2018届数学黄金考点精析精训考点12三角函数的图象与性质理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE31学必求其心得，业必贵于专精考点12三角函数的图像和性质【考点剖析】1.最新考试说明：（1)考查三角函数的值域与最值(2）考查三角函数的单调性(3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值2.命题方向预测：（1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点。（2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点。(3）题型不限,选择题、填空题、解答题都有可能出现,常与多个知识点交汇命题.3。课本结论总结：(1）由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象,有两种变换方式:①先相位变换再周期变换（伸缩变换):；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(｜φ|，ω)(ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．（2）的性质:①定义域为R，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增,在单调递减；④当时,；当时，;⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为。(3）的性质:①定义域为R,值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增,在单调递减;④当时，；当时，;⑤其对称轴方程为，对称中心坐标为.(4）的性质：①定义域为，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增;④其对称中心坐标为。名师二级结论:（1)由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换），平移的量是|φ｜个单位;而先周期变换(伸缩变换）再相位变换，平移的量是eq\f（|φ|,ω)(ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值．（2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝eq\f（M－m，2）,k＝eq\f(M＋m，2），ω由周期T确定，即由eq\f(2π,ω)＝T求出,φ由特殊点确定．（3）作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ）的图象时应注意:①首先要确定函数的定义域；②对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。(4)求三角函数值域（最值）的方法：①利用sinx、cosx的有界性；②形式复杂的函数应化为的形式逐步分析的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域;③换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题．5。、、的性质：①周期性函数y＝Asin（ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,｜ω｜），y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f（π，|ω|)。②奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx,而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体。5.课本经典习题：(1）新课标A版第147页，第A9题(例题)已知.①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值。【解析】①令,解得，即函数的单调区间为；②由题意得，,。【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质新课标A版第147页，第A10题（例题）已知函数。①求的最小正周期；②当时，求的最小值以及取得最小值时的集合。【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质6.考点交汇展示：（1）与不等式的交汇【2017北京，文16】已知函数.（I）f(x）的最小正周期；(II）求证：当时，．【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题解析：（Ⅰ)。所以的最小正周期.(Ⅱ)因为，所以。所以。所以当时，.(2）与平面向量的交汇【2018届河南省洛阳市高三期中】已知向量.（I）若，求的值;（II）令,把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间及图象的对称中心。【答案】（I）；（II），.试题解析:（I），即，，（II）由(I）得，从而,解得，的单调增区间时。由得即函数图象的对称中心为。(3)与解三角形的交汇【2017届天津市耀华中学一模】已知向量，设函数。（1）求在上的最值；（2）在中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.【答案】（1）;（2）(2)。【考点分类】热点一三角函数的图象1.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+），则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f（x）的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x= D．f（x）在(，π）单调递减【答案】D【解析】2。【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】3.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据,如下表:0050（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象。若图象的一个对称中心为，求的最小值。【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ).【解析】(Ⅰ）根据表中已知数据,解得。数据补全如下表:00500且函数表达式为。（Ⅱ)由（Ⅰ）知，得。因为的对称中心为，.令，解得，。由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，。由可知，当时，取得最小值。【方法规律】1.用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期T＝eq\f(2π，ω）；③求出振幅A;④列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2.的图象有无穷多条对称轴,可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由，解得x＝eq\f（kπ－φ,ω)(k∈Z)，即其对称中心为(eq\f（kπ－φ,ω),0)（k∈Z)．3。相邻两对称轴间的距离为eq\f（T,2),相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T，2）.【解题技巧】根据的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑：（1）A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝eq\f(最高点－最低点,2);（2）k的确定：根据图象的最高点和最低点,即k＝eq\f（最高点＋最低点，2）；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T,然后由T＝eq\f(2π,ω)(ω>0)来确定ω;（4)φ的确定：法一：代入图像的最高点坐标或最低点坐标，则或，求值．