高中数学新教材必修第一册知识点总结

高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章集合与常用逻辑用语集合的概念集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.集合的三个特性：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.集合中元素的三个特性：（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.集合的符号表示通常用大写的字母A,B,C，…表示集合，用小写的字母a,b,c表示集合中的元素.集合的相等当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等•集合A与集合B相等记作A二B.元素与集合之间的关系（1）属于：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作awA，读作a属于A.（2）不属于:如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a电A，读作a不属于A.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集•如方程X2二1的实数根组成的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式x-1>0的解组成的集合.常用数集及其记法（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作N*或"+•（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N.（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z.（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q.（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R.集合表示的方法（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝，把“方程（X-1）（x+2）=0

的所有实数根”组成的集合表示为{1,-2}.（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法•一般格式为{x|p（x）}，其中x是集合中的元素代表，p（x）则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式x-7<3的解集可以表示为{xeRx一7<3}={xeRx<10}.1.2集合间的基本关系子集一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记为AcB或（B：A）读作集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）.集合A是集合B的子集可用Venn图表示如下：关于子集有下面的两个性质：（1）反身性：关于子集有下面的两个性质：（1）反身性：A匸A；（2）传递性：如果A匸B，且B匸C，那么A匸C.2•真子集如果集合A匸B，但存在元素xeB，且x电A，我们称集合A是集合B的真子集，记为A辜B（或B寻A），读作集合A真包含于集合B（或集合B真包含集合A）•集合A是集合B的真子集可用Venn图表示如右.集合的相等如果集合A匸B，且B匸A，此时集合A与集合B的元素是一样的，我们就称集合A与集合B相等，记为A=B.集合A与集合B相等可用Venn图表示如右.4控集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为0•我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即（1）0匸A（A是任意一个集合）；（2）0辜A（A鼻0）.集合的运算并集自然语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AuB(读作“A并B”).(1)A与B有公共元素，相互不包含理解：xWA(1)A与B有公共元素，相互不包含理解：xWA或xGB包括二种情况:(2)A与B没有有公共元素符号语言：AuB={x|xgA,或xgB}.并集的性质：(1)AuB=BuA；⑵AuA=A；(3)Au0=A；(4)(AuB)uC=Au(BuC)；AuAuB，BuAuB；AuB=BoAuB.交集自然语言：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AcB(读作“A交B”).符号语言：AcB={xxgA,且xgB}.图形语言：

(2)A与B没有公共元素,A(2)A与B没有公共元素,A-B=:(5)A=B,A-B=A=B理解：当A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说A与B的交集是0.交集的性质：AcB=BcA；AcA=A；Ac0=0；(AcB)cC=Ac(BcC)；AcB匸A，AcB匸B；AcB=AoA匸B.补集全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.(2)补集的概念自然语言：对于一个集合A，由属于全集U且不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记为JA.符号语言图形语言Cua符号语言图形语言Cua={x|xeU,且x电A}补集的性质(1)Ac(CA)=0；U

Au(CA)=U；U(CA)u(CB)=(AnB)；UUU化A)n化B)=(AuB).UUU充分条件与必要条件充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q•这时，我们就说，由p可推出q，记作p=q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.在生活中，q是p成立的必要条件也可以说成是：「q二「p(F表示q不成立),其实，这与pnq是等价的•但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p令q•此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题，即既有pnq，又有qnp就记作poq-此时，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件•显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件•概括地说，如果poq，那么p与q互为充要条件.“p是q的充要条件”，也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等.全称量词与存在量词全称量词与存在量词⑴全称量词短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“X/”表示•常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等•含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为VxeM，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.(2)存在量词短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示•常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为BxBxgM，p(x)，读作“存在M中的元素X，使p(x)成立”.全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题的否定全称量词命题：VxeM,p(x),它的否定：BxgM,->p(x).全称量词命题的否定是存在量词命题.存在量词命题的否定存在量词命题：BxgM,p(x),它的否定：VxeM,「p(x).存在量词命题的否定是全称量词命题.第二章一元二次函数、方程和不等式等式性质与不等式性质比较原理a>boa-b>0；a=boa-b=0；a<boa-b<0.等式的基本性质性质1如果a二b，那么b二a；性质2如果a—b,b—c，那么a=c；，性质3女口果a二b，那么a土c二b土c；性质4如果a=b，那么ac=bc；ab性质5如果a—b,c主0，那么一=—.cc不等式的基本性质性质1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>bob<a性质2如果a>b,b>c，那么a>c.即a>b,b>cna>c.性质3如果a>b，那么a+c=b+c.由性质3可得，a+b>cna+b+(-b)>c+(-b)na>c-b.边.边.t生质4如果a>b,c>0，那么ac>be；如果a>b,c<0，那么ac<bc.f生质5如果a>b,c>d，那么a+c>b+d.性质6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.性质7如果a>b>0，那么an>b(neN,n>2).基本不等式重要不等式Va,beR，有a2+b2>2ab，当且仅当a=b时，等号成立.基本不等式如果a>0，b>0，则Jab<当且仅当a=b时，等号成立.叫做正数a叫做正数a，b的算术平均数,丽叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.与基本不等式相关的不等式1)当a,beR时，有当且仅当a=b时，等号成立.2)当a>0，b>0时，有<“ab，当且仅当a=b时，等号成立.(3)当a,beR时，有a2+b2~2~当且仅当a=b时，等号成立.利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，那么(1)如果积xy等于定值P，那么当x二y时，和x+y有最小值2p；

