高中数列经典习题

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.1、在等差数列｛an｝中,a]=—250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有an的和，70WnW200;(2)n能被7整除.2、设等差数列｛an｝的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.(I)求公差d的取值范围；(II)指出S],S2,…,s12，中哪一个值最大,并说明理由.3、数列｛a｝是首项为23,公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负n的，回答下列各问：1)求此等差数列的公差d;⑵设前n项和为S，求S的最大值;(3)当S是nnn正数时,求n的最大值.4、设数列｛a｝的前n项和S•已知首项％=3,且S+S=2a，试求此数列的通项公式ann1n+1nn+1n及前n项和S.n115、已知数列｛a｝的前n项和S二三n(n+1)(n+2),试求数列｛一｝的前n项和.nn3an6、已知数列｛a｝是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设nax2+2ax+a=0(i=1,2,3,…)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;TOC\o"1-5"\h\zii+1i+21111设这些方程的另一个根为m，求证——-,——,——，…，——，…也成等差数列.im+1m+1m+1m+1123n7、如果数列｛a｝中，相邻两项a和a是二次方程x2+3nx+c=0(n=1,2,3…)的两个根,nnn+1nnn当a1=2时，试求c100的值.8、有两个无穷的等比数列｛a｝和｛a｝，它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1nn和2,并且对于一切自然数n,都有a，试求这两个数列的首项和公比.n+19、有两个各项都是正数的数列｛a｝,｛b｝.如果a1=1,b1=2,a2=3.且a,b,a成等差数列,nn112nnn+1b,a,b成等比数列,试求这两个数列的通项公式.nn+1n+110、若等差数列｛log2xn｝的第m项等于n,第n项等于m(其中m^n),求数列｛xn｝的前m+n项的和。11、设｛an｝为等差数列,｛b“｝为等比数列，且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出｛a”｝及｛b“｝的前10项的和S10及T10.12、已知等差数列｛an｝的前项和为Sn，且S13>S6>S14,a2=24.(1)求公差d的取值范围；(2)问数列｛Sn｝是否成存在最大项，若存在求出最大时的n,若不存在,请说明理由.13、设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80,前2n项的为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比.14、设正项数列｛an｝的前n项和为Sn，且存在正数t,使得对所有正整数n,t与°“的等差中

