弦定理可得c=2b，由余弦定理可得2b2=1+2x2，又cosC=24（1）如图，过A作AE⊥BC于∵S△ABDS△ADC=12BD×AE12DC×AE=2，在△ABD中，BDsin∠BAD=在△ADC中，DCsin∠DAC=∴sin∠（2）若选①AD=1，②DC=22，由（1）知，过D作于M，作于N，∵AD平分∠BAC，∴，∴S△ABDS△ADC=12AB⋅DM1∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠∴由余弦定理可得：2x2+12-22∴BD的长为2，AC的长为1．若选②DC=22，③cosC=2因为，所以在△ABC中，由正弦定理可得bc=12由余弦定理cosC=24=b2∴BD的长为2，AC的长为1．若选①AD=1，③cosC因为，所以在△ABC中，由正弦定理可得bc=12因为∠BAD=∠DAC，可得cos∠BAD=cos∠DAC所以由余弦定理可得：2b2+1-2x2又cosC=24由①②可得14x4-9x2+1=0，解得x2由①可得b=1，可得BD的长为2，AC的长为1．或b=31414，可得BD的长为，AC的长为6．（Ⅰ）2;（Ⅱ）115【详解】试题分析：第一问该题是有关解三角形问题，第一问根据题中的条件sinA=55，结合同角正余弦平方和等于1，从而求得cosA=255，利用正弦定理，结合题中的条件，求得，利用三角形的面积公式求得结果；第二问由第一问中的结果，结合题中的条件B为锐角，利用同角正余弦平方和等于（Ⅰ）由b=2acosA，得cosA>0，因为因为b=2acosA，所以故的面积S=12ac（Ⅱ）因为sinB=45，且所以sinC方法点睛：该题考查的是有关解三角形问题，在解题的过程中，一定要抓住题的条件，死咬同角的正余弦平方和等于1，以及灵活应用正弦定理，熟练应用诱导公式以及正弦和角公式，从而能够正确得出结果.7．（1）△ABC同时满足①，②，③，理由见解析.（2）30【分析】（1）判断三角形的满足条件，推出结果即可.（2）利用余弦定理求出b，利用面积公式求解△ABC的面积【详解】（1）△ABC同时满足①，②，③理由如下：若△ABC同时满足①，④，则在锐角△ABCsinC=又因为A=π3所以B>π2，这与所以△ABC不能同时满足①，④，所以△ABC同时满足②，③因为c>a所以C>A若满足④.则A<C<π6，则B>π2故△ABC不满足④故△ABC满足①，②，③（2）因为a2=所以13解得b=8或b=7.当b=7时，cos所以C为钝角，与题意不符合，所以b=8.所以△ABC的面积S=1【点睛】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.8．（1）2（2）选①时：S△ABC=92+6【分析】（1）、根据二倍角的余弦公式求出cos2B,再求出cosD,（2）、选①时：根据两角和的正弦公式求出sin∠BAC，利用正弦定理求出选②时：利用余弦定理求出AB，结合三角形面积公式计算即可；（1）由，得cos2B=2cos2B-1=-1在△ADC中，由余弦定理得：AC2=A（2）选①∠BCA=π3时:由（1）可知∵cosB=在△ABC中，ACsinB=∴S选②BC=6时:由（1）可知AC=23，在△ABC中，由余弦定理得,cosB=BC2+A∴S9．（1）π4+kπ,3π4+kπ【分析】（1）首先根据三角函数恒等变换得到fx=（2）首先根据fA2=0得到sinA=1【详解】（1）由题意f(x)=12由π2+2kπ≤2x≤3π所以fx的单调递减区间是π4（2）因为f(A2)=由题意A是锐角，所以c