(2)如果和x+y等于定值S，那么当x二y时，积xy有最大值4S2.二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(a>0)A>0A=0A<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象J■1\y1rfjIff严.J111\\y；J.Vx\Oi\X/x2xJOx1=x2x一兀二次方程ax2+bx+c二0(a>0的根有两相异实根x,x(x<x)1212有两相等实根bx=x=-——122a无实根ax2+bx+c>0(a>0)的解集仁<x或x>x}12Jb[<xx丰-——>[2aJRax2+bx+c<0(a>0)的解集4x<x<x}1200第三章函数的概念与性质函数的概念及其表示函数的概念设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的的数y和它对应，那么就称/:ATB为从集合A到集合B的一个函数，记作y二/(x),xwA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)1xwA｝叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集.区间：设a,b是两个实数，而且a<b，我们规定:满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］；满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；满足不等式a<x<b或a<x<b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为:［a,b),(a,b］.这里的实数a，b都叫做相应区间的端点.这些区间的几何表示如下表所示.定义名称符号数轴表示{xa<x<b}闭区间[a,b]>-abx{xa<x<b}开区间(a,b)H补abx{xa<x<b}A半开半闭区间[a,b)abx{xa<x<b}(小/LI半开半闭区间(a,b]abx(4)实数集R可以表示为(―叫+8),“”读作“无穷大”,“一0”读作“负无穷大”,“+8”读作“正无穷大”.满足x>a，x>a，x<b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为［a,+8)，(a,+8)(—8,b］，(—8,b).这些区间的几何表示如下表所示.定义符号数轴表示{x—8<x<+8}(—8,+8)0x{xx>a}[a,+8)・」ax{xx>a}(a,+8)6>ax{xx<b}(—8,b]1Abx{xx<b}(—8,b)6*-bx注意：

