新教材高中数学数列.2.1.2等差数列的性质课时分层作业含解析新人教B版选择性必修

04/505/5/课时分层作业(四)等差数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．10A[由a1＋a9＝2a5＝10得a52．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35C[由题意可知a3＋a4＋a5＝3a4＝12，即a4又a1＋a2＋…＋a7＝3(a1＋a7)＋a4＝7a4∴a1＋a2＋…＋a7＝7×4＝28，故选C.]3．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2aA．an＝2n－5 B．an＝2n－3C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1B[∵a－1，a＋1,2a＋3是等差数列{an}的前三项，∴2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，解得∴a1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.故选B.]4．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2C[由a，b，c成等差数列知2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝a＋2＋c＋2，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]5．在古老的数学着作中，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的eq\f(1,7)是较小的两份之和，则最小的1份为()A.eq\f(5,3)B.eqB.\f(10,3)C.eqC.\f(5,6)D.eqD.\f(11,6)A[设五个人分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100，∴a＝20，由eq\f(1,7)(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝eq\f(55,6)，∴最小的一份为a－2d＝20－eq\f(110,6)＝eq\f(5,3).故选A.]二、填空题6．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．－3[设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝eq\f(x1＋x2,2)＝－3.]7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________.100[∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴an＋bn＝100，故a37＋b37＝100.]8．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图像与x轴的交点的个数为________．1或2[∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图像与x轴的交点个数为1或2.]三、解答题9．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解]设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，∴d＝1.故所求的四个数为－2,0,2,4.10．(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋[解](1)法一：根据等差数列的性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝eq\f(1,3)，∴a4＋a8＝2a6＝eq\f(2,3).法二：设公差为d，根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d，由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝eq\f(1,3).∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝eq\f(2,3).(2)设公差为d，∵a1＋a3＝2a2∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2∴a2＝5.又a1a2a3＝80，{an∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a1211．(多选题)设{an}是等差数列，则下列结论中错误的是()A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C．若0<a1<a2，则a2>eq\r(a1a3)D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0ABD[若等差数列是an＝5－3n，满足a1＋a2＝2＋(－1)＝1>0，但a2＋a3＝(－1)＋(－4)＝－5<0，A错误；an＝5－3n也满足a1＋a3＝2＋(－4)＝－2<0，但a1＋a2＝2＋(－1)＝1>0，B错误；若0<a1<a2，则a2＝eq\f(a1＋a3,2)>eq\r(a1a3)，C正确；设等差数列{an}的公差为d，则(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，D错误．故选ABD.]12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq\f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝()B.eqB.eq\f(3,4)C.eqC.\f(1,2)D.eqD.\f(3,8)C[设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d∵a1＝eq\f(1,4)，∴d＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，a3＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，a4＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,4).∴|m－n|＝|a1a4－a2a＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(7,4)－\f(3,4)×\f(5,4)))＝eq\f(1,2).]13．在等差数列{an}中，已知a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则eq\f(1,2)a50＋a20＋a80＝________.eq\f(25,2)[由题意，知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a99＝10.又因为{an}是等差数列，所以a50＝eq\f(a1＋a99,2)＝5，故eq\f(1,2)a50＋a20＋a80＝eq\f(5,2)a50＝eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,2).]14．(一题两空)在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4＝________，an＝________.eq\f(1,2)eq\f(6－n,n)[由题意可知eq\f(2,a4＋1)＝eq\f(1,a2＋1)＋eq\f(1,a6＋1)，15．在数列{an}中，已知a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2，且n∈N＋)．(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,2n)))为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．[解](1)因为a1＝5，所以a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋2(2)假设存在实数λ，使得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,2n)))为等差数列，则eq\f(a1＋λ,2)，eq\f(a2＋λ,22)，eq\f(a3＋λ,23)成等差数列，所以2×eq\f(a2＋λ,22)＝eq\f(a1＋λ,2)＋eq\f(a3＋λ,23)，即eq\f(13＋λ,2)＝eq\f(5＋λ,2)＋eq\f(33＋λ,8).解得λ＝－1.当λ＝－1时，eq\f(an＋1－1,2n＋1)－eq\f(an－1,2n)