高中数学曲线方程经典习题

圆锥曲线方程•知识网络•范题精讲【例1】已知椭圆的两焦点为斤(0,—1)、用(0,1),直线尸4是椭圆的一条准线.求椭圆方程；设点P在椭圆上，且|朋|一|加|=1,求tanZ幷朋的值.解析:本題考查椭圆的基本性质及解題的综合能力.2⑴设椭圆方程为匚+二=1@＞力＞0)・次cr2由题设知夕1,—=4t.\a2=4,Z?2=a—d?2=3.c•••所求椭圆方程为—=1・4(2)由⑴知d=4,a=2.由椭圆定义知丨朋丨+|朋1=4,又|朋|一丨朋|=1,:.\PM=-.\K\=-・2又\F^\=2c=2,259由余弦定理遇苟啓普需景严丄亍冷.X2X2「•tanZ/^朋二/1=./—-1=—.Yeos订/侶V93【例2】已知双曲线=l,it点川2,1)的直线/与已知双曲线交于A、A两点.2求线段”乙的中点P的轨迹方程；过点3(1,1)能否作直线厂，使厂与已知双曲线交于两点0、且〃是线段的中点？请说明理由.⑴解法一：设点”、A的坐标分别为(必，戸)、(上，护)，中点P的坐标为(x,y),则有x\—=1,X22—=1,乙乙两式相减，得25+Q(山一疋)=(/+必)(y】—必).当*】工*2,尸钟时，由x\+x2=2x.yi+^2=2yf得①)，“-勺又由R、P-P、力四点共线，得2zl=21二2②x-2X]-吃由①②得兰=丄二£,vX-29r即2*2—声一4*+尸0・当x产卫时，x=2.y=0满足此方程，故中点P的轨迹方程是2x—y—4x+^=0.

解法二：设点“、卩2、中点P的坐标分别为3,必）、（血必）、（儿y）,直线/的方程为尸川/一2）+1,将/方程代入双曲线”一于一1中，得（2—”）x+2k（2k-1）x+2^-3=0,则卅段=2则卅段=2心_1丿k2—23-2丘Ep4(2£-1)f_2A]+x2_k(2k-l)=k2-l'_儿+比_2(2£—1)k—2当yHO时，由①②得k=——・将其代入①，整理得2Z-/-4x+j-0.当/倾斜角为90°时，P点坐标为（2,y0）仍满足此方程，故中点戶的轨迹方程为2Y-/-4卅尸0.（2）解：假设满足题设条件的直线1'存在，Q.、@的坐标分别为（巫必）、（应,尹），同⑴得2（朋+幻5—舶）=（乃+必）（乃—戸）・Vx3+xi=2,7：i+/i=2,=2（朋工川）,=2（朋工川）,即/的斜率为2.・・.尸的直线方程为y-l=2a-l）,即/=2x—1.y=2x_l,•••方程组彳,代无解，与假设矛盾.X--—=12•••满足条件的直线/不存在.【例3】如下图，已知△恥的面积为S,且OF-FQ=1.（1）若S的范围为*<S<2,求向量亦与巨的夹角〃的取值范围；（2）设|丽|巳（&若以0为中心，厂为焦点的椭圆经过点@当丨苑丨取得最小值时，求此椭圆4的方程.分析:本題考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.解：解：(1)VOF•FQ=19：.\OFFQ•cos0=\.又丄丨亦丨•又丄丨亦丨•丨起丨•2sin(180°一0)=Stan0=2Stan0=2S、S=tan^~2~又丄<S<2,•••丄<卫皿〈2.即l<tan0<4,22••亍San4・

（2）以乔所在的直线为/轴，以亦的过0点的垂线为y轴建立直角坐标系（如下图）.:.0(0,0)9F(c90).“仏必)・->2设椭圆方程为L+展二1・又丽•ro=us=-c94A(c90)•(XQ—CfJb)=l.由①得C(Xo~C)=l=>Xo=c+—・由②得以弓当C=2时，丨00|nin=J(2+㊁)-+才=，此时±2）,M2,0）.2?259代入椭圆方程得<+_+糸=人a1-b2=4.to.*.a2=10,Z?2=6.->2・•.椭圆方程为—+-^-=1.106评析：新知识（向量）在几何中的应用是值得关注的趙势.•试题详解高中同步测控优化训练（十一）第八章圆锥曲线方程（-）（A卷）说明：本试卷分为第I、I【卷两部分，请将第I卷选择题的答案填入题后括号内，第II卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第I卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1•椭圆2/+3/=6的焦距是A.2C.2V52(V3-V2)A.2C.2V5D.2(73+V2)解析:将2r+3y=6化为标准方程为—+^-=1,2:&=*、氏=2、c=3—2=1>