“S”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数以”或"+8”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.函数的三要素(1)定义域；(2)对应关系；值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.函数的表示方法解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.说明：将自变量的一个值x作为横坐标，相应的函数值f(x)作为纵坐标，就得到坐标平00面上的一个点(x,f(x))•当自变量取遍函数的定义域A中的每一个值时，就得到一系列这00样的点，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.函数y=f(x)的图象在x轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在y轴上的射影构成的集合就是函数的值域.函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.分段函数分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如(1)f(x)二(1)f(x)二x—x,x<0,x,x>02)f(x)=x2,x<0,一x2,x>0说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数•处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式并且必须指明各段函数自变量的取值范围.分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.分段函数的图象1212分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.单调性与最大(小)值增函数设函数f(x)的定义域为I,区间DUI.如果vx,xgD，当x<x时，都有f(x)<f(x),121212那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.减函数设函数f(x)的定义域为I,区间DUI.如果Vx,xgD，当x<x时，都有f(x)>f(x),121212那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.单调性、单调区间、单调函数如果函数y二f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y二f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间d叫做y=f(x)的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.证明函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：设值：设x,xgD，且x<x；1212作差：f(x)-f(x)；12变形：对f(x)-f(x)变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底；④判断符号，得出函数的单调性.函数的最大值与最小值最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：对于任意的xeI,都有f(x)<M；存在xe1,使得f(x)—M.00那么我们称M是函数y—f(x)的最大值.最小值：设函数y—f(x)的定义域为1，如果存在实数m满足：对于任意的xeI,都有f(x)>m；存在xeI,使得f(x)—m.00那么我们称m是函数y—f(x)的最小值.奇偶性偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果VxeI，都有-xeI，且f(-x)—f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论：偶函数的定义域一定关于原点对称•也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；偶函数的图象关于y轴对称•反之也成立；偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果VxeI，都有-xeI，且f(-x)—-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.关于奇函数有下面的结论：奇函数的定义域一定关于原点对称•也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；如果奇函数当x—0时有意义，那么f(0)—0.即当x—0有意义时，奇函数的图象过坐标原点；奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.幂函数幂函数的概念一般地，形如y=x«（«eR,a为常数）的函数称为幕函数.对于幕函数，我们只研究a=1,2,3,I,-1时的图象与性质.五个幕函数的图象和性质y=xy=x2y=x31y=x2y=x-1定义域RRR[0,+g)(-g,0)u(0,+g)值域R[0,+g)R[0,+g)(-g,0)u(0,+g)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数在（0]上递减（-g,0]在上递增增函数增函数在'(-g,0)，(0,+g)^上递减定点[0,+g)(1,1)函数的应用（一）略.第四章指数函数与对数函数指数n次方根与分数指数幕（1）方根如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且neN*.当n是奇数时,正数的n次方根是正数，负数的n方根是负数•这时，a的n方根用符号n方表示.当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数•这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号-爲表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成士n'a（a>0）•负数没有偶次方根._0的任何次方根都是0，记作n'0=0.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.关于根式有下面两个等式：na,n为奇数na,n为奇数lal,"为偶数.2.分数指数幂(1)正分数指数幂==n'am(a>0,m,neN*,n>1).0的正分数指数幕等于0负分数指数幕=2—(a>0,m,neN*,n>1).a；nam0的负分数指数幕没有意义.有理数指数幕的运算性质aras=ar+s(a>0,r,seQ)；(ar)s=ars(a>0,r,seQ)；(ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ).无理数指数幕及其运算性质无理数指数幕的概念当x是无理数时，ax是无理数指数幕•我们可以通过有理数指数幕来认识无理数指数幕.当x的不足近似值m和过剩近似值n逐渐逼近x时，。加和an都趋向于同一个数，这个数就是ax.所以无理数指数幕ax(a>0,x是无理数)是一个确定的数.实数指数幕的运算性质整数指数幕的运算性质也适用于实数指数幕，即对于任意实数r,s,均有下面的运算性质.aras=ar+s(a>0，r，seR)；(ar)s=ars(a>0，r，seR)；(ab)r=arbr(a>0，b>0，reR).指数函数指数函数的概念函数y=ax(a>0，且a丰1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.指数函数的图象和性质一般地，指数函数y=ax(a>0，且a丰1)的图象和性质如下表所示:0<a<1a>1图象\y=ax\1(0.1)y=1JT/y=axOxx定义域R值域(0,+8)性质（1）过定点（0,1），即x=0时，y=1（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数对数对数的概念一般地，如果ax=N（a>0,a丰1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logN.a其中a叫做对数的底数，N叫做真数.当a>0，且a丰1时，ax=Nox=logN.a两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把logN记为lgN.10（2）自然对数：以e（e是无理数，e=2.71828…）为底的对数叫做自然对数，并把logNe记作InN.关于对数的几个结论（1）负数和0没有对数；（2）log1二0；a（3）loga二1.a对数的运算如果a>0，且a丰1，M>0，N>0，那么（1）log（MN）=logM+logN；aaa（2）logM=logM-logN；aNaa（3）logMn=nlogM（neR）.aa换底公式logb=alogb=alogb