bj是公比为q的等比数列，且项和t与S的等比中项相等，求证数列｛JS｝为等差数列，并求｛a｝通项公式及前n项和.bj是公比为q的等比数列，且15、已知数列匕｝是公差不为零的等差数列，数列nb=1,b=5,b=17.123求q的值；求数列缶｝前n项和.n16、若a、b、c成等差数列，且a+1、b、c与a、b、c+2都成等比数列，求b的值.答案：1、解：a1=－250,d=2,an=－250+2(n－1)=2n－252同时满足70WnW200,n能被7整除的an构成一个新的等差数列｛bj.b1=a70=_112,b2=a77=_98，…,bnZ之毗二140其公差dz=—98—(—112)=14.由140=—112+(n‘一1)14,解得n‘=1919x18・•・｛bn｝的前19项之和S=19x(—112)+x14=266.2、解：(I2、解：(I)依题意，有S]2+12x(12-D2S=13a+13X(13-】)•S=13a+13X(13-】)•d<0，即13121a+6d<0(2)1由a3=12，得a1=12—2d(3)「24+7d>024将(3)式分别代入(1),⑵式，得<，・•・—〒<d<—3.I3+d<07(II)由d<0可知a1>a2>a3>^>a12>a13.因此，若在1WnW12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,则Sn就是S1,S2,-,S12中的最大值.由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0，即a6+a7>0,a7<0.由此得a6>—a7>0.因为a6>0,a7<0,故在S],S2,…,S12中S6的值最大.3、(1)由a6=23+5d>0和a7=23+6d<0,得公差d=—4.(2)由a6>0,a7<0,・S6最大，S6=8.(3)由a,=23,d=—4,则S=[n(50—4n),设S>0，得n<12.5,整数n的最大值为12.1n2n4、a]=3,S]=a]=3.在Sn+1+Sn=2an+1中，设n=1,有S2+S】=2a2.而S2=a]+a2.即a]+a2+a]=2a2.••・a2=6.由S,+S=2a,,……(1)S2+S,=2a”……(2)TOC\o"1-5"\h\z2n+1nn+1n+2n+1n+2(2)—(1),得Sn+2—Sn+1=2an+2—2an+1，・an+1+an+2=2an+2—2an+1n+2n+1n+2n+1n+1n+2n+2n+1即an+2=3an+1n+2n+1此数列从第2项开始成等比数列，公比q=3.an此数列从第2项开始成等比数列，公比q=3.an的通项公式a=3,当n=1时,2x3n-1,当n>2时.此数列的前n项和为Sn=3+2x3+2x32+——2x3n-1=3+2x3(3n-1—1)3—1=3n.5、5、a=S—S=—n(n+1)(n+2)—(n—1)n(n+1)=n(n+1).当n=1时，a,=2,S,=x1x(1nnn-1331131+—+…一aaa12n1n=1一=-n+1n+1+—+…一aaa12n1n=1一=-n+1n+1―丄+丄+丄+…+丄-(1-1)+(—-1)+…+(丄-丄)1X22X33X4n(n+1)223nn+16、(1)设公共根为p,则ap2+2ap+a—O①ap2+2ap+a—O②则②-①，6、TOC\o"1-5"\h\zii+1i+2i+1i+2i+32dm+1=—即iai)=—3，即a—an+2n得dp2dm+1=—即iai)=—3，即a—an+2n-2a2d—1).(2)另一个根为m,则m+(—1)=汝—-2—-iiaaii1a11—-士，易于证明｛｝是以一恳为公差的等差数列.\o"CurrentDocument"m+12dm+12ii7、解由根与系数关系，a+a=—3n,则(a+a)—(a+ann+1n+1n+2nn+13.•a1,a3,a5…和a2,a4,a6…都是公差为一3的等差数列，由a1=2,a1+a2=—3,Aa2=—5.则a^=—3k—2,•:a1oo=—152,a2k-1=—3k+5,・•・a101=—148,•:c1oo=a1oo•a101=22496\o"CurrentDocument"ab8、设首项分别为a和b,公比q和「•则有冰h|也依据题设条件，有E=】,①戸=2,8、n-1—brn-1,③由上面的①，②，③可得(1—q)2q2n-2=2(1—r)rn-1.令n=1,有(1—q)n-1—r)，④设n=2.则有(1—q)2q2=2(1—r)r,⑤由④和⑤，可得q2=r,代入④得(1—q)2=2(1—q2).由于114164a——31和sq——3qM1,.•有q=—3，r=9•4a——31和sq——3b-169经检验，满足a2—b的要求.1nnr—99、依据题设条件，有sb——(a+a)9、依据题设条件，有sn2nn+1由此可得a—\bbn+1nn+1—扎；bnz页)=2网兀+兀).•••bn>0，则2冋=兀+兀・•・{x.'b}是等差数列..•・b=(n+1)2nn2a2=bbna2=bbnn-1nn2(n+1)2n(n+1)__2•>a=n(n+1)n210、2m+n-111、解：设｛an｝的公差为d,｛bn｝的公比为q,则:2(1+2d)=q21+2d2(1+2d)=q21+2d=q4解得：d=-3,q8=+i22.S10=10a+45d55TT=b匕1011-q31(2+迂)32__S—S=a+a+••+a=7a>0Ia+8d>012、解：(1)由题意：<136781310<212、解：(1)由题意：S—S=a+a+a=4(a+a)v012a+17dv0146781410112(2)由(1)知,a10>0,a10+a11<0,.°.a10>0>a11，又公差小于零，数列｛a”｝递减,

所以｛an｝的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。.•・n=10时，S最大。n13、解：设该等比数列为｛an｝，且公比为q若q=1，则Sn=na1,S2n=2na1，与题意不符，故q^l。S=a上竺=80n11—qa<1两式相除，得1+qn=82，qn=81,.°.—片=1v1—q2n心“q—1S=a=65602n11一qaq=a1+1>1，数列｛an｝为递增数列，前n项中最大的项为an=a1qn-1=-81=54q解得：a1=2,q=314、证明：由题意：n=%tS即27S=t+aTOC\o"1-5"\h\z2nnn当n=1时，2.tS=t+a=t+S,.•.(.jS—pt)2=0,S=t11111当n>2时，2.'tS=t+a=t+S—S/.(•常S—、•t)2—(飞：S)2=0vnnnn—1#nvn—1(｛S+\.：S1—航)(\.；S—JS1—)=0。因为｛a｝为正项数列，故S递增，(JT+F-j)=0不能对正整数n恒成立，nnwnn—1.\.：S-Y，S=V；t即数列｛vS｝为等差数列。公差为nn—1n:S=\S+(n—l)Jt=n.tS=tn2，a+1=2