法二：由函数y＝Asin（ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点的横坐标为－eq\f（φ，ω）（即令ωx＋φ＝0,x＝－eq\f(φ,ω)）确定φ．如:将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度,所得图象关于对称,则ω的最小值是A。6 B. C. D。【答案】D【易错点睛】研究三角函数图像的变换时，要注意由的图像变换成的图像的变换过程：的图像由的图像向左（）或向右（）平移个单位长度.如：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（)向右平移个单位B.向左平移个单位C。向右平移个单位D.向左平移个单位【答案】D【解析】，故只需将向左平移个单位．热点二三角函数的最值1.【2016高考新课标2文数】函数的最大值为(）（A)4（B）5 （C）6 （D)7【答案】B【解析】因为，而，所以当时，取最大值5，选B.2.【2018届安徽省滁州市高三9月联考】若函数的值域是,则的最大值是___________．【答案】【解析】令，作出的图象,使其值域为，则定义域最长为即，最大为，即的最大值是。3.【2018届江苏省泰州中学高三10月月考】已知函数。（1）将化简为的形式，并求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值。【答案】(1)，;(2)时,，时，.【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；（2)由x的范围可得的范围，可得f(x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．试题解析:（1）所以.【方法规律】求解涉及三角函数的值域（最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；（2)形式复杂的函数应化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域;（3）换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值）问题.【解题技巧】求三角函数的最值问题,最主要的题型是：通过三角恒等变形将所给解析式化为的形式，再进行求解。①当时，，;②当时，则先求的范围,再利用正弦函数的图像写出函数的最值，再进一步求解。如:函数的最大值为_________.【答案】1【解析】由题意知：=====，即，因为，所以的最大值为1.【易错点睛】在求函数的最值时，一般思路通过三角恒等变换化成的形式，但不要忽视变形中的等价性，如定义域的变化。如:函数的值域是 （)A．[－4，0］ B． C． D．【答案】D热点三三角函数的性质1。【2017山东，文7】函数最小正周期为A.B。C.D。【答案】C【解析】因为,所以其周期，故选C.2。【2018届辽宁省鞍山市第一中学高三上第一次模拟】已知函数，(1）求的对称中心；（2）讨论在区间上的单调性.【答案】（1）对称中心为，;（2)增区间为，减区间为。【解析】试题分析:利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心，其对称中心能使函数值为0,从而角的终边在x轴上;(2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．试题解析：1）由已知令，得，对称中心为，。【方法规律】、、的性质：①周期性函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为eq\f（2π,｜ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f（π，|ω|）。②奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体。如:已知函数．（Ⅰ)求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值．【答案】（1)，（2）【解析】(Ⅰ）（1)的最小正周期为；(2），当时,取得最小值为：【解题技巧】研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识,即将看作一个整体。如(上例）【易错点睛】求形如y＝Asin(ωx＋φ）或y＝Acos(ωx＋φ)（其中A≠0，ω〉0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω〉0）”视为一个“整体”;②A>0（A<0)时，所列不等式的方向与y＝sinx（x∈R），y＝cosx（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同(反)．如：求的单调递增区间（教材第39页）【热点预测】1。【2017天津，文理】设函数,其中.若且的最小正周期大于，则（A）（B）（C)(D）【答案】【解析】2.【2016高考天津文理】已知函数,。若在区间内没有零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）(D)【答案】D3.【百强校】2017届三省高三上学期百校大联考】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，则在上递减．4。【【百强校】2017届广东海珠区高三上学期调研测试一】已知函数，给出下列四个说法：①函数的周期为；②若，则；③在区间上单调递增；④的图象关于点中心对称。其中正确说法的个数是(）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】C【解析】①因为函数的周期为，不正确；②若,即,则时也成立,故不正确；③在区间上，单调递增,正确；④函数函数是奇函数,所以的图象关于点成中心对称，点不是函数的对称中心，故不正确,故选C.5.若将函数的图象向右平移个单位,所得图象关于轴对称,则的最小正值是（）B.C.D.【答案】C.6。【【百强校】2017届河北武邑中学高三上学期周考】已知函数的部分图象如图所示，则(）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象得，所以由得,故选D.7。【2018届四川省达州市高级中学高三上学期同步测试】给出如下四个结论：①存在α∈0,π2②存在区间（a,b）使y=cosx为减函数而③y=tan④y=cos⑤y=sin其中正确结论的序号是______________。【答案】④【解析】对于①,sinα+∵α∈(0,π∴α+π4∈(π4对于②，若y=cosx为减函数，则x∈[2kπ,2kπ+π］，k∈Z,sinx⩾0.命题②错误;对于③，y=tanx在其定义域内不是增函数，在其定义域内有无数增区间。命题③错误；对于④,y=cos该函数既有最大、最小值，又是偶函数。命题④正确；对于⑤，∵y=sin(2x+π6)的最小正周期为π∴正确的命题是④。故答案为：④。8.【2018届江西省高三检测（二）】设函数f(x)=sin(2x+π4)(x∈[0,9π8]),若方程fx【答案】[9。【2016高考上海文科】如图，已知点O（0，0）,A（1.0),B(0，−1),P是曲线上一个动点，则的取值范围是。【答案】【解析】由题意，设,，则，又，所以.10。【【全国百强校】2018届江苏省南通中学高三10月月考】已知函数f(x)=sin2x+2,（Ⅰ）若圆心角为θ，半径为2的扇形的弧长为l，且g(θ)=2,θ∈(0,π)，求l；（Ⅱ）若函数g(x)的最大值与p(x)=ax2-2x+5（0≤x≤2【答案】（Ⅰ)l=2π3或【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得到三角方程sin(2θ+π3)=0，结合题意和角的范围可得（Ⅱ)由题意结合函数p（x）的解析式分类讨论a=0和a≠0两种情况可得实数a的值为1．试题解析：（Ⅰ）因为g(x)=2sin(2x+π3)+2，所以g(θ)=2+2sin(2θ+而θ∈(0,π)，所以π3<2θ+π3<7π3,因此，θ=11。【2018届河南省洛阳高三期中】已知向量。（I）若，求的值;（II）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变）,再把所得图象