logcac(a>0，且a丰1,b>0,c>0,c丰1).对数函数对数函数的概念一般地，函数y二logx（a>0，且a丰1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是a(0,+8).对数函数的图象和性质0<a<1a>1图象1ix=1!1\:\(1,0)一jy「;x=1y=lo附O\x:y=logxO,/；(1,0)x/1定义域(0,+8)值域R性质（1）过定点（1,0），即当x=1时，y=0.（2）增函数（2）减函数反函数指数函数y二ax（a>0，且a丰1）与对数函数y二logx（a>0，且a丰1）互为反函a数，它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线y二x对称.不同函数增长的差异对于对数函数y二logx（a>1）、一次函数y=kx（k>0）、指数函数y二bx（b>1）a来说，尽管它们在（0,+8）上都是增函数，但是随着x的增大，它们增长的速度是不相同的其中对数函数y二logx（a>1）的增长速度越来越慢；一次函数y二kx（k>0）增长a的速度始终不变;指数函数y二bx（b>1）增长的速度越来越快.总之来说，不管a（a>1），k(k>0),b(b>1)的大小关系如何，y二b(b>1)的增长速度最终都会大大超过y二kx(k>0)的增长速度；y二kx(k>0)的增长速度最终都会大大超过y二logxa(a>1)的增长速度.因此，总会存在一个x,当x>x时，恒有00bx>kx>logx.a函数的应用(二)函数的零点与方程的解函数零点的概念对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y二f(x)的零点.函数y二f(x)的零点就是方程f(x)二0的实数解，也是函数y二f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解o函数y=f(x)有零点O函数y二f(x)的图象与x轴有公共点.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y二f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在ce(a,b)，使得f(c)二0，这个c也就是方程f(x)=0的解.用二分法求方程的近似解对于在区间［a,b］上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精确度£，用二分法求函数y=f(x)零点x的近似值的一般步骤如下：0确定零点x的初始区间［a,b］，验证f(a)f(b)<0.0求区间(a,b)的中点c.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)=0(此时x二c)，则c就是函数的零点；0

若f(a)f(c)<0(此时xg(a,c)),贝y令b=c；0若f(c)f(b)<0(此时xg(c,b)),则令a=c.0判断是否达到精确度£:若|a-b\<£，则得到零点的近似值a(或b)；否则重复步骤(2)~(4).由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下:这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”)；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.第五章三角函数任意角和弧度制任意角角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线的端点叫做角的这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”)；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.第五章三角函数任意角和弧度制任意角角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线的端点叫做角的顶点，射线在起始位置和终止位置分别叫做角的始边和终边.正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S={卩丨卩=a+k-360。,kgZ}即任一与角终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360。的整数倍；象限角的表示：第一象限角的集合{aIk-360°<a<90。+k-360。,keZ}第二象限角的集合{a190°+k-360°<a<180°+k-360°,keZ}第三象限角的集合{a1180°+k-360°<a<270°+k-360°,keZ}第四象限角的集合{a1270°+k-360°<a<360°+k-360°,keZ}终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.位置表示终边在x轴非负半轴{aa=k-360°,keZ}终边在x轴非正半轴{aa=180°+k-360°,keZ}终边在X轴{aa=k・180°,keZ}终边在y轴非负半轴{aa=90°+k-360°,keZ}终边在y轴非正半轴{aa=270°+k-360°,keZ}终边在y轴{aa=90°+k・180°,keZ}终边在坐标轴{aa=k-90°,keZ}2.弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为arad，那么正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.（2）弧度与角度的换算（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为（rad）,半径为R，弧长为l，则有①/=aR；②S=—aR2；③S=—IR.22三角函数的概念1.三角函数的概念（1）三角函数的定义一般地，任意给定一个角aeR，它的终边OP与单位圆相交于点P（x,y）.把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina，即y=sina；把点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa，即x=cosa；y把点P的纵坐标与横坐标的比值-叫做a的正切函数，记作tana,即xy=tana（x丰0）.x正弦函数y=sina正弦函数y=sina，xeR；余弦函数y=cosa，xeR；正切函数y=tana，兀，x丰+k兀（keZ）2设a是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r=、：x2+y—.可以证明：sinysma=；r

xcosa=—；rytana=—.x3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等.3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等.（2）几个特殊角的三角函数值„兀3兀0,-,兀,—的三角函数值如下表所示:a函数0兀~2兀3兀2sina010-1cosa10-10tana00不存在不存在sin（a+k-2兀）=sina,cos（a+k-2兀）=cosa,tan（a+k-2兀）=tana,其中keZ.同角三角函数间的基本关系（1）平方关系sin2a+cos2a=1.（2）商数关系sinatana=.cosa作用：（1）已知a的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值;（2）化简三角函数式；（3）证明三角函数恒等式.诱导公式1.公式二sin（兀+a）二—sina,