焦距2c=2Xl=2.答案:A2.方程4(+砂=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则斤的取值范围是QOB.0<^<20<从4D.2<^<4解析:将方程变为P严,由已知可砒鈴,.・.°gR答案:C25A.7.5C.2.5解析：Va=5,Zf4,/.c=3.3•25A.7.5C.2.5解析：Va=5,Zf4,/.c=3.12.58.5两准线间的距离为2・『2X亍罟"到左准线的距离为2.5,则〃到右准线的距离为¥-2.5哼.设椭圆右焦点为尺则^-=-=|,/.MF|=8.5.2a3T答案：D4•若双曲线二一二=1的实轴长、虚轴长.焦距成等差数列，则双曲线的高心率是TOC\o"1-5"\h\zA.2B.3-D.-3解析：由2b=a^c得4l/=a2+2ac+c\艮卩3c2—2ac—5a=09.\3e2—2e—5=0.•:歹?・3答案：D225•双曲线二一匸.=1的两焦点为斤、心点P在双曲线上，且直线〃、朋倾斜角之差为仝•则△朋尺的面9163积为B.32A.B.32C.32D.42解析：由题意可知|〃丨一|%|=6,Z/^/7s=£J/^/s|=10・3由余弦定理，得|^|2=(|/^|-|/^|)2+|/^|•曲I,•:\PFx\•1/7^1=64・：.S=-X64sin—=16-73,选A.TOC\o"1-5"\h\z23答案:A22以椭圆二+匚二1的焦点为焦点，高心率歹2的双曲线方程是239a.-2i=iB.^-r=iTOC\o"1-5"\h\z612614c.^-Z=iD.^-r=i14412解析:晶25,养9,则d=16,夕4,椭圆焦点坐标为(4,0)、(_4,0).双曲线的焦点仍为(4,0)、(一4,0),由于6=2,c=4,干2,才=12.•••双曲线方程为二一工二1.12答案:Dhr1已知双曲线二一二=1和椭圆二+二=1@＞0,〃＞方＞0)的离心率互为倒数，那么以去b、加为边的三角形茁"〃厂/rA.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D•等腰三角形解析：双曲线二一匚=1的离心率稣二^(Tb'aa椭圆的离心率4"一『.mTq与◎互为倒数，302=1,an^a2+b24nr-b2,.,-z_,八即・=1,整理得a+l)-=m.am・•.以次b、/〃为边的三角形是直角三角形.答案:B方程^3(.v+l)2+3(y+l)2=|x+y—21表示的曲线是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.不能确定解析:数形结合法.动点P(x$到定点(-1,-1)和定直线卅『一2=0距离之比为半.答案:B22229•若椭圆£+匸二13＞〃＞0)和双曲线二一二=1@＞力＞0)有相同的焦点斤、砥戶是两条曲线的一个交点,mndTb"则I彤I・|朋|的值是A.m—aB.丄(血一&)2C.nf—^D.—y/a解析：|朋|+|%|=2妬，|朋丨一丨处1=2需，/.\PFi\=yfm+y[a,.PFi|=yjm—需・IWI•\PFz\=m~a.答案:A

10.已知几尺为椭圆二+£=1@＞〃＞0)的焦点为椭圆上一点，必垂直于/轴，且ZA«=60°•则椭圆CT/?"的离心率为A.丄B.返TOC\o"1-5"\h\z22/止2分析:本題考查如何求椭圆的离心率.22»2解：•••」％；丄/轴，•••〃点的横坐标为财一c把肝代入椭圆方程亠+亠=1中，得厅如下图所示./lrtrFf2cl在Rt△•奶尺中，tanZ/^；l#s=-12—^=V3,MF、b~即2ac=y[3I)./.V3^~2ac~gc2=0.每一项都除以8二得羽~2e~-\/3e=0,解得e)=—或&2=—V?(舍).3答案:C第I【卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.若椭圆的两个焦点为A(-4,0)、尺(4,0),椭圆的弦/怡过点虫，且△旳眺的周长为20,那么该椭圆的方程为.解析：处的周长：MeI+M川+丨眺|+|财1=2豺2沪4沪20,:.5=5.又•:c=4,:.Zf3.•:椭圆的方程为令計.12•已知戶是椭圆上的一点，R、尺是椭圆的两个焦点，Z朋用=90°,ZPfU230°，则椭圆的离心率是解析:因为气今2c解析:因为气今2cIPFJ+/FJTOC\o"1-5"\h\z于是在△〃応中，由正弦定理知歹.sm90°+sm30c3答案:£Q1经过点M10,-).渐近线方程为y=±-x的双曲线方程为3分析:本題考查依据条件求双曲线的方程.解：设双曲线的方程为lx—3y)(x+3y)=/〃(/〃丘R.且0),QQQ因双曲线过点M10,-),所以有(10-3X-)(10+3X-)=//A得〃尸36.3322所以双曲线方程为Y-9/=36,即—一罕=1・364

