利用公式法因式分解课堂实录 市赛一等奖

利用公式法因式分解课堂实录黑龙江省宁安市第四中学张前峰知识技能目标1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用完全平方公式进行分解因式.3.使学生了解，因式分解首先考虑提公因式法的方法，再考虑用完全平方公式分解因式.过程方法目标1.通过对完全平方公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对完全平方公式的运用能力．情感态度目标在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.重点：让学生掌握运用完全平方公式分解因式.难点：灵活运用完全平方公式，解决实际问题．

设计思路：

本节课主要是由教师引导学生，利用已经学过的整式的乘法公式中的完全平方公式进行因式分解，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。

教学过程：

师生问好，组织上课。

教师：我们在前几课已经学习了整式乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？

学生：两数和（或差）的平方等于这两个数的平方和加（或减）它们乘积的二倍。教师：你能用符号语言来表示这个公式吗？

学生：=，=教师：很好，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？

学生齐答：两个。

教师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？

m＋＋1=(m＋1)4x－4xy＋=(2x－y)

学生：（答略）

教师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？

学生：根据完全平方公式，将等号右边的展开,通过比较得出来的。

教师：很好。我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：

a＋2ab＋b=（a＋b）a－2ab＋b=（a－b）（板书）问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？

学生齐答：因式分解。

教师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。

这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题）

教师：既然这两个是公式，我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。那么到底具有什么结构特征的多项式能利用这两个公式来分解因式呢？请同学们仔细观察思考，分组讨论一下。

（经过讨论之后）

学生：左边是三项，右边是完全平方的形式。

学生：左边有两项能够写成平方和的形式。

教师：说得很好，其他同学有没有补充的？

学生：还有一项是两个数的乘积的2倍。

教师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？

学生：不是，而是刚才两项的底数。

教师：刚才三位同学都回答得很好，每人都找出了一些特征。谁能给综合一下。

学生：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。

教师在学生回答的基础上：

1)多项式是三项式

2)有两项能够写成平方和的形式

3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，这一项可以是正，也可以是负

4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

教师：我们如何将符号语言转化为文字语言呢？

学生：a、b两个数的平方和加上a、b乘积的2倍，等于a与b的和的平方；

a、b两个数的平方和减去a、b乘积的2倍，等于a与b的差的平方。

教师：如果不用字母a、b，又怎么表达？能否将两句合并成一句呢？

学生：两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍，等于这两个数的和或差的平方。

教师：非常好！我们以后只要遇到这种类型的多项式可以直接利用完全平方公式方便地进行因式分解了。

通过刚才的学习，我们已经初步掌握了利用完全平方公式分解因式的有关知识，下面有几道练习题向我们同学提出了挑战，看你掌握知识的情况：

判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由。

（1）a－4a＋4(2)x＋4y(3)4a＋2ab＋b

(4)a－ab＋b(5)x－6x－9(6)a＋a＋

学生：第一题和第六题是完全平方式。有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是减去这两个数的积的2倍。

学生：第四题不是完全平方式，因为中间一项不是两个数的乘积的2倍。

学生：第五题是完全平方式。三项，有两项能写成平方的形式，另一项也是两个数的积的2倍。

教师：其它同学同意他的意见吗？有没有补充的？

学生：这一题不是完全平方式，虽然有两部分能写成平方的形式，但这两项不是平方和。

教师：同意他的意见吗？

学生齐答：同意。

教师：因此我们在观察一个多项式是否符合完全平方式的特点时，不仅要找有没有两项能够写成平方的形式，同时还要看这两项的符号是否同为正，更要看另一项是不是这两数的积的2倍。像刚才的第2题和第4题都只满足特征中的一部分。

引例讲解：将下列各式分解因式。

1、a＋6a＋92、4a－20a＋25

问题：这两题首先怎么分析？

学生：将9改写成32，6a正好是a与3的乘积的2倍。（学生回答，教师板书）

学生15：将4a写成（2a），25写成5，20a写成2×2a×5

a＋6a＋9=a＋2×a×3＋32=(a＋3)

4a－20a＋25=(2a)－2×2a×5＋5=(2a－5)

（联系字母表达式用箭头对应表示，加深学生印象。）

教师：由刚才的例子，我们同学能否发现将因式分解为两数的和或差的平方，如何确定是两数的和还是两数的差的平方呢？

学生：由符号来决定。

教师：能不能具体点。

学生：由中间一项的符号决定，就是两个数乘积2倍这项的符号决定，是正，就是两个数的和；是负，就是两个数的差。

教师：总之，在分解完全平方式时，要根据第二项的符号来选择运用哪一个完全平方公式。

例题1：把16x＋8x＋1分解因式。

教师：这道题目能否运用以前所学的方法分解？就题目本身有什么特点？可以怎么分解？

学生：题目符合完全平方式的特点，可以将16x改写成（4x），1就是12，8x改写成2×4x×1。（此学生板演，过程略）

例题2：把－a－4b＋4ab分解因式。

教师：按照常规我们首先怎么办？

学生齐答：提取负号。〔教师板书：－（a＋4b－4ab）〕以下过程学生板演。

教师：如果是这道题：4ab－a－4b怎么分解呢？（教师改变刚才题型）

提示：从项的特征进行考虑，怎样转化比较合理？四人小组讨论。

学生：同样还是将负号提取改变成完全平方式的形式。

教师：从这里我们可以发现，只要三项式中能改写成平方的两项是同号