cos（兀+a）二—cosa,

tan（兀+a）二tana.公式三sin（—a）二一sina,

cos（—a）二cosa,

tan（—a）二—tana.公式四sin（兀—a）二sina,cos（兀—a）二一cosa,tan（兀—a）二一tana.小结：a+k-2兀(keZ),兀+a,—a,兀—a的三角函数，等于a的同名函数，前面加上把a看成锐角时原三角函数值的符号.利用公式一公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：公式五兀sin^—a）=cosa,——a）=sina.公式六sin（殳+a）=cosa2kJcos(—+a)=一sina2小结：兀兀-a,-+a的正弦(余弦)，等于a的余弦(正弦)，前面加上把a看成锐角时原三角22函数值的符号.三角函数的图象与性质1.正弦函数、余弦函数的图象(1)正弦函数y=sinx的图象.①画点T(x,sinx)00在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，OO与x轴正半轴的交点为A(l,0).在单位圆上，将点A绕着点O旋转x弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y=sinx.000由此，以x为横坐标，y为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x,sinx).0000②画y=sinx(xe[0,2兀])的图象c兀兀兀c把x轴上从0到2兀这一段分成12等份，使x的值分别为0，，了，怎，•…2兀，它0632们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等份，再按上述画点T(x,sinx)的方法，00就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得y二sinx(xe[0,2兀])的图象.2323③y二sinx（xgR）的图象由诱导公式一可知，函数歹二sinx,xw[2k7i,2（k+1»,k^Z且0的图象，与函数y二sinx,xw[0,2%）的图象形状完全一样.因此将函数y二sinx,xw[0,2tt）的图象不断向左、向右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数y二sinx，xeR的图象（如下图）.正弦函数的图象叫做正弦曲线.④五点作图法在函数y=sinx，xg[0,2兀]的图象上，有以下五个关键点：（0,0），（+，1），（兀,0），（弓,-1），（2兀,0）.画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图.这种作图的方法称为”五点作图法”.（2）余弦函数的图象因为y=cosx=sin（x+y），所以可将正弦函数y=sinx，xgR的图象向左平移+个单位长度即得余弦函数y=COSx，xgR的图象.24余弦函数y=cosx,xgR的图象叫做余弦曲线.兀余弦函数y=cosx,xg［—兀,兀］的图象上五个关键点是：（—兀，—1）,（-亍0）,（0,1）,兀（_2,0）,（兀?—1）.正弦函数、余弦函数的性质（1）周期性一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时都有f（x+T）=f（x）,那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.正弦函数是周期函数，2k兀（kgZ且k丰0）都是它的周期，最小正周期是2兀.余弦函数也是周期函数，2k兀（kgZ且k丰0）都是它的周期，最小正周期是2兀.（2）奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.（3）单调性兀兀正弦函数y二sinx，xgR在每一个闭区间［—-+2k兀,；2+2k兀］（kgZ）上都单调递增，22兀3兀其值从—1增大到1；在每一个闭区间［-+2k兀,可+2k兀］（kgZ）上都单调递减，其值22从1减小到—1.余弦函数y=cosx，xgR在每一个闭区间［—兀+2k兀,2k兀］（kgZ）上都单调递增，其值从—1增大到1；在每一个闭区间［2k兀,兀+2k兀］（kgZ）上都单调递减，其值从1减小到—1.（4）最大值与最小值兀3兀,正弦函数当且仅当x=■—+2k^（kgz）时取得最大值1，当且仅当x—――+2刼（kgz）22时取得最小值—1.余弦函数当且仅当x—2k兀（kgZ）时取得最大值1，当且仅当x—兀+2k兀（kgZ）时取得最小值—1.正切函数的图象25正切函数的图象叫做正切曲线.4.正切函数的性质（1）定义域正切函数的定义域为{x|xH乡+k兀,keZ}（2）周期性正切函数是周期函数，最小正周期是兀.（3）奇偶性正切函数是奇函数.（4）单调性正切函数在每一个开区间（-号+k兀,号