答案：二一二=136422方程—+—=1表示的曲线为C,绐出下列四个命题：4-kk-l曲线C不可能是圆；若1<K4,则曲线C为椭圆;若曲线C为双曲线，则Ml或&>4；若曲线C表示焦点在/轴上的椭圆，则KK-.2其中正确的命题是•解析：当4_k=k_\,即k=—时表示圆，否定命题①，显然k=—£（1,4）,22・•・否定命题②；若曲线C为双曲线，则有（4-A）a-l）<0,即4<&或£<1,故命题③正确；若曲线6•表示焦点在x轴上的椭圆，则4一£>£一1>0,解得KK-,说明命题④正确.2答案:③④三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分8分）设椭圆的中心为坐标原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于8JJ,求椭圆方程.解：依题意，设所求椭圆方程为二+二=1,cr•.•椭圆右焦点Ac,0）与短轴两端点久〃连成60°的角，如图，则ZAFB=60°，△/1/莎为等边三角形，TOC\o"1-5"\h\z于是有a=2b.①又由两准线间的距离等于8巧，得,2a'=8y^.②>Ja2-b2联立①©两方程，解得干6,戻3.故所求椭圆方程为—=1・369（本小题满分10分）已知椭圆二+罕=1,过点P（2,1）引一条弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线164方程.解:如图,设弦与椭圆的两交点坐标为心,戸）、血必）.又P（2,l）,・屛+4）『=16,①工―②①一②得（&—疋）（Xi+A2）+4（/i—y2）（/1+/2）=0,儿一儿__勺+耳儿一儿__勺+耳4（.vi+y2）2x1.=-—=k.^4x2x12•'•Z彷的方程为y—1二一丄（x—2）.2（本小题满分12分）求以椭圆—+^=1的顶点为焦点•且一条渐近线的倾斜角为包的双曲线方程.64166分析：已知渐近线方程为bx±ay=09中心在原点，求双曲线的方程•可设双曲线方程为圧#一才b二入（入工0）,根据其他条件•确定入的正负.解：椭圆的顶点坐标为(土&0)、(0,±4).•.•双曲线渐近线方程为x±y[3y=0,则可设双曲线方程为疋一3戶&伙工0),3若以(土&0)为焦点，则A+-=64,得扫4&双曲线方程为二一^-=1；34816若以(0.±4)为焦点•则一上一侣16,得冶一12.双曲线方程为—=1.341222(本小题满分12分)如下图，双曲线工一二=13丘1<)的两个焦点为F、、九P为双曲线上一点，b~|岀<5,|朋|、"用|、|彤|成等差数列，求此双曲线方程.解：Ji朋I、|月网、I彤I成等差数列,・|朋|+|朋|=2"E|=4c.又I朋|一|%|=2沪4,A|/^]|=2c+2,\P/^>\=2c-2.根据中线定理有|/7汗+|朋|2=2(|刚2+“切2)〈2(5沁2),:.(2<?+2)2+(2c—2)2<2(52+<?2)..\8c+8<50+2c.：.c<79即4+tf<7.Ai)<3.又Z?eN\AZfI.•••所求双曲线方程为—-x=l.4(本小题满分12分)在△月处中，已知27(-2,0)、C(2,0),月〃丄化?于点D、HABC的垂心为〃，且AH=|~HD.求点〃匕,y)的轨迹0的方程；已知戶(一1.0)、0(1,0),〃是曲线G上的一点，那么丄厂•丄，丄厂能成等差数列吗?若能，求出J/点\MP\\PQ\\^Q\的坐标；若不能，请说明理由.解：•••//点坐标为(x,y),则〃点坐标为(儿0),由定比分点坐标公式可知M点的坐标为(儿仝y)・3/.BH=(x+2,y).C4=(x—2t—y)・3/f22由创丄以知y-4+j-y=0,即才+亍1，•••0的方程为二+二=1(护0)・3解法一：显然只0恰好为&的两个焦点，:.\MP\+\MQ\=4,\PQ\=2.若丄，丄，丄厂成等差数列，则丄「+丄厂二